李澔民 陸向艷

摘? 要： 為實現(xiàn)在Unity引擎中使用任意階貝塞爾曲線繪制三維物體的軌跡，本文提出了一種靈活繪制N階貝塞爾曲線的方法。該方法設(shè)計了一種可以降階的插值計算函數(shù)來實現(xiàn)自定義控制點數(shù)的N階貝塞爾曲線。對比實驗結(jié)果表明該方法有效且簡化了三維物體的運(yùn)動軌跡的參數(shù)定義，為應(yīng)用貝塞爾曲線來控制三維物體的運(yùn)動軌跡提供了方法參考。

關(guān)鍵詞： Unity;N階貝塞爾曲線;三維物體;運(yùn)動軌跡

中圖分類號： TP391.7??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A??? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.09.001

【Abstract】： In order to use the Bessel curve of arbitrary order in the Unity engine to draw the trajectory of 3d objects， this paper presents，? a flexible method for drawing N-order Bessel curve. This method designs an interpolation calculation function which can reduce the order of Bessel curve and support the custom amounts selection of control point of N-order Bessel curve. The comparative experimental results show that this method is effective and simplifies the parameter definition of motion trajectory of 3d objects. This paper provides a method for controlling the motion trajectory of 3d objects with Bessel curve.

【Key words】： Unity; N-order Bessel curve; Three-dimensional objects; Motion trajectory

0? 引言

Unity3D引擎是大多數(shù)虛擬現(xiàn)實項目選擇的開發(fā)工具[1]，應(yīng)用Unity實現(xiàn)物體運(yùn)動軌跡繪制，會受到諸多的外界干擾因素。為避免干擾，可以在Unity中使用貝塞爾曲線提前計算出路徑，再使用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動方法沿路徑進(jìn)行移動，使得到的路徑固定且運(yùn)動軌跡穩(wěn)定。已有相當(dāng)多的研究將貝塞爾曲線應(yīng)用于Unity3D引擎，例如用來對三維物體進(jìn)行彎曲[2]，控制足球射門運(yùn)動曲線等。貝塞爾曲線也在很多二維繪圖軟件（如微軟繪圖軟件、PhotoShop等）中得到應(yīng)用。使用物理公式的方法繪制物體運(yùn)動軌跡往往參數(shù)較多，后期調(diào)整軌跡需要繁雜的計算和驗證，而貝塞爾曲線則只需調(diào)節(jié)中間控制點就可以快速調(diào)整整條軌跡路線。然而，將貝塞爾曲線應(yīng)用于Unity3D環(huán)境需要進(jìn)行算法設(shè)計和編程才能使其應(yīng)用于三維坐標(biāo)，最終實現(xiàn)對三維物體運(yùn)動的控制。為此，本文提出一種繪制N階貝塞爾曲線的方法，該方法可以自定義控制點的數(shù)量，繪制出復(fù)雜的物體運(yùn)動軌跡。

1? 貝塞爾曲線

貝塞爾曲線，也稱為貝茲曲線或貝濟(jì)埃曲線，是在制作二維圖形的應(yīng)用程序中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)曲線。1962年，貝塞爾曲線由法國工程師Pierre Bezier對伯恩斯坦多項式進(jìn)行擴(kuò)展用于汽車工業(yè)輔助設(shè)計而產(chǎn)生，之后推廣而得到廣泛應(yīng)用。貝塞爾曲線的優(yōu)點是繪制曲線簡便易行，只需要定義曲線的起始點、終止點以及兩個相互分離的中間點（控制點）即可完成。用貝塞爾曲線繪制復(fù)雜曲線可以先分段定義多段曲線，然后再將這些曲線段連接起來形成所需要的曲? 線或曲面圖形[3]。貝塞爾曲線的簡單性特點，使很多? 圖形工作者選擇用它來繪制形狀較為復(fù)雜的圖形或模型[4-15]。貝塞爾曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

2? 方法描述

在實際應(yīng)用中，繪制三維物體平滑運(yùn)動軌跡，主要是應(yīng)用貝塞爾曲線2階公式或貝塞爾曲線3階公式。本文的問題是擬在Unity3D環(huán)境下，用GetBezierList函數(shù)實現(xiàn)應(yīng)用貝塞爾曲線繪制三維物體平滑運(yùn)動軌跡。解決問題的核心思想是應(yīng)用GetBezierList函數(shù)來繪制任意中間控制點（N取2或3均可）的三維貝塞爾曲線軌跡。解決方法是首先分析二階和三階貝塞爾的插值點關(guān)系，導(dǎo)出GetBezierList函數(shù)實現(xiàn)貝塞爾曲線的N階公式的插值的計算函數(shù);然后設(shè)計Unity中的實現(xiàn)貝塞爾曲線N階公式插值的計算函數(shù)代碼;最后用剛體Rigidbody組件和本文設(shè)計的貝塞爾曲線N階公式法進(jìn)行物體運(yùn)動軌跡實現(xiàn)的效果和參數(shù)復(fù)雜度對比。

3? 方法設(shè)計與實現(xiàn)

3.1? 函數(shù)設(shè)計

本文通過GetBezierList函數(shù)獲得貝塞爾曲線的線段點列表，其參數(shù)為：GetBezierList（List PiList， float pointsNum）;PiList代表包括起點和終點的所有控制點，pointsNum代表通過多少個點來描述貝塞爾曲線，這些采樣點根據(jù)式（1）中的參數(shù)t平均分布在貝塞爾曲線的路徑上。

4? 實驗與對比分析

繪制運(yùn)動軌跡我們使用unity的LineRenderer組件，LineRenderer線渲染器組件主要是用于在3D中渲染線段，使用LineRenderer我們可以對繪制線段進(jìn)行很多操作，例如設(shè)置顏色、寬度等。本文中我們在一款乒乓球游戲中利用生成N階貝塞爾曲線的方法繪制乒乓球運(yùn)球的一條預(yù)判軌跡，來展示本文提出的方法是如何在實際項目中應(yīng)用的。

LineRenderer組件可以定義一段由多個采集點構(gòu)成的曲線，然后在相鄰兩個采集點之間渲染出一條直線，只要繪制的時候生成的采集點足夠多就能繪制出相對來說更平滑的曲線。所以我們將GetBezierList方法生成出來的描述曲線的點坐標(biāo)組代入LineRenderer組件中去。

4.1? 使用Rigidbody控制物體運(yùn)動實驗

控制unity3D里面物體的物理運(yùn)動一般使用剛體Rigidbody組件來控制，賦有剛體屬性的對象可以施加力，并且可以設(shè)置物體的質(zhì)量，初速度等物理運(yùn)動初始屬性。我們控制一個乒乓球在乒乓球桌上進(jìn)行一次運(yùn)球運(yùn)動，并設(shè)置乒乓球的兩段運(yùn)動屬性如表1所示。第一段運(yùn)動為乒乓球從被擊出后到接觸到乒乓球桌上的運(yùn)動，第二段運(yùn)動為乒乓球從桌上彈起后到落地的運(yùn)動，設(shè)置好上表1中的屬性后繪制出的運(yùn)動軌跡如圖3所示。

4.2? 使用貝塞爾曲線控制物體運(yùn)動實驗

由于乒乓球在運(yùn)球的過程中會與桌面發(fā)生一次碰撞交互形成第二段運(yùn)動，所以需要繪制兩條貝塞爾曲線來描述乒乓球的整個運(yùn)球路線，第二條貝塞爾曲線的起點即為第一條曲線的終點，調(diào)節(jié)控制點的屬性屬性如表2所示。

4.3? 實驗結(jié)果分析

（1）通過圖4的對比可以看到使用貝塞爾曲線生成的運(yùn)動軌跡和使用剛體的物理學(xué)控制形成的運(yùn)動軌跡幾乎重合，可以看出貝塞爾曲線已經(jīng)可以繪制三維物體，模擬真實的物理運(yùn)動。

（2）從表1和表2的對比來看，使用剛體中的物理屬性控制物體運(yùn)動時，需要同時考慮到重力加速度、物體質(zhì)量、物體初速度、物體初速度向量等比較多的系數(shù)，這樣使得后期調(diào)整物體運(yùn)動軌跡的時候調(diào)試步驟繁雜，調(diào)試成本高。而使用貝塞爾曲線控制物體的運(yùn)動軌跡時，只需要考慮控制對應(yīng)線段的控制點，即可方便快捷的修改運(yùn)動曲線，后期維護(hù)成本較低。

（3）對于物體做一些比較特殊的運(yùn)動，或者是不受重力和其他物理因素影響的運(yùn)動這些情況，使用貝塞爾曲線來生成和配置物體的運(yùn)動路徑相當(dāng)簡單高效。

5? 結(jié)束語

使用物理公式的方法繪制物體運(yùn)動軌跡往往參數(shù)較多，后期想要調(diào)整軌跡需要繁雜的計算和驗證，而使用貝塞爾曲線則只需調(diào)節(jié)少量的中間控制點就可以快速調(diào)整條軌跡路線。在Unity中使用貝塞爾曲線可以提前計算出路徑，進(jìn)而使用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動方法沿路徑進(jìn)行移動，繪制的路徑固定且運(yùn)動軌跡穩(wěn)定。本文提出一種基于Unity的靈活繪制N階貝塞爾曲線的方法來控制三維物體的運(yùn)動軌跡。該方法設(shè)計了一種可以降階的插值計算函數(shù)來實現(xiàn)自定義控制點數(shù)的N階貝塞爾曲線。對比實驗結(jié)果表明該方法有效且簡化了三維物體的運(yùn)動軌跡的參數(shù)定義，為應(yīng)用貝塞爾曲線來控制三維物體的運(yùn)動軌跡提供了方法參考。

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