浙江溫州大學城附屬學校 陳加倉

學生的學習并不是一帆風順、一蹴而就的，它是一個試誤摸索、磕磕碰碰的過程，它總是與“錯誤”為伴，且不可避免。因此，我們有必要直面“錯誤”，讓它成為一種可遇而不可求的教學資源。讓學生在錯誤中反思，在糾錯中悟理，在悟理中成長。學生“犯錯”正是充分暴露思維的過程，教學應基于學生思維特征，分析錯誤成因并“對癥下藥”，才能加深學生對知識本質的理解和掌握，從淺層學習走向深度學習。

一、試誤摸索，消除直覺錯誤

心理學家丹尼爾·卡尼曼曾提出，人有“理性”與“本能”兩套思考系統，即快系統和慢系統。 有意識的“理性”慢系統是調動注意力來分析和解決問題，并做出決定，比較慢，但錯誤少；無意識的“本能”快系統依賴情感、記憶和經驗迅速進行判斷，錯誤會大大增加?！爸庇X錯誤”就是根據經驗和記憶進行的“本能”快系統思考模式產生的結果，俗稱“跟著感覺走”。 教學中如何減少學生的直覺錯誤呢？下面以“點到直線的距離”為例，進行錯誤成因及教學策略分析。

【錯例1】①如圖1，要修一條從幸福鎮(zhèn)通往公路的水泥路，怎樣修路最近？

②如圖2，直線a和直線b分別代表一條公路的兩邊，它們之間的距離是多少？

學生錯誤的做法（如圖3）：

【成因分析】教材例題呈現的是水平方向“直線外一點找最短線段”和“兩條平行線間的距離”。學生憑直覺就會去找豎直方向的線段，這條線段剛好就是距離最短的垂直線段，但練習中遇到傾斜方向的相關問題時，卻不能準確地畫出垂直線段、找到最短線段，說明學生并沒有真正理解垂直線段的概念本質。究其原因，教材中的學習素材缺乏挑戰(zhàn)性，不用經歷試誤摸索的過程也能解決問題，但是學生仍然沒有消除直覺錯誤，也并未真正理解掌握概念的本質。

【教學策略】教學設計時，教師要對沒有挑戰(zhàn)性的教材內容做適當調整，創(chuàng)設能暴露學生直覺錯誤的問題情境。讓學生在試誤摸索、不斷驗證的過程中理解知識本質，從感性判斷走向理性思考，逐步消除直覺錯誤。

1.調整素材，暴露錯誤

為了避免混淆“豎直線段就是垂直線段”，筆者將例題中水平方向的小路調整為傾斜方向（如圖1），意在增加探究難度，激發(fā)學習欲望，凸顯垂直線段的概念及研究的價值?！罢乙粭l點到直線的最短路線”，學生根據“直覺”快速找到了這條線段，在這個過程中錯誤充分顯現，學生畫了12厘米、11厘米、10.4厘米等不同長度的線段。在教學中，按從長到短的順序逐步呈現學生作品，不斷地沖擊學生的思維，促使學生尋找“垂直”這一抓手，畫出最短的線段——垂直線段。

2.動態(tài)演示，驗證錯誤

學生在畫“垂直線段”時出現了10厘米、9.9厘米、9.8厘米等不同的情況，同樣的操作，不同的結果。當測量的誤差無法用語言解釋清楚時，學生容易對垂直線段的性質產生錯誤的理解，此時教師借助幾何畫板進行動態(tài)驗證，學生就能清晰地認識到垂直線段的長度是唯一確定的。

能否再找一條比10厘米更短的線段？雖然學生一致認為找不到，但此時學生的認知還只停留在操作層面，思維層面也許尚未達成一致。這時教師再次借助幾何畫板的動態(tài)演示，讓學生直觀地感受到垂直線段10厘米最短，而且垂直線段有且只有一條。將幾何畫板演示用在關鍵處，能進一步驗證錯誤，完善學生對垂直線段的認知。

3.對比遷移，厘清錯誤

當學習材料具有共同要素或相似時，可以將先前學習的方法遷移到后續(xù)的學習活動中，并引導學生對比分析它們之間的異同點，全面而深入地理解和掌握新知。

兩條平行線間的距離與點到直線的距離有共性，故筆者教學兩條平行線的距離（如圖2）時采用先前的研究方法，放手讓學生再次“試誤摸索”，有序呈現學生錯例，讓學生在反思中尋找兩條平行線之間的最短距離。

在此基礎上，還要引導學生思考：為什么點到直線的垂直線段只有一條，平行線之間的垂直線段卻有無數條？學生在對比中發(fā)現：兩條平行線，以其中一條直線為基準，另一條直線上有無數個點，且每個點可對應一條垂直線段，無數個點就有無數條垂直線段。 學生通過對比，不僅厘清了錯誤，還溝通了兩者之間的內在聯系，更深刻地觸及垂直線段的本質。

二、制造沖突，完善概念斷層

概念教學中經常會存在教學任務完成后，學生仍然沒有完整的概念認知，依然對概念模糊不清的情況。分析其原因，和學生的前概念有關。前概念即為在學習前擁有的概念，主要分為正確的前概念和錯誤的前概念兩類。后者主要指學習者學習新知識之前頭腦中存在的一些不科學的知識和經驗。當學生的前概念是正確的時候，則能支持并促進新學習的發(fā)生；當學生的前概念是錯誤的時候，則會與科學概念產生沖突，起到阻礙作用。教學中我們要更加關注后者，利用“阻礙”，制造認知沖突，引發(fā)深度學習，完善概念教學中存在的斷層現象。下面以“分數的再認識”為例來分析錯誤成因及教學策略。

學生錯誤的做法：6支筆的顏色不同、長短不同、粗細不同，不能平均分成3份，所以不能用表示。

【成因分析】在分數的初步認識階段，教師在教學中特別強調平均分。學生以分得的結果是否“一樣”去判斷是否屬于“平均分”，即所分得的各部分大小一樣，才是平均分，才可用分數表示。當進入分數的意義階段，單位“1”已從一個物體擴展到一些物體組成的一個整體，平均分的對象也從連續(xù)量過渡到離散量。平均分抽象到數量的等分，至于它的顏色、形狀等非本質因素就不用考慮了，但學生對“平均分”的前概念還停留在分數的初步認識階段。因此，教學“分數的再認識”，除了對單位“1”的再認識之外，還須對“平均分”進行再認識。

【教學策略】教師在進行概念教學時不能想當然地以為某些前概念學生應該知道，也不能直接告知其掌握的前概念是不完整的，正確的前概念應該是怎樣的。接受式的學習并不能真正促進學生的概念發(fā)生轉變。概念的糾正需要制造沖突，引發(fā)學生思考，并通過解釋、驗證等推理活動逐步構建科學的、系統的概念體系，達到理解性學習。

1.制造沖突，引發(fā)思考

思維的沖突不是憑空產生的，而要先提出數學問題，引起學生內心的沖突，使之處于“心欲求而未得，口欲言而不能”的狀態(tài)，從而激發(fā)學生一系列的思維加工活動。

故此，本課教師在學生掌握了1個圓的和多個圓的平均分后，提出新的問題：8支筆，你能拿出它的嗎？

受圓片中找操作方式的遷移，學生很快將8支筆看成一個整體（圈一圈），平均分成4份（畫線），每份2支，得出2支筆就是它的（ 如圖5）。學生在分相同圓片時的操作經驗以及平均分的前概念使他產生疑惑：長短不一的筆能平均分嗎?平均分的是什么？認知沖突引發(fā)思維碰撞，學生進入真實的思考狀態(tài)。

2.說理辨析，澄清錯誤

數學是講道理的學科，教學就是為學生提供講道理的平臺及支持，讓學生在說理辨析中完善原有的概念和認知。

生1：因為每支筆的大小不一樣，顏色不一樣，長短也不一樣，不是平均分，不能用表示。

（這是以前學過的“知識”，因此，多數學生表示贊同）

生2：現在平均分的對象是一個整體，而不是一個物體或圖形，因此，可以不考慮筆的顏色、長短、大小、形狀等，只要分得的支數一樣就可以了。因此，每2支一份就是平均分，可以用表示。（如圖6）

真理越辨越明，辯論中學生再次認識了“平均分”：平均分可以抽象至數量的平均分。平均分的再認識幫助學生完善了分數的概念。

三、推理思辨，提升逆向思維

逆向思維是一種反向思考能力，能有效地提高學生的思維能力，并增強其創(chuàng)新意識，是數學思維的一個重要組成部分。在教學中大量的學習活動讓學生的思維處于順向活動，卻缺乏對其逆向思考的引導。久而久之，需要學生用逆向思維進行解題時，錯誤率就比較高。因此，教師在教學中不僅要關注學生的正向思維能力的培養(yǎng)，還要注重逆向思維能力的培養(yǎng)。下面以“三角形的面積”為例進行錯誤成因及教學策略分析。

【錯例3】①一個三角形的面積是20cm2，它的底是5cm，高是多少？②一個三角形和一個平行四邊形的面積與高都相等，平行四邊形的底是12cm，則三角形的底是多少？

學生錯誤的做法：①：20÷5÷2=2（cm）。②20÷5＝4（cm）；12÷2=6（cm）。

【成因分析】為什么學生不能很好地逆用三角形面積計算公式呢？首先，除了面積公式理解不到位以外，還有一個主要原因在于學生的逆向思維能力較弱。其次，由于逆用三角形面積公式問題最多只是作為一兩道習題在教材或作業(yè)本中“一閃而過”，我們一般不會引導學生深入探究，因此造成學生解題時“連蒙帶猜”。

【教學策略】教師在設計教學時要選擇合適的內容進行逆向思維的訓練，而逆向思維需要在深入理解并掌握數學知識本質的前提下展開。通過畫圖表征，進行知識順向、逆向的聯結，將逆向知識轉化為順向知識，真正提升學生的逆向思維?！耙阎切蚊娣e與底（高），求高（底）”是培養(yǎng)學生逆向思維的好素材，它與 “已知圓錐體積與底面積（高），求高（底面積）”等知識是類似的，它直接關系到后續(xù)學習與逆向思維能力的培養(yǎng)。

1.畫圖表征，修正思路

數學表征有助于學生理解概念、關系或關聯以及解決問題過程所使用的數學知識。因此，教學中利用圖形表征，能不斷修正錯誤想法，有效進行知識順向、逆向的聯結。

學習三角形的面積后，先讓學生在方格圖（邊長為1cm）上畫面積為12cm2的三角形。學生在畫的過程中，會不斷地修正自己錯誤的想法。如圖7，當學生畫出了底為6cm，高為2cm的三角形后，發(fā)現它的面積只有6cm2，從而調整思路再畫；如圖8，當學生畫出了底為4cm，高為3cm的三角形時，也發(fā)現它的面積不是12cm2，然后也調整思路再畫。只要多畫幾個，學生就會發(fā)現它的底與高的積應為24。

學生在操作中感悟到“三角形底與高的積是它的面積的2倍”，因此，求底或高時，須用面積的2倍除以高或底。

接著繼續(xù)引導學生在畫中感悟“等底等積或等高等積，三角形的高或底是平行四邊形的2倍”。只有當三角形的底（高）是平行四邊形的2倍時，它們的面積與高（底）才可能都相等，如圖9、10。

2.倒推轉化，化逆為順

當用“順向思考”解決問題遇到困難時，教師不妨引導學生進行逆向思考；當用算術方法解決問題有困難時，不妨引導學生列方程解決問題。

（1）用倒推轉化解決問題。錯題3第①題可以引導學生將三角形面積先乘2，轉化成與它等底等高的平行四邊形，然后再逆用平行四邊形面積公式，求它的高或底。第②題可以將這個三角形面積先乘2，得到與它等底等高的平行四邊形，新得到的這個平行四邊形的面積是另一個平行四邊形的2倍，由于它們高相等，則底是它的2倍，即原三角形的底是平行四邊形底的2倍。

（2）用列方程解決問題。第①題可以根據三角形面積公式，列方程5h÷2＝20，解方程得h＝8；第②題可以根據“三角形與平行四邊形的面積相等”，列方程ah÷2＝12h，解方程得a＝24。

總之，減少錯誤的發(fā)生并不能靠機械的重復練習與記憶，也不能僅僅采用“講授告知”，而要引導學生進行剖析、思辨、驗證等深層次的思考，從而達到深度學習。