鐘玉東，侯俊劍，謝貴重，張見明，李 源

(1.鄭州輕工業(yè)大學機電工程學院，河南省機械裝備智能制造重點實驗室，鄭州 450000；2.湖南大學機械與運載工程學院，長沙 410082；3.河南師范大學計算機與信息工程學院，新鄉(xiāng) 453007)

邊界元法是基于格林公式和問題的基本解將控制微分方程轉(zhuǎn)化為邊界積分方程的一種數(shù)值方法[1-2]，已經(jīng)在實際工程問題的求解中得到了應(yīng)用。相比有限元法[3]，邊界元法具有降維和計算精度高的優(yōu)勢，特別是針對裂紋問題、接觸問題、彈性動力學等對應(yīng)力精度要求較高問題的求解[4-7]。有限元法的方程是一種弱形式，對試函數(shù)有C0連續(xù)的要求。邊界元法則不要求試函數(shù)連續(xù)，對網(wǎng)格節(jié)點沒有連接性的要求，再加上不需要處理內(nèi)部網(wǎng)格的特點，很大程度降低了網(wǎng)格劃分的困難。另外，由于基本解自動滿足無窮遠處的邊界條件，邊界元法可以自然地求解無限域和半無限域問題[8-9]。

目前，邊界元法主要有兩種數(shù)值實現(xiàn)方式，一種是使用連續(xù)單元，另外一種是使用非連續(xù)單元。連續(xù)單元直接把節(jié)點配置在單元的幾何頂點上，同等單元階次下要比非連續(xù)單元的自由度少，計算量小。但由于幾何角點處的法向量方向不唯一，求解面力、熱流量等場變量時存在一些困難[10-11]。非連續(xù)單元把節(jié)點配置在單元的內(nèi)部，克服了連續(xù)單元處理角點的困難，為數(shù)值實現(xiàn)過程提供了方便，既可以簡化系統(tǒng)方程，又降低了網(wǎng)格生成的難度，但在同階次下的自由度要比連續(xù)單元要多，計算量大。另外，由于幾何角點處的場變量要通過內(nèi)部點外插得到，在處理多域界面問題時，會導致場變量求解的不精確[12]。

為了統(tǒng)一連續(xù)和非連續(xù)單元，采用一種新型的擴展單元插值法[13]來求解二維線彈性問題。擴展單元是在非連續(xù)單元的兩端和邊界上添加虛點，繼承了連續(xù)和非連續(xù)單元的優(yōu)點，同時克服了它們存在的缺點。擴展單元有兩套形函數(shù)，一種是RawShape形函數(shù)，由內(nèi)部的源點構(gòu)造。另外一種形函數(shù)是由源點和虛點一起構(gòu)造，稱為FineShape。邊界積分方程中的物理變量通過FineShape插值，但系統(tǒng)的矩陣方程只在源點處配置。RawShape是用來構(gòu)建源節(jié)點和虛節(jié)點之間的關(guān)系，根據(jù)這一關(guān)系可以通過源節(jié)點來消掉虛節(jié)點的自由度，以達到不改變系統(tǒng)方程自由度前提下，提高插值精度的目的。

1 擴展單元插值法

1.1 擴展單元

擴展單元是由源節(jié)點和虛節(jié)點組成，圖1給出了3種不同類型的擴展單元，其中圖1(a)為常值擴展單元，圖1(b)為線性擴展單元，圖1(c)為二次擴展單元，相應(yīng)的形函數(shù)如式(1)～式(3)所示。

圖1 3種不同類型的擴展單元Fig.1 Three kinds of expanding elements

(1)

(2)

(3)

1.2 擴展單元插值法的具體實現(xiàn)過程

在擴展單元中虛節(jié)點并不作為源節(jié)點出現(xiàn)在最終的系統(tǒng)方程中，如何得到虛節(jié)點的值就顯得尤為重要。以圖2的四邊形模型域來介紹一下不同條件下虛節(jié)點值的計算方法。

圖2 擴展單元插值法具體實現(xiàn)實例Fig.2 The example of the concrete implementation of the expanding element interpolation method

(4)

(5)

對于連續(xù)場(位移邊界條件)，可以采用式(6)、式(7)求得。

(6)

(7)

所有虛節(jié)點值得到之后，邊界積分方程中的物理變量就可以通過擴展單元的FineShape來插值了，如圖2中右邊那條邊的位移和面力可以通過式(8)插值得到。

(8)

式中：u和t分別為所有節(jié)點的位移和面力。

將式(5)～式(7)代入式(8)中，可以得到擴展單元插值法所用的最終表達式，如式(9)所示：

(9)

利用擴展單元插值計算時，虛節(jié)點的值并不作為獨立的變量，它是由已知邊界條件或者由和它相連接的鄰近單元的RawShape外插得到。虛節(jié)點的自由度是可以通過和源點的關(guān)系凝集掉，最終的系統(tǒng)方程只在源點處配置，方程的大小并沒有發(fā)生變化。另外，通過在幾何頂點處布置兩個虛點(針對二維問題，兩個虛點分別屬于和它兩連的兩個單元)，無論是連續(xù)場還是非連續(xù)場都可以得到精確的估計。

2 邊界積分方程的數(shù)值離散

彈性問題的邊界積分方程即式(10)，求解該問題時，首先需要對該問題的方程進行數(shù)值離散，將邊界Γ離散為ne個擴展單元，每一個擴展單元有nα個節(jié)點(包括源節(jié)點和虛節(jié)點)，式(10)可以離散為式(12)的形式

(10)

(11)

(12)

Hu=Gt

(13)

(14)

若整個計算域中包含n個源點和m個虛點，將矩陣中的元素按已知和未知的邊界條件來區(qū)分，式(13)可以表示為

(15)

(16)

式(16)中：Nr表示擴展單元的RawShape形函數(shù)，將式(16)代入式(15)中，式(15)可進一步寫為

Ax=f

依照多媒體技術(shù)目前在高中物理教學中的教學現(xiàn)況來說，高中物理多媒體技術(shù)的課堂質(zhì)量需要快速地提升，將傳統(tǒng)老舊的教學模式進行改革創(chuàng)新.把多媒體技術(shù)資源合理的運用到高中物理教學中的最終目標是利用現(xiàn)代教育技術(shù)配合高中物理教學并搭配傳統(tǒng)的教學方式，更好的呈現(xiàn)教與學的完美融合.伴隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的迅速發(fā)展，堅信多媒體技術(shù)在高中物理教學領(lǐng)域中能夠擁有更遼闊的教育應(yīng)用前景.

(17)

式(17)中：矩陣A、向量x和f′分別表示為

(18)

由式(17)、式(18)可知，線性系統(tǒng)方程系數(shù)矩陣的大小和用傳統(tǒng)非連續(xù)單元插值時的一樣，且和虛節(jié)點有關(guān)的變量在整個系統(tǒng)矩陣中并沒有出現(xiàn)，因此系統(tǒng)方程的自由度大小并沒有改變。所以，本文方法提高插值精度的同時并沒有改變系統(tǒng)方程的自由度大小。

3 數(shù)值算例

為了驗證擴展單元插值方法在求解彈性問題時的計算精度和收斂性，給出了兩個算例，并與相應(yīng)的參考解進行對比。為了估算本文方法的計算誤差和收斂性，給出了一種相對誤差Eerror的估計公式，如式(19)所示：

(19)

3.1 懸臂梁

在本例中，將擴展單元插值法應(yīng)用于懸臂梁問題，懸臂梁幾何結(jié)構(gòu)如圖3所示。自由端收到y(tǒng)方向載荷P的作用，相應(yīng)的位移和應(yīng)力的解析解[14]分別為

(20)

(21)

A、B、C、D表示懸臂梁的4個頂點圖3 懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig.3 The structure of cantilever beam

從圖4～圖7可以看出，采用擴展單元插值法得到的計算結(jié)果，無論是精度還是收斂性都要比傳統(tǒng)連續(xù)和非連續(xù)單元的要高。

圖4 AB邊上y方向的位移uy的收斂性Fig.4 Convergence rates of the displacement uy along the edge AB

圖5 AB邊上y方向的位移uyFig.5 The displacement uy along the edge AB

兩個小圖表示該區(qū)域的放大圖圖6 x=0.5L處正應(yīng)力Fig.6 The normal stress at x=0.5L

圖7 x=0.5L處剪應(yīng)力Fig.7 The shear stress at x=0.5L

3.2 復(fù)雜幾何模型

為了進一步驗證本文算法，給出了一個較為復(fù)雜的計算模型，幾何參數(shù)如圖8所示(其中內(nèi)孔半徑和倒角R1均為1 mm，底邊和左側(cè)邊的長度分別為8 mm和9 mm)，相應(yīng)的材料參數(shù)為：楊氏模量E=1 000.0 MPa，泊松比v=0.25，BC邊上遭受均布載荷P=1.0 N的作用。

圖8 幾何模型Fig.8 The geometry model

在幾何模型上共布置260個節(jié)點，本文方法計算得到的圓弧AB邊上和模型內(nèi)部EF線上的位移結(jié)果如圖9、圖10所示(把有限元軟件采用81 097個節(jié)點的計算結(jié)果作為參考解)。相應(yīng)的云圖結(jié)果如圖11～圖13所示。

圖9 圓弧邊AB上的位移Fig.9 The displacement along arc AB

圖10 幾何模型內(nèi)部直線EF上的位移Fig.10 The displacement along the line EF in geometry model

圖11 x方向位移云圖Fig.11 The displacement nephogram in the x direction

圖12 y方向位移云圖Fig.12 The reference solution of the displacement in the y direction

圖13 米塞斯應(yīng)力云圖Fig.13 The reference solution of the Von mises stress

從圖9～圖13可以看出，采用本文方法得到的圓弧AB邊上和內(nèi)部直線EF上位移的計算結(jié)果以及米塞斯應(yīng)力結(jié)果，與用有限元軟件得到的參考解吻合得相當好，進一步驗證了本文方法的可行性和精確性。

4 結(jié)論

采用了一種新型的擴展單元插值方法來求解二維線彈性問題。擴展單元統(tǒng)一了邊界元法數(shù)值實現(xiàn)中存在的兩種類型的單元(即連續(xù)單元、非連續(xù)單元)，既繼承了它們的優(yōu)點，又克服了它們插值過程中存在的缺點。通過在幾何角點和邊界條件間斷處布置兩個虛點，無論是連續(xù)場還是非連續(xù)場，擴展單元插值法都可以精確的估計。另外，由于擴展單元中的虛節(jié)點并不被當作源點使用，因此虛節(jié)點不會出現(xiàn)在系統(tǒng)方程的系數(shù)矩陣中，系統(tǒng)方程系數(shù)矩陣自由度的大小并沒有發(fā)生變化。所以本文方法可以在不增加計算量的前提下，提高了整體的計算精度。數(shù)值算例表明，采用擴展單元插值法分析彈性問題時，在保證插值精度的同時，收斂性也得到了提高。