趙 晨，宋芝業(yè)

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022）

關(guān)于楊輝《詳解九章算法》的研究，前人已經(jīng)取得了比較顯著的研究成績(jī)。其中，郭書春的《詳解九章算法提要》以及高宏林、李小娟的《楊輝算法提要》兩篇文章，分別是在《中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯》中，對(duì)該算書內(nèi)容有概略性說(shuō)明，有助于讀者掌握算書的精髓?？讎?guó)平的《楊輝《詳解九章算法》初探》對(duì)于《詳解九章算法》的“解題”、“圖解”等體例有所說(shuō)明。錢寶琮的《九章問(wèn)題分類考》為《九章算術(shù)》及《詳解九章算法纂類》二書的章節(jié)及題文列出對(duì)照表，他認(rèn)為《詳解九章算法纂類》的分類方式有若干不妥處，并積極地為《九章算術(shù)》的題文重新分類，提出自已的另一種見解。林麗娜的《楊輝《詳解九章算法纂類》研究》除了討論《詳解九章算法纂類》的分類內(nèi)容之外，以商功章“方錐”等題為例，并對(duì)于《詳解九章算法》的體例進(jìn)行說(shuō)明。呂變庭的《增補(bǔ)＜詳解九章算法＞》是對(duì)楊輝注《九章算術(shù)》進(jìn)行了校對(duì)和注釋；其它對(duì)于楊輝《詳解九章算法》的研究大部分以算術(shù)內(nèi)容的考證及分析為導(dǎo)向，在這其中郭熙漢，孫文青，代欽等做出了大量的工作[1-5]。

在這些工作之外，對(duì)于楊輝在《詳解九章算法》中運(yùn)用到的比類思想?yún)s很少被提及，有待于進(jìn)一步的研究及發(fā)掘；但楊輝的該種比類思想?yún)s在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)發(fā)展中占有著重要的地位，并且對(duì)于當(dāng)今社會(huì)的數(shù)學(xué)教育的發(fā)展也有著借鑒意義。基于此，通過(guò)探討比類這一思想，來(lái)分析和歸納楊輝在該著作中運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思維方法，來(lái)試圖找出在數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展上的些許啟發(fā)。

1 楊輝與《詳解九章算法》概述

楊輝，字謙光，漢族，錢塘（今浙江杭州）人，約生活在南宋末年，因其在《宋史》無(wú)傳，其它史書亦無(wú)詳細(xì)記載，故其具體生卒年已不可考，是中國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)教育家。楊輝一生著作頗豐，著有數(shù)學(xué)著作5 種21 卷，即《詳解九章算法》12 卷（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通變本末》3卷（1274），《田畝比類乘除捷法》2卷（1275）和《續(xù)古摘奇算法》2卷（1275）（其中《詳解》和《日用算法》已非完書）。而成書于景定辛酉年（1261）的《詳解九章算法》是其早年研習(xí)《九章算術(shù)》的心得，該書在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上占有著極其重要的歷史地位。

《詳解九章算法》是在賈憲《黃帝九章算法細(xì)草》的基礎(chǔ)上寫成的?！对斀饩耪滤惴ā返念}目順序遵循《九章算術(shù)》中的題目順序，內(nèi)容包括原題、新題、解題、圖、法（術(shù)）、草、比類、總說(shuō)、注釋等，《纂類》一章則對(duì)《九章算術(shù)》中原有的題目進(jìn)行了重新的分類。

楊輝在《詳解九章算術(shù)》一書自述中寫到：“擇八十題以為矜式，自余一百六十六問(wèn)，無(wú)出前意，不敢廢先賢之文。刪留題次，習(xí)者可以聞一知十?？謫?wèn)隱而添題解，見法隱而續(xù)釋注，刊大小字以明法草，僭比類題以通俗務(wù)。凡題法解白不明者，別圖而驗(yàn)之，編乘除諸術(shù)以便入門。纂法問(wèn)類次見之章末，總十有二卷。雖不足補(bǔ)前賢之萬(wàn)一，恐亦可備故來(lái)之觀覽云爾?！?/p>

通過(guò)上文楊輝的自述可以得知，《詳解九章算法》共計(jì)有12 卷，分別為：圖驗(yàn)卷、乘除卷(包括方田三十八問(wèn)和粟米三問(wèn))、除率卷(包括粟米五問(wèn)和盈不足四問(wèn))、合率卷(包括少?gòu)V章十一問(wèn)、均輸章八問(wèn)及盈不足一問(wèn))、互換卷(包括粟米三十八問(wèn)、衰分十一問(wèn)、均輸十一問(wèn)及盈朒三問(wèn))、衰分卷(包括原衰分九問(wèn)和均輸九問(wèn))、壘積卷(原商功章)、盈不足卷(原盈不足章)、方程卷(包括原方程一十八問(wèn)和盈朒一問(wèn))、勾股卷(包括少?gòu)V十三問(wèn)、商功一問(wèn)及原勾股章二十四問(wèn))、題兼二法者卷(如“九節(jié)竹”、“故問(wèn)糲米”等)、以及纂類卷。在與《九章算術(shù)》的原有分章體例相比較的話，《詳解九章算法》在問(wèn)題分類上有了巨大的突破。

2 《詳解九章算法》中的例題

楊輝在《詳解九章算法》中創(chuàng)造性的應(yīng)用了“以法御題”和“因法推類”兩種數(shù)學(xué)方法。在書中“比類”這一欄，則是楊輝運(yùn)用這兩種數(shù)學(xué)方法最好的體現(xiàn)。楊輝的以法御題，便是在給出相關(guān)問(wèn)題的各種解法之后在文末又加上比類這一項(xiàng)目，創(chuàng)造性的給出了該種解法所適用的若干性質(zhì)相近的題目。

現(xiàn)根據(jù)楊輝在書中對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分類將例題歸納為以下幾類：

2.1 合率

今有乘傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里。今載太倉(cāng)粟輸上林，五日三返。問(wèn)：太倉(cāng)去上林幾何?

答曰：四十八里一十八分里之一十一。

術(shù)曰：并空、重里數(shù)，以三返乘之，為法。令空、重相乘，又以五日乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一里。

解題：以合分互用，兼粟米互換之術(shù)，而立題。

術(shù)曰：并空重車日行里數(shù)。以三返乘之為法。令空、重車相乘。以五日乘之為實(shí)。實(shí)如法而一。

草曰：空、重車?yán)飻?shù)為分母，各以一日為分子。母互乘子。以三返乘之為法。令空、重車?yán)飻?shù)相乘。又以五日乘之為實(shí)。實(shí)如法而一，合問(wèn)。

比類：五十分之一，七十分之一。問(wèn)：合之幾何?

答曰：合之得三百五十分之一百二十，反求得二余一十二分之十一。

法曰：合分求之，反用母互乘子為法，母相乘為實(shí)，實(shí)如法而一，合問(wèn)。

2.2 衰分

今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤。問(wèn)：次一尺各重幾何？

答曰：末一尺重二斤，次一尺重二斤八兩，次一尺重三斤，次一尺重三斤八兩，次一尺重四斤。

術(shù)曰：令末重減本重，余，即差率也。又置本重，以四間乘之，為下第一衰。副置以差率減之，每尺各自為衰。副置下第一衰，以為法。以本重四斤遍乘列衰，各自為實(shí)。實(shí)如法得一斤。

解題：九節(jié)竹隱，其差為問(wèn)。金箠以明其差為問(wèn)。

術(shù)曰：本重減末重，余即差率。

又置本重四斤間乘之，為下第一衰。副置。差率二減之，求差如衰分求之。各列置衰、副，并為法。以所分乘未并者。以法除之。

草曰：本重四斤減末重二斤，余即差率。又置本重四斤，間乘之。為下第一衰。副置。以差率二減之。各列為衰。副置下第一衰。為法，乃以本重四斤遍乘列衰。各自為實(shí)，以法除之，合問(wèn)。

比類：五人均銀二十兩，丙、甲得五兩二錢，戊得二兩八錢。

問(wèn)：乙、丙、丁各得幾何？

答曰：乙得二兩六錢，丙得四兩，丁得三兩四錢。

別草：并甲、戊半之，求丙；并甲、丙半之，求乙；并丙、戊半之，求丁。合問(wèn)。

2.3 疊積

今有方堡壔，方一丈六尺，高一丈五尺。問(wèn)：積幾何?

答曰：三千八百四十尺。

術(shù)曰：方自乘，以高乘之，即積尺。

解題：上下方相等，形如方柱，題類堆垛。

草曰：方一十六尺，自乘，得二百五十六，以高一十五尺乘之，得三千八百四十尺。

比類：方棧酒，東、西、南、北各一十六瓶，高一十五瓶。問(wèn)：總計(jì)幾何?

答曰：三千八百四十瓶。

2.4 盈不足

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何?

答曰：人七人，物價(jià)五十三。

解題：隱互為題，法按后草。

草曰：以盈、不足。盈三文，不足四。令維乘所出率。并盈、不足為法。實(shí)如法而一。

比類：舊例支銀，人給八兩，回納三兩；人給七兩，申添四兩。問(wèn)：本銀、原人各幾何?

答曰：原銀五十三兩，舊給七人。

草曰：回三兩，添四兩，互乘七兩、八兩，求之。

2.5 方程

今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一 斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢九十五。問(wèn)：一斗直幾何?

答曰：麻一斗七錢，麥一斗四錢，菽一斗三錢，荅一斗五錢，黍一斗六錢。

術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。以法減第二行得荅價(jià)。左行得麥價(jià)，第三行得麻價(jià)，右行得菽價(jià)。如此凡用七十七算。

以新術(shù)為此。

草曰：列所問(wèn)數(shù)，同前體求。

麻麥菽荅黎 價(jià)直

九 七 三 二 五 一百四十

七 六 四 五 三 一百二十八

三 五 七 六 四 一百一十六

二 五 三 九 四 一百一十二

一三二八五 九十五

比類：綾七尺，絹二尺，共價(jià)四百二十六；綾三尺，絹四尺，共價(jià)二百八十。問(wèn)：綾、絹尺價(jià)幾何？

答曰：綾五十二，絹三十一。此問(wèn)出應(yīng)用。

2.6 勾股

勾八尺，股一十五尺。問(wèn)：為弦?guī)缀?答曰：十七尺。

解題：原問(wèn)勾三股四，求弦五。其數(shù)差一，不足。驗(yàn)法：今借后題數(shù)目言之，形如半圭田。

草曰：勾、股各自乘，并而。開方,除之合問(wèn)。

比類：田長(zhǎng)二百五十步，闊一百二十步。問(wèn)：兩隅相去幾何?

答曰：二百五十五步。

草曰：長(zhǎng)、闊各自乘，并而得六萬(wàn)五千二十五，開方，合問(wèn)。

2.7 題兼二法

今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日長(zhǎng)七寸。瓠生其下，蔓日長(zhǎng)一尺。問(wèn)：幾何日相逢?瓜瓠各長(zhǎng)幾何?

答曰：五日十七分日之五，瓜長(zhǎng)三尺七寸一十七分寸之一，瓠長(zhǎng)五尺二寸一十七 分寸之一十六。

術(shù)曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸。

解題：合率、商除，借盈、不足為問(wèn)。

合率術(shù)草曰：以垣高為實(shí)。并瓜、瓠蔓長(zhǎng)為法。實(shí)如法而一。

盈、不足率草曰：維乘并日數(shù)為實(shí)。并盈、不足為法。實(shí)如法而一,合問(wèn)。

比類：出錢一十貫，買銅一斤九文，買錫一斤七文，欲共斤數(shù)相等。問(wèn)：幾何？

答曰：各重六百二十五斤，銅價(jià)五貫六百二十五，錫價(jià)四貫三百七十五。

術(shù)草曰:并銅錫價(jià)十六為法，以出錢十貫為實(shí)，實(shí)如法而一。

3 楊輝的比類思想

用簡(jiǎn)單的方式來(lái)表示復(fù)雜的舉動(dòng)這一現(xiàn)象正是基于人類在早期認(rèn)識(shí)中就有的一種十分自然的觀念—對(duì)比。在早期的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中人們對(duì)于數(shù)學(xué)的理解是與日常的生產(chǎn)生活所緊密相連的，正因如此，“表示”和“對(duì)比”的出現(xiàn)就自然而然的出現(xiàn)了。而作為“表示”和“對(duì)比”這兩個(gè)數(shù)學(xué)思想發(fā)展的進(jìn)一步產(chǎn)物——“比類”，也伴隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步而誕生了。

關(guān)于“比類”二字的釋義，大致可以理解為，即通過(guò)比較事物間的同異關(guān)系和聯(lián)系，以進(jìn)行歸納和演繹，并從而做出進(jìn)一步的釋義和分析。

楊輝作為中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家，其對(duì)于“比類”這一數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用則是在他這里達(dá)到了一個(gè)小高潮。楊輝在《詳解九章算法》各章中對(duì)于比類這一思想方法的運(yùn)用有所側(cè)重的，凡是與幾何面積運(yùn)算有關(guān)的則運(yùn)用較多，特別是在勾股章中，除了對(duì)勾股問(wèn)題分類的更為詳盡之外，在每一問(wèn)題后尾大都加入了比類的問(wèn)題。楊輝在將比類這一數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到《詳解九章算法》之后，更是在稍后完的《田畝比類乘除捷法》中，將比類思想運(yùn)用到了極致。

通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)作的方式對(duì)《詳解九章算法》進(jìn)行分析，對(duì)書中記載的問(wèn)題，解題的方法和思路進(jìn)行深入的總結(jié)之后，以此來(lái)探討楊輝在數(shù)學(xué)研究過(guò)程中的實(shí)際行為和具體實(shí)踐過(guò)程。

在經(jīng)過(guò)分析之后，不難得出楊輝編纂《詳解九章算法》以及為何要在書中采取比類這一數(shù)學(xué)思想方法。楊輝在《詳解九章算法》中明確了以法御題的思想，明確的提出要“因法推類”，通過(guò)對(duì)《九章算術(shù)》中的問(wèn)題進(jìn)行分析和歸納后，自其中抽取八十道問(wèn)題，并且按照該問(wèn)題的具體解法進(jìn)行了重新分類，并在給出問(wèn)題得后面加上自己的解題思想方法之后，加入比類這一部分，仿照原有問(wèn)題的解法，提出可用同樣方法解答的新的問(wèn)題。

比類，這一根據(jù)事物原有屬性，對(duì)其歸類的方法在楊輝這里得到了更大的發(fā)揮，不再按照《九章算術(shù)》原有的按照問(wèn)題類型進(jìn)行分類，而是按照問(wèn)題的算法分類，這是《九章算術(shù)》發(fā)展史上的一大重要突破之處。

4 楊輝比類思想的進(jìn)一步影響

《九章算術(shù)》作為中國(guó)古代的經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，它的誕生標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想體系的初步確立。但是，待到《九章算術(shù)》流傳到南宋時(shí)期，已經(jīng)有了多個(gè)不同的版本，同時(shí)在文章的體系以及內(nèi)容的編排上受于時(shí)代的限制，已經(jīng)與當(dāng)時(shí)社會(huì)發(fā)展的需求所脫節(jié)。對(duì)于剛剛接觸數(shù)學(xué)的許多普通人來(lái)說(shuō)，《九章算術(shù)》中的有些內(nèi)容過(guò)于繁雜，同時(shí)書中的某些章節(jié)的體例編排方面也是有著些許的混亂。

于是，楊輝便根據(jù)“以法御題”和“因法推類”兩種數(shù)學(xué)思想并結(jié)合自己所掌握知識(shí)對(duì)《九章算術(shù)》的體例大膽的進(jìn)行了改革、對(duì)書中的內(nèi)容進(jìn)行了重新的調(diào)整。其極具創(chuàng)新之處便是運(yùn)用“比類”這一數(shù)學(xué)思想方法。楊輝在對(duì)《九章算術(shù)》中原有的例題依據(jù)算法重新編排以后，在每個(gè)問(wèn)題的末尾又依據(jù)比類思想加入了可用同一種算法進(jìn)行解答的新問(wèn)題，以此來(lái)方便初學(xué)者進(jìn)行理解和聯(lián)系。

同時(shí)，為了方便普通學(xué)者理解書中復(fù)雜和枯燥的數(shù)字問(wèn)題，楊輝還根據(jù)書中記載的這些問(wèn)題親自繪制例圖，以此來(lái)使問(wèn)題更加形象與生動(dòng)。

在《詳解九章算法》這部著作里，我們不僅能夠看到楊輝對(duì)《九章算術(shù)》的剖析和解讀，還能看到其大膽提出自己獨(dú)到的見解和解題方法，這一系列的舉措均展現(xiàn)了楊輝高超的數(shù)學(xué)才能。值得注意的是，楊輝在繼承了北宋數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)成就基礎(chǔ)上，還在自己的著作中引用并標(biāo)明了這些理論的出處，這便使得今人在研究中國(guó)古代數(shù)學(xué)時(shí)能夠不會(huì)因?yàn)槲墨I(xiàn)的缺失而導(dǎo)致的斷代問(wèn)題所困擾。而且為中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展在世界數(shù)學(xué)發(fā)展潮流中曾經(jīng)占據(jù)領(lǐng)先地位的成就找到了堅(jiān)實(shí)的史實(shí)依據(jù)。

綜上，中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了以“推類”為主導(dǎo)推理范式的自身邏輯思路,并且持續(xù)到宋元時(shí)期。而西方則與中國(guó)不同，與中國(guó)的推類相反的是，西方注重的則是對(duì)數(shù)學(xué)定理的證明及運(yùn)用。從畢達(dá)哥拉斯定理的證明作為開始一直到牛頓-萊布尼茲的微積公式的發(fā)現(xiàn)，西方數(shù)學(xué)界走上了一條與古代中國(guó)不相同的道路。直到明清以后，西方數(shù)學(xué)開始領(lǐng)先于中國(guó)，這并不能說(shuō)明西方在數(shù)學(xué)研究上采用的方法領(lǐng)先于中國(guó)。造成這種結(jié)果的原因是多方面，不只是與研究所采用的方法有關(guān)。

因此所謂的“中國(guó)傳統(tǒng)思維方式束縛中國(guó)古代數(shù)學(xué)在明代以后進(jìn)一步發(fā)展”的說(shuō)法,是確實(shí)值得商榷的。中國(guó)古代數(shù)學(xué)受到了推類邏輯的影響,形成了自己的推理方法體系—以“類以合類”為方法論基礎(chǔ),以“類”和“分類”為推理的核心成分,以“推類”為主導(dǎo)的推理范式。這一方法體系在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)使中國(guó)古代數(shù)學(xué)處于世界領(lǐng)先地位。

5 結(jié)語(yǔ)

楊輝，作為中國(guó)古代的著名數(shù)學(xué)家，其在實(shí)用算術(shù)以及幾何問(wèn)題的求解等方面均做出了卓越的貢獻(xiàn)。同時(shí)他還有另一個(gè)身份—數(shù)學(xué)教育家，在數(shù)學(xué)教育這一方面，楊輝為數(shù)學(xué)的普及和實(shí)用耗盡了自己的心力。但因其在《宋史》中無(wú)傳，所以關(guān)于楊輝本人的生活境況沒(méi)有更多的文字記載，因此后人在對(duì)這樣一位偉大的數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育家進(jìn)行研究時(shí)對(duì)于其生平歷程便缺少了很多的了解。萬(wàn)幸的是楊輝的數(shù)學(xué)著作保存和流傳了下來(lái)，盡管在流傳的過(guò)程中，因種種原因流失了部分，然而我們依然可以通過(guò)流傳下來(lái)的作品來(lái)探究楊輝的數(shù)學(xué)成就，從而以此來(lái)窺見楊輝的偉大。

楊輝的生活年代大致在宋末元初這一時(shí)期，當(dāng)時(shí)正值蒙古大舉南侵，連年的戰(zhàn)事，動(dòng)蕩的社會(huì)，當(dāng)時(shí)社會(huì)體制下存在的弊端，都對(duì)楊輝的數(shù)學(xué)研究和推廣造成了困難和缺憾，但這些歷史原因所造成的局限卻絲毫抹殺不了楊輝作為一個(gè)中國(guó)古代數(shù)學(xué)巔峰時(shí)代—宋元時(shí)期的代表人物的偉大和光輝。

因此，我們?cè)谘芯織钶x的比類思想，以及其它的科技史著作時(shí)，我們不單單要研究其人，其著作，其思想，同時(shí)還要結(jié)合作者所處的時(shí)代背景，該時(shí)代的科技發(fā)展程度。才能對(duì)其研究的更加的透徹，從而得出正確的結(jié)論，領(lǐng)悟到古人高超的智慧。