陳亞英，姚鳳麒

(安徽工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

目前關(guān)于系統(tǒng)同步的研究大多數(shù)都集中在漸近同步方面[1-5]，即要求耦合系統(tǒng)的狀態(tài)在無限時間內(nèi)相同.與漸近同步不同，有限時間同步是指當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一范圍內(nèi)時，系統(tǒng)的狀態(tài)在一定的時間內(nèi)不超過某一預(yù)先給定的界限[6-11].在實際的工程應(yīng)用中，人們除了關(guān)注耦合系統(tǒng)在無限時間內(nèi)的漸近同步外，更感興趣的是在給定時間內(nèi)系統(tǒng)是否能夠滿足一定的暫態(tài)性能.近年來，有限時間同步吸引了大量的學(xué)者研究[6-13].例如，Ali M等[6]討論了帶Markovian復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題；Mei J等[10]針對參數(shù)不匹配的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)研究了有限時間同步問題；Wu K N等[12]針對脈沖隨機反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的有限時間同步問題展開研究；Bao H等[13]研究了兩個不同時滯混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題.

然而，對于混沌系統(tǒng)而言，即使兩個混沌系統(tǒng)是相同的，只要初始條件有細(xì)微的差異，這兩個系統(tǒng)就不會達(dá)到同步.在實際生活中，初始條件恰恰是不能完全確定的，這就使得混沌同步的研究變得極為重要.自從Pecora等[14-15]于20世紀(jì)90年代提出了驅(qū)動響應(yīng)同步方法實現(xiàn)了兩個混沌系統(tǒng)的同步，自此以后混沌同步成為工程應(yīng)用領(lǐng)域的研究熱點[13,16-20].隨著對混沌系統(tǒng)控制的深入研究，脈沖控制同步法作為一種用來控制混沌的新方法，已經(jīng)被很多學(xué)者證實是非常有效的.它相對于連續(xù)控制方法性能更好、成本更低且易于實施[1-2,6].在實際系統(tǒng)中，從脈沖對系統(tǒng)同步性能的影響來說，可以分為去同步脈沖和同步脈沖.在現(xiàn)有的研究文獻(xiàn)中，大部分假設(shè)它們是分開發(fā)生的[4,12].由于在實際系統(tǒng)中，不同的時刻受到不同的脈沖擾動，可能導(dǎo)致它們同時存在.因此，同時考慮去同步脈沖和同步脈沖構(gòu)成的混合脈沖具有重要研究意義[1,21-22].例如，Wong W K等[1]研究了具有混合脈沖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題.在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中同時考慮去同步脈沖和同步脈沖，建立了統(tǒng)一處理去同步脈沖和同步脈沖的框架.

基于以上討論，受Wong W K等[1]研究的啟發(fā)，擬針對參數(shù)一致的驅(qū)動響應(yīng)混沌系統(tǒng)有限時間脈沖同步問題展開研究.與Wong W K等人的研究不同，本文設(shè)計了一種混合脈沖控制器包含線性反饋部分和脈沖控制部分，其中反饋控制增益可以抵消不利脈沖帶來的影響；并且本文考慮的是混沌系統(tǒng)有限時間脈沖同步問題.首先，在系統(tǒng)模型中同時考慮了去同步脈沖和同步脈沖，設(shè)計了一種合適的混合脈沖控制器；其次，通過選擇合適的Lyapunov函數(shù)，利用有限時穩(wěn)定性理論、比較引理和平均脈沖區(qū)間法，給出了系統(tǒng)有限時間同步的充分條件；最后，給出一個數(shù)值算例表明了理論結(jié)果的有效性.

1 系統(tǒng)描述及準(zhǔn)備

考慮如下具有時變時滯的驅(qū)動系統(tǒng)：

(1)

其中：x(t)∈n表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量；A，B，D∈n×n為已知常數(shù)矩陣；C=(cij)n×n1=(c1,c2,c3,…,cn1)；cj(j=1,2,…,n1)是C的第j列；τ(t)為時變時滯，且滿足0≤τ(t)≤τ；非線性函數(shù)n.

以式(1)為驅(qū)動系統(tǒng)，則相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)形式如下:

(2)

這里，y(t)∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u(t)是控制輸入.

(3)

這里，脈沖序列{tk}(k∈)滿足0

(4)

這里，g(CTe(t),x(t))=f(CTy(t))-f(CTx(t))，假設(shè)e(t)在t=tk處是左連續(xù)的.為了簡化，認(rèn)為e(t)在t0=0處是連續(xù)的.

注1 文獻(xiàn)[23]通過設(shè)計混合脈沖控制器研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步問題，然而所考慮的脈沖增益在不同的時刻是不變的.本文所設(shè)計的控制器脈沖增益在不同的時刻是不同的.其中包括反饋控制部分和脈沖控制部分，可以通過調(diào)整反饋控制增益H的大小來使同步條件成立.因此，本文設(shè)計的混合脈沖控制器(3)更具有適用性.

注2 當(dāng)脈沖強度hk>1時，脈沖效應(yīng)是抑制同步的，即去同步脈沖；當(dāng)脈沖強度hk<1時，脈沖效應(yīng)是促進(jìn)同步的，即同步脈沖.特別地，當(dāng)hk=1時是非活動脈沖，非活動脈沖對系統(tǒng)的同步既無危害又無益處.因此本文主要研究去同步脈沖和同步脈沖對系統(tǒng)同步的影響.

誤差系統(tǒng)(4)的初始條件定義為:e(s)=φ(s)，-τ≤s≤0.

(5)

這里，φ(·)∈C([-τ,0],n).

在介紹主要結(jié)果之前，先介紹如下主要假設(shè)、引理和定義.

假設(shè)1 假設(shè)fi(·)屬于一個扇區(qū)[0,l]，即fi(ξ)(fi(ξ)-lξ)≤0.則:

因此可以接著推出:

(6)

假設(shè)2 假設(shè)去同步脈沖和同步脈沖的脈沖強度分別從有限集{μ1,μ2,…,μN}和{v1,v2,…,vM}中取值，滿足μi>1，0

(7)

則脈沖強度為μi的去同步脈沖的平均脈沖區(qū)間不小于εi，脈沖強度為vj的同步脈沖的平均脈沖區(qū)間不大于ρj.

注3 在文獻(xiàn)[4，12，24]中，研究者對去同步脈沖和同步脈沖是分開考慮的.本文同時考慮去同步脈沖和同步脈沖構(gòu)成的混合脈沖.因此，本文所構(gòu)建的系統(tǒng)模型更具有普遍性.

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中將推出驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)有限時間脈沖同步的充分條件.利用Lyapunov函數(shù)法可建立如下定理.

(8)

|eaταR-a|T+eaταRτ≤lnm2-lnRm1.

(9)

證明選擇李雅普諾夫函數(shù):V(t)=eT(t)e(t).

首先，當(dāng)t∈(tk-1,tk](k=1,2,…)時，沿著誤差系統(tǒng)(4)對V(t)求導(dǎo):

(10)

由引理2和式(6)可知，存在正數(shù)α，β使得:

(11)

(12)

將式(11)、(12)代入式(10)，可得：

(13)

(14)

對于任意ε>0，令v(t)是如下脈沖時滯系統(tǒng)的唯一解:

(15)

從引理1可知V(t)≤v(t)，對?t≥0.根據(jù)參數(shù)變易法，v(t)可以表示為:

(16)

(17)

(18)

由定義1和式(18)可得:

(19)

從式(16)和式(19)，可以推出:

(20)

令U(t)=eatv(t)，則:

(21)

令ε→0，由引理3可以推出:

(22)

再由條件(9)，立即可得:V(t)≤v(t)≤Rm1elnc2-lnRc1=m2，t∈[0,T].

(23)

即:

‖e(t)‖2≤m2，t∈[0,T].

(24)

即驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)是關(guān)于(m1,m2,T)有限時間同步的.

證畢.

注4 當(dāng)脈沖效應(yīng)抑制同步時，為了保證同步，則要求脈沖之間的時間間隔不能太小.在以往的研究結(jié)果中，大多采用tk-tk-1≥ε，通過調(diào)整ε的值來保證去同步脈沖發(fā)生的不頻繁.本文同時考慮去同步脈沖和同步脈沖，即使去同步脈沖頻繁發(fā)生，可以增大ρj使同步脈沖頻繁發(fā)生來抵消去同步脈沖的影響，驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)仍能同步.

注5 對于大多數(shù)的脈沖信號，脈沖發(fā)生的時間間隔不是相等的即它不是均勻分布的.倘若脈沖區(qū)間的上界比較大，下界比較小，在文獻(xiàn)[3，12，16]中，作者采用脈沖間隔的上下界來表示脈沖發(fā)生的頻率可能導(dǎo)致所得的結(jié)果具有一定的保守性.

當(dāng)混合脈沖控制器考慮的是時不變脈沖時，即在不同的時刻脈沖強度是不變的.此時μi≡μ1，εi≡ε1，vj≡v1，ρj≡ρ1，其中i=1,2,…N，j=1,2,…M，滿足μ1>1，0

(25)

|eaταR-a|T+eaταRτ≤lnm2-lnRm1.

(26)

3 數(shù)值算例

對于本文研究的混沌系統(tǒng)有限時間脈沖同步問題，將用一個數(shù)值算例來驗證理論結(jié)果的有效性.

考慮將如下蔡氏電路作為驅(qū)動系統(tǒng)[16]:

(27)

(28)

(29)

將采用脈沖控制器(3)來實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)(28)和響應(yīng)系統(tǒng)(29)的有限時間同步，定義e(t)=y(t)-x(t)為驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差，得到如下誤差系統(tǒng):

(30)

圖1 驅(qū)動系統(tǒng)(28)圖2 響應(yīng)系統(tǒng)(29)Fig.1 Drive system(28) Fig.2 Response system(29)

圖3 脈沖序列圖4 誤差系統(tǒng)軌跡(30) Fig.3 Impulse sequence Fig.4 The trajectory of error system(30)

圖5 脈沖間隔為ρ1=0.2時的脈沖序列圖6 脈沖間隔為ρ1=0.2時的誤差系統(tǒng)軌跡(30)

4 結(jié)論

通過設(shè)計混合脈沖控制器研究了混沌系統(tǒng)的有限時間脈沖同步問題.在系統(tǒng)模型中，同時考慮去同步脈沖和同步脈沖構(gòu)成的混合脈沖，因此更具有普遍性.并且本文所設(shè)計混合脈沖控制器包括線性反饋部分和脈沖控制部分，可以通過調(diào)節(jié)反饋控制增益來使系統(tǒng)達(dá)到有限時間同步.最后通過一個數(shù)值算例驗證了理論結(jié)果的有效性.本文考慮的是參數(shù)一致的混沌系統(tǒng)的有限時間脈沖同步問題.然而，在實際系統(tǒng)中很難做到參數(shù)完全一致.因此，在今后的研究中，將深入研究參數(shù)不匹配對混沌系統(tǒng)的影響.