朱輝

新授課、試卷講評課是高中數(shù)學教學的一些不同課型。課型不同，教師教學的側(cè)重點自然也會有所不同，采取的教學方法也會大相徑庭，運用的教學理念也會略有差異。

一、新授課重在精講點撥，適時引導(dǎo)

新授課教學的核心要義是“精講點撥”，注重知識概念的形成。以教學“橢圓及其標準方程”為例，在建系并寫出橢圓上的點滿足的方程以后如何化簡，教師既要注意放手讓學生自己去探索，又要特別注意引導(dǎo)與提示，帶領(lǐng)學生走向正確的思維方向。

教師在引導(dǎo)學生建系并寫出方程[（x+c）2+y2][+（x-c）2+y2=2a]以后，如何化簡該方程呢？此時，教師不急于講解教材的移項平方、再移項再平方的技巧，而是從學生解答的情況出發(fā)，從不同的角度來推導(dǎo)橢圓的標準方程，并且在此過程中加以引導(dǎo)，在思想方法上進行提示。

教師可以這樣引導(dǎo)學生：“剛剛有同學直接對該式進行了平方，整理以后的式子是：[2（x2+y2+c2）][+2（x2+y2+c2）2-4c2x=4a2]，很多同學化簡到此處就化簡不下去了，這時候該怎樣去處理？”這時，有些化簡成功的學生會說根號下面次數(shù)太高，不太好處理，但是注意到整個式子中出現(xiàn)了相同的結(jié)構(gòu)，即[x2+y2+c2]，這時可以換元，即[t=x2+y2+c2]，讓整個式子變得簡單，次數(shù)也相應(yīng)降低。照此方法化簡下去可以比較快的得到：[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）]。

此時，教師引導(dǎo)學生換種思路：“我們將[a2-c2]換元成[b2]，這樣可以使整個式子簡單、對稱，同時也隱含了橢圓的幾何意義在其中，下節(jié)課我們將會探求[b2]的幾何意義?！边@樣留下伏筆，可以激發(fā)學生繼續(xù)學習的興趣。然后，教師補充：“還有沒有更好的方法呢？”一名學生說：“可以移項平方，再移項再平方?！比缓?，教師為學生整理出以下兩種簡化方法。

第一種：注意到兩個根號里面的式子的差為[4cx]，所以在原等式的左邊乘以[（x+c）2+y2-（x-c）2+y2]，這樣即可得到：[（（x+c）2+y2-（x-c）2+y2）][（（x+c）2+y2][-（x-c）2+y2）=4cx]，又[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]①，所以可以得到[（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa]②;然后由①②兩式可解出[（x+c）2+y2=a+cax]或者[（x-c）2+y2=a-cax]。

第二種：注意到[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]，結(jié)合等差數(shù)列中的等差中項的性質(zhì)，也就是古代數(shù)學史中的和差法，我們可以設(shè)[（x+c）2+y2=a+t]，[（x-c）2+y2=a-t]，然后將兩式平方再相減，即可得：[4at=4cx]，即[t=cxa]，再帶回上面兩式中，即得到：[（x+c）2+y2=a+cax]或者[（x-c）2+y2=a-cax]。

到這里，學生已經(jīng)知道后續(xù)的推導(dǎo)過程了，同時也感慨數(shù)學方法的奇妙。教師可以鼓勵有興趣的學生閱讀相關(guān)數(shù)學書籍，培養(yǎng)他們的學習興趣，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)。

二、講評課重在解疑釋惑

講評課是基于學生在各種檢測中暴露出來的知識漏洞與能力短板而設(shè)計的。教師在講解這些共性問題和典型問題時，要力爭做到舉一反三、觸類旁通。

以下是2020年全國一卷“圓錐曲線”的一道例題：如下圖，已知A，B分別為橢圓[E∶x2a2+y2=1（a>1）]的左、右頂點，G為E的上頂點，[AG×GB=8]，P為直線[x=6]上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D。（1）求E的方程;（2）證明：直線CD過定點。

由于學生已經(jīng)花了很多時間進行思考，很多學生也已經(jīng)用不同的方法完成了該題的解答，所以在講解試卷中的這道題時應(yīng)該從學生的解答入手，選取一些比較典型的解法，分析各種解法的思考過程，各種解法的計算量的差別，各種解法對于該題的認識等，以下是一些解法舉例及分析。

第一種：設(shè)P（6，[t]），則直線PA的方程為[y=][t9（x+3）]，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可解出點C的坐標。同理，也可解出點D的坐標，這樣就可以寫出直線CD的方程。最后對直線CD的方程進行化簡，將方程化簡為[y=4t3（3-t2）（x-32）]，即求得直線CD過定點。

第二種：前面的方法與第一種基本相同，但可以在第一種解法上稍做改進，注意到直線CD關(guān)于[x]軸的對稱性，可以提前判斷出直線CD應(yīng)該過橫軸上的定點，所以最后在對直線CD的方程進行化簡時，可以直接令[y=0]，即求得[x=32]，為整道題的順利完成節(jié)省時間。

第三種：由第二種思路得到提示，出直線CD應(yīng)該過橫軸上的定點，所以對前面的解法進行改進，直接設(shè)直線CD的方程，而且設(shè)為橫截距式[x=my+n]，然后與橢圓方程關(guān)聯(lián)立即得到：[（m2+9）y2+2mny+n2-9][=0]。由于直線PA的方程為[y=t9（x+3）]，所以得到[y1=t9（x1+3）]，又直線PB的方程為[y=t3（x-3）]，所以得到[y2=t3（x2-3）]，兩式相除可得[3y1（x2-3）=y2（x1+3）]，進一步化簡得[2my1y2=（n+3）y2-3（n-3）y1]，將[y1=][-2mnm2+9-y2]，然后進一步化簡就可以求出[n=32]。

第四種：在第三種得到[3y1（x2-3）=y2（x1+3）]的基礎(chǔ)上，進行另一種化簡模式。由于[x229+y22=1]，故[y22=-（x2+3）（x2-3）9]，可得[27y1y2=-][（x1+3）（x2+3）]，將[y1+y2=-2mnm2+9]，[y1y2=][n2-9m2+9]代入上式得[（27+m2）][（n2-9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0]，解得[n=32]。

第一種方法最常規(guī)，計算量也最大，最適合學生，是學生最容易采取的方法。從最后閱卷得分來看，這種方法得分情況最好，雖然沒有得滿分，但只要寫出C，D的坐標，就可以得到相當可觀的分數(shù)。第二種方法在第一種方法的基礎(chǔ)上進行了改進，不僅可以得高分，而且可以節(jié)省不少時間。第三、四種方法對學生能力要求極高，但是計算量較第一種和第二種要小很多，其中第三種直接把[y1]用[y2]替換，不是對偶式，學生一般不敢去嘗試，但實質(zhì)上計算量很小。第四種方法利用平方關(guān)系進行替換，變成了對偶式，方法比較巧妙，計算量也較小。

（作者單位：武漢市蔡甸區(qū)漢陽一中）