◇ 山東 馬 英 李冠蘭

解析幾何中的定值、定點(diǎn)、定線問(wèn)題是歷年高考或各地模擬考試中“?？汲Ｐ隆钡臒狳c(diǎn)問(wèn)題,就2020年高考而言,全國(guó)卷Ⅰ(理科)和新高考卷都進(jìn)行了考查.這類問(wèn)題大多在解答之前并不知道定值是什么、定點(diǎn)在什么位置、有怎樣的定直線,考試時(shí)遇到這類問(wèn)題往往讓考生望而生畏、倍感困惑.因此,歸納總結(jié)這類問(wèn)題的題型特點(diǎn)和求解策略實(shí)屬必要.

1 定值問(wèn)題

解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,始終是一個(gè)確定的值.

解法探究選好參數(shù),求出題目所需的代數(shù)表達(dá)式,然后對(duì)表達(dá)式進(jìn)行直接推理、計(jì)算,并在推理計(jì)算的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.這種方法可簡(jiǎn)記為:一選(選好參變量)、二求(對(duì)運(yùn)算能力要求頗高)、三定值(確定定值).

例1已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,|F1F2|＝2,M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且△MF1F2面積的最大值為.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若A(a,0),B(0,b),四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,AB∥CD,記直線AD,BC的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.

解析

(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),△MF1F2的面積取得最大值所以故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

直線AD的斜率為

直線BC的斜率為

所以

故k1k2為定值.

點(diǎn)評(píng)

本題第(2)問(wèn)選“m”為參數(shù),設(shè)出直線CD的方程與橢圓方程聯(lián)立,設(shè)而不求分別表示出直線AD和直線BC的斜率,然后變形整理,整體消掉含有參數(shù)的式子得到定值.考查了考生分析、解決和整體處理問(wèn)題的能力.

2 定點(diǎn)問(wèn)題

解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題是指直線過(guò)定點(diǎn)或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,即不論直線或曲線中的參數(shù)如何變化,直線或曲線都經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題.

解法探究定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法:一是從特殊入手,求出定點(diǎn),再進(jìn)行一般性的證明;二是把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)成常數(shù)看待,把相關(guān)的參數(shù)整理在一起,同時(shí)方程一端化為零.既然是過(guò)定點(diǎn),那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立,這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零,這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,這個(gè)方程組的解確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn).

例2(2020年全國(guó)卷Ⅰ理20)已知A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn)為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

解析

圖1

(2)設(shè)P(6,y0),則直線AP的方程為y＝聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得整理得

同理,可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為,所以直線CD的方程為

整理可得

點(diǎn)評(píng)

本題第(2)問(wèn)以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為參數(shù),得到直線AP的方程后與橢圓方程聯(lián)立,整理變形后代入表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo),進(jìn)而表示出直線CD的方程,確定出與參數(shù)無(wú)關(guān)的定點(diǎn).本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想的運(yùn)用,考查了運(yùn)算求解能力、推理論證能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

3 定線問(wèn)題

解析幾何中的定線問(wèn)題是指求證某動(dòng)點(diǎn)不管如何變化,始終在某條直線上的問(wèn)題,其本質(zhì)就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

解法探究定線問(wèn)題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上,其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,所以所用的方法就是求軌跡方程的方法,如定義法、消參法、交軌法等.

例3已知橢圓C的方程為斜率為的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)在直線l的左上方.

(1)若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2,求此時(shí)直線l的方程;

(2)求證:△PAB的內(nèi)切圓的圓心在定直線x＝1上.

解析

(1)設(shè)直線l的方程為y1),B(x2,y2).由得x2＋mx＋m2－3＝0,則x1＋x2＝－m,x1x2＝m2－3.

由Δ＝m2－4(m2－3)＞0,解得－2＜m＜2.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線l的左上方,所以－2＜m＜1.若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2,則,即

化簡(jiǎn)得7m2＋4m－11＝0,解得或m＝1(舍),所以直線l的方程為.

點(diǎn)評(píng)

本題第(2)問(wèn)是通過(guò)運(yùn)算得到兩條直線的斜率的和為0,說(shuō)明直線x＝1平分∠APB,從而證明△PAB內(nèi)切圓的圓心在定直線x＝1上.考查了分析、解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

4 綜合應(yīng)用

例4(2020年新高考卷22)已知橢圓的離心率為且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

解析

(2)設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).因?yàn)锳M⊥AN,所以,即

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y＝kx＋m,如圖2所示,代入橢圓方程消去y并整理得

所以

根據(jù)y1＝kx1＋m,y2＝kx2＋m,代入①整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.

將②代入,得

整理化簡(jiǎn)得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.

因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上,所以2k＋m－1≠0,2k＋3m＋1＝0,k≠1,于是MN的方程為,因此直線M過(guò)定點(diǎn).

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),可得N(x1,－y1),如圖3所示.代入式①可得(x1－2)2＋1－,解得x1＝2(舍)或,此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn).

圖2

圖3

由于AE為定值,且△ADE為直角三角形,AE為斜邊,所以AE中點(diǎn)Q滿足|QD|為定值(AE長(zhǎng)度的一半,即.

點(diǎn)評(píng)

本題第(2)問(wèn)設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo),在斜率存在時(shí)設(shè)方程為y＝kx＋m,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,根據(jù)已知條件,得到m,k的關(guān)系,進(jìn)而可知直線MN恒過(guò)定點(diǎn),在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證,然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)Q的位置.本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),是圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,特別是本題第(2)問(wèn)在探索|DQ|為定值的基礎(chǔ)上證明直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求得定點(diǎn)的坐標(biāo),考查了考生的理性思維和思維的靈活性、深刻性,方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性等.本題對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維能力提出了較高的要求,要求考生具備解決較復(fù)雜問(wèn)題的綜合素養(yǎng)和能力.