洪利 仉文崗

摘 要：潛在破壞面的確定是軟土基坑基底抗隆起上限分析的難點(diǎn)與重點(diǎn)。在傳統(tǒng)的上限分析法中，破壞面僅假設(shè)與基坑開(kāi)挖寬度有關(guān)。而采用漸進(jìn)搜索算法確定破壞面，無(wú)需假設(shè)破壞面具體形狀，通過(guò)多次迭代計(jì)算即可確定臨界破壞面，且該算法已在邊坡穩(wěn)定與可靠度分析中成功應(yīng)用。介紹了應(yīng)用多塊體上限法分析基坑抗隆起穩(wěn)定性的基本步驟，并詳細(xì)介紹了漸進(jìn)搜索算法的流程，針對(duì)基坑抗隆起分析問(wèn)題的特點(diǎn)，對(duì)漸進(jìn)搜索算法中的初始破壞面生成、搜索邊界、收斂準(zhǔn)則等重新進(jìn)行了設(shè)置;針對(duì)搜索過(guò)程中遇到的問(wèn)題，給出了解決方法。通過(guò)實(shí)例分析檢驗(yàn)漸近搜索算法的實(shí)際應(yīng)用效果，并圍繞算法中的初始搜索步長(zhǎng)、破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、搜索次數(shù)等關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行討論，給出建議取值。案例分析表明，漸近搜索算法在軟土基坑基底抗隆起上限分析中應(yīng)用效果很好，且相比于其他的上限分析方法，漸近搜索算法計(jì)算簡(jiǎn)單，無(wú)需假設(shè)破壞面形狀參數(shù)。

關(guān)鍵詞：Monte Carlo方法;漸近搜索算法;多塊體上限法;基坑穩(wěn)定性;極限分析

中圖分類號(hào)：TU 432 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-6717（2020）06-0046-08

Abstract： Determining the potential failure surface plays an important role in basal stability analysis of braced excavations in soft clay by upper bound method. For traditional upper bound method， it is assumed that failure surfaces are only related with excavation width. However， for progressive search method， the critical failure surfaces can be evaluated by multi-iterations without assuming detailed shape of failure surfaces. And this method was successfully applied to slope stability analysis. Firstly， this paper introduced the step of basal stability analysis of excavation via multi-block upper bound method. Secondly， this paper illustrated the framework of progressive search method. Considering the characteristic of basal stability analysis of excavation， the generation of initial failure surfaces， the search boundary and the convergence criteria are reset. And some solutions are proposed to deal with the problems during search process. Moreover， this paper verifies the performance of progressive search method by case studies， and proposes conclusions about search length， number of pointsat the failure surface and number of searches. At last， this paper concludes that progressive search method is applied in basal stability analysis successfully. And compared to other upper bound method， progressive search method without assuming detailed shape of surfaces is easier to calculate.

Keywords：MonteCarlomethod; progressive search method; multi-block upper bound method; basal stability; limit analysis

基坑坑底抗隆起穩(wěn)定性驗(yàn)算是軟土地區(qū)基坑設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容之一。目前，基坑抗隆起計(jì)算主要包括極限平衡方法[1-4]、強(qiáng)度折減有限元法[4-6]和上限分析法[7-8]。上限分析法源于Drucker[9]提出的極限分析理論，Chen等結(jié)合巖土材料的特性，將上限分析法應(yīng)用于邊坡的穩(wěn)定性分析和地基承載力分析[10-15]。上限分析法主要有上限分析有限元[16]、多塊體法[14]、連續(xù)速度場(chǎng)[8]等多種實(shí)現(xiàn)手段。其中，上限分析有限元法最為復(fù)雜，需要編制完整的有限元程序，目前，暫無(wú)成熟的上限分析有限元軟件，因此，多以后兩種計(jì)算方法為主。連續(xù)速度場(chǎng)需預(yù)先假設(shè)破壞面中的一些參數(shù)，因此，計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性很大程度上依賴于假設(shè)參數(shù)的合理性。多塊體法不需預(yù)先假設(shè)破壞面，可以很好地與漸近搜索算法結(jié)合。

漸近搜索算法是先利用Monte Carlo思想隨機(jī)生成初始破壞面，然后利用“單個(gè)結(jié)點(diǎn)搜索+整體搜索”的方法，通過(guò)多輪搜索，使初始破壞面逐漸逼近臨界破壞面，目前已成功運(yùn)用于邊坡穩(wěn)定與地基承載力上限分析的破壞面搜索中[11，14]。筆者主要描述基坑抗隆起上限分析中的破壞面搜索技術(shù)，并給出破壞面搜索的優(yōu)化問(wèn)題表達(dá);對(duì)搜索程序中的關(guān)鍵參數(shù)調(diào)試進(jìn)行說(shuō)明，最后通過(guò)實(shí)例計(jì)算與對(duì)比分析檢驗(yàn)漸近搜索算法的應(yīng)用效果。

1 多塊體上限法計(jì)算基坑抗隆起穩(wěn)定性

1.1 上限分析基本原理

極限分析上限定理有多種表示方法，此處采用能量方程表達(dá)式，即對(duì)于任何運(yùn)動(dòng)許可的破壞機(jī)構(gòu)，內(nèi)能耗散率不小于外力功功率，如式（1）。

1.2 運(yùn)動(dòng)許可機(jī)構(gòu)建立及相容速度場(chǎng)計(jì)算

參考極限平衡法與強(qiáng)度折減有限元法所分析得到的基坑隆起破壞面，以及Goh[3]、Faheem等[6]、秦會(huì)來(lái)等[7]所做研究，假設(shè)內(nèi)支撐與支護(hù)墻體構(gòu)成的支護(hù)系統(tǒng)具備足夠的剛度（即暫不考慮支護(hù)系統(tǒng)剛度的影響），因此，墻后土體的破壞面軌跡豎直向下，其余部分則采用“近似圓弧滑動(dòng)法”，如圖1所示。

如圖1所示，許可機(jī)構(gòu)以圓弧滑動(dòng)面為主要參考對(duì)象，破壞面由n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)構(gòu)成，共有多邊形塊體n個(gè)（其中2個(gè)四邊形塊體，其余為三角形塊體）。為保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，運(yùn)動(dòng)許可機(jī)構(gòu)的圓弧部分應(yīng)用足夠數(shù)量的三角形塊體。圖1中：B為基坑寬度;H為開(kāi)挖深度;D為支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度;li為各塊體的破壞面長(zhǎng)度;ki為各塊體之間接觸面長(zhǎng)度;相容速度場(chǎng)由vi、vi，i+1構(gòu)成，vi為各塊體破壞面處的速度矢量，vi，i+1為相鄰塊體之間接觸處的速度矢量;θi為vi+1正方向與豎直向下方向的夾角。相容速度場(chǎng)滿足矢量運(yùn)算法則由式（2）可知，式中的3個(gè)速度矢量恰好構(gòu)成矢量三角形，由于功率方程計(jì)算中只用到速矢量的相對(duì)大小，可令v1=1，由算法給出初始破壞面后，所有速度矢量方向均為已知，此時(shí)，依據(jù)矢量三角形計(jì)算法則即可依次求出所有速度矢量的大小。速度矢量的詳細(xì)計(jì)算及推導(dǎo)，可參考秦會(huì)來(lái)等[15]、鄒廣電[17]的相關(guān)文獻(xiàn)。

1.3 功率方程的建立

由式（1）知，功率方程包含方程左端的外力功率和右端內(nèi)能耗散項(xiàng)。外力功率項(xiàng)主要包括地面超載和土體自重兩兩部分。內(nèi)能耗散項(xiàng)主要包括塊體破壞面處內(nèi)能消耗、塊體之間接觸面處內(nèi)能消耗、支護(hù)結(jié)構(gòu)與土體接觸面內(nèi)能消耗3部分。如式（3）所示。

1.4 安全系數(shù)的計(jì)算

2 漸近搜索算法的實(shí)現(xiàn)

2.1 破壞面搜索過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題表述

由以上的計(jì)算過(guò)程可知，不同的破壞機(jī)構(gòu)，具有不同的速度場(chǎng)，安全系數(shù)也不同。所以，破壞面的搜索過(guò)程實(shí)質(zhì)上可以歸結(jié)為求安全系數(shù)最小值的問(wèn)題，其中，破壞面的形狀、相容速度場(chǎng)大小及方向等均為約束條件。優(yōu)化表達(dá)見(jiàn)式（5）。

目標(biāo)函數(shù)為FS （xi，yi），通過(guò)不斷更新各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，使FS取得最小值。約束條件有兩個(gè)：1）塊體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)自右向左為單調(diào)不增數(shù)列（x1=x2為墻后土體破壞面豎直向下段，-B≤xn為保證破壞面不穿越支護(hù)結(jié)構(gòu)截面的幾何條件）;2）保證θi為單調(diào)遞增數(shù)列，在搜索過(guò)程中維持破壞面“上凹”。Goh等[18]、陳祖煜[19]、張魯渝等[20]指出，在邊坡破壞面的搜索中，破壞面的上凹會(huì)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，無(wú)須將保持破壞面上凹作為約束條件;Greco[11]、秦會(huì)來(lái)等[14]則建議在邊坡搜索過(guò)程加入保持破壞面“上凹”為約束條件?？紤]到基坑的破壞面較邊坡復(fù)雜，筆者在編制計(jì)算程序時(shí)對(duì)兩種方法均進(jìn)行了測(cè)試，根據(jù)最后的計(jì)算結(jié)果，加入“上凹”約束條件具有更高的計(jì)算效率，建議在搜索程序中加入此約束條件。

2.2 初始破壞面的確定

初始破壞面既可以人為指定，也可以隨機(jī)生成， Greco[11]、秦會(huì)來(lái)等[14]、陳祖煜[19]均采用4結(jié)點(diǎn)隨機(jī)生成的初始破壞面;考慮到基坑破壞面較復(fù)雜，本文采用7結(jié)點(diǎn)隨機(jī)初始破壞面。參考軟土基坑抗隆起穩(wěn)定性分析方面已有的研究成果，控制初始破壞面在水平方向上邊界為0.5B～1B。由式（6）～式（19）可計(jì)算出初始破壞面各處結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

2.3 破壞面的搜索

破壞面的搜索分為結(jié)點(diǎn)搜索和整體搜索兩個(gè)階段。結(jié)點(diǎn)搜索階段主要確定破壞面的形狀和大小，而整體搜索階段主要確定破壞面的大小。

2.3.1 結(jié)點(diǎn)搜索階段 結(jié)點(diǎn)搜索主要是針對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)逐個(gè)搜索;如圖2所示，每個(gè)結(jié)點(diǎn)給定8個(gè)方向（地表和開(kāi)挖面的結(jié)點(diǎn)只允許水平方向移動(dòng)），依次進(jìn)行搜索，只要有一個(gè)方向搜索成功，即更新該結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，并進(jìn)入下一個(gè)結(jié)點(diǎn)的搜索;若所有方向搜索均失敗，則該結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)保持原值，并將該結(jié)點(diǎn)的搜索步長(zhǎng)減半?！八阉鞒晒Α笔侵冈摻Y(jié)點(diǎn)沿某方向移動(dòng)后破壞面的安全系數(shù)減小。

2.3.2 整體搜索階段 考慮到結(jié)點(diǎn)搜索的先后順序會(huì)對(duì)最終的搜索結(jié)果造成影響，在結(jié)點(diǎn)搜索的基礎(chǔ)上，增加整體搜索階段。具體做法是，在依次完成8個(gè)節(jié)點(diǎn)的搜索后，加入一輪整體搜索，即破壞面整體“外擴(kuò)”或“內(nèi)縮”;坐標(biāo)更新公式為式中：i為結(jié)點(diǎn)序號(hào);k為搜索的次數(shù)（依次搜索完各結(jié)點(diǎn)計(jì)為一次）。

坐標(biāo)更新后，安全系數(shù)減小，則保留更新后的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo);否則，將保留原坐標(biāo)值。重復(fù)進(jìn)行結(jié)點(diǎn)搜索與整體搜索，滿足收斂準(zhǔn)則后，可認(rèn)為搜索完成。

搜索算法流程圖如圖3所示。圖3所示為7結(jié)點(diǎn)破壞面搜索流程，在實(shí)際求解過(guò)程中，往往7個(gè)結(jié)點(diǎn)不夠，必須具備一定數(shù)量的結(jié)點(diǎn)，才能夠捕捉到破壞面的幾何特征。因此，學(xué)者們提出了多種擴(kuò)充結(jié)點(diǎn)的方法，筆者采用張魯渝等[20-22]建議的辦法，即初始破壞面采用較少的結(jié)點(diǎn)，先進(jìn)行數(shù)次搜索，破壞面初步穩(wěn)定后;在每段滑面的中點(diǎn)處內(nèi)插結(jié)點(diǎn)進(jìn)行第2輪、第3輪的計(jì)算，直至安全系數(shù)及破壞面達(dá)到收斂條件。每一輪的計(jì)算流程與圖3所示7結(jié)點(diǎn)計(jì)算流程相同。

另一方面，搜索算法還可能會(huì)陷入局部最優(yōu)解的情況，從而搜索不到全局最優(yōu)解[14，19]。為避免此問(wèn)題，可設(shè)置多組初始破壞面，再?gòu)闹羞x取安全系數(shù)最小的一組為最終結(jié)果。以3.1節(jié)中的算例為例，按式（6）～式（19）計(jì)算生成50組初始滑面，如圖4所示。

2.4 收斂準(zhǔn)則

由圖3可知，收斂準(zhǔn)則由安全系數(shù)差值和搜索步長(zhǎng)兩個(gè)指標(biāo)構(gòu)成，且它們均與破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，指標(biāo)閾值由式（22）、式（23）計(jì)算。

3 搜索算法應(yīng)用效果檢驗(yàn)

3.1 計(jì)算方案及計(jì)算參數(shù)設(shè)置

為檢驗(yàn)搜索算法的應(yīng)用效果，采用9個(gè)算例來(lái)檢測(cè)。設(shè)置一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例檢驗(yàn)算法的可用性，同時(shí)，在此基礎(chǔ)上設(shè)置兩組對(duì)比算例，觀察開(kāi)挖寬度（4個(gè)）和支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度（4個(gè)）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，將程序計(jì)算結(jié)果與目前公認(rèn)的一些結(jié)論相比較，初步檢驗(yàn)算法的準(zhǔn)確性。計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。

3.2 算例計(jì)算結(jié)果分析

算例采用4輪搜索，每輪的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為7、11、19、35;根據(jù)式（22），4輪的搜索步長(zhǎng)閾值設(shè)置為10-4、5×10-5、10-5、10-6;4輪的搜索次數(shù)分別預(yù)設(shè)為150、150、100、80。各階段的搜索結(jié)果及破壞面形狀見(jiàn)圖5和圖6。

由圖5和圖6可知，隨著破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，破壞面的形狀和安全系數(shù)趨于穩(wěn)定。其中，第3階段和第4階段安全系數(shù)差值僅為0.003 2，相對(duì)誤差小于1%，表明搜索算法應(yīng)用效果較好;且各階段的收斂速度均很快，可適當(dāng)減小每階段的搜索次數(shù)。依據(jù)圖6，建議前3個(gè)階段搜索次數(shù)控制在60～80次，第4階段搜索次數(shù)控制在40～60次。由圖7也可以觀察到，第3階段和第4階段的破壞面位置基本一致，因此，搜索算法應(yīng)控制在3～4輪即可（即破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)20～40），不宜過(guò)多或者過(guò)少。

除標(biāo)準(zhǔn)算例外，設(shè)置了兩組對(duì)比算例，觀察支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度和基坑寬度對(duì)安全系數(shù)及破壞面的影響，計(jì)算結(jié)果如圖7、圖8所示。

由圖8可見(jiàn)，隨著支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度的增加，基坑失穩(wěn)面逐漸擴(kuò)大，安全系數(shù)逐漸提高，符合常規(guī)的有限元軟件計(jì)算結(jié)果及工程經(jīng)驗(yàn)[23-24]。嵌入深度較小時(shí)，坑底隆起破壞面可能延伸至整個(gè)基坑寬度;嵌入深度較大時(shí)，隆起破壞面向支護(hù)墻側(cè)靠近，這是因

為假設(shè)支護(hù)墻體為剛性，因此，增加嵌入深度對(duì)阻斷隆起破壞面的延伸效果顯著。

由圖9可見(jiàn)，開(kāi)挖寬度對(duì)基坑抗隆起失穩(wěn)面影響較大，隨著開(kāi)挖寬度的增加，抗隆起失穩(wěn)面不斷擴(kuò)大，且失穩(wěn)面的半徑約為開(kāi)挖寬度的0.9倍，這一結(jié)果更傾向于Prandtl失效模式;同時(shí)，安全系數(shù)也隨著開(kāi)完寬度的增加而減小，這也同樣符合常規(guī)的有限元計(jì)算結(jié)果和工程經(jīng)驗(yàn)[6]。

綜合上述的算例分析可以看出，搜索算法在基坑抗隆起分析中具有良好的應(yīng)用效果。

4 實(shí)際工程案例分析

選用唐震等[8]、Chang[25]的案例進(jìn)行分析。Chang應(yīng)用上限分析方法重新分析了基坑的抗隆起穩(wěn)定性，并推導(dǎo)出簡(jiǎn)易公式用于計(jì)算基坑抗隆起安全系數(shù)。唐震等采用連續(xù)機(jī)構(gòu)場(chǎng)進(jìn)行上限分析。

計(jì)算所需參數(shù)以及計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2（各符號(hào)的意義同表1）。

由表2可知，Chang提出的簡(jiǎn)易計(jì)算公式雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，但得出的安全系數(shù)誤差較大，普遍偏小，而且接近臨界狀態(tài)時(shí)可能出現(xiàn)誤判。唐震等采用的連續(xù)機(jī)構(gòu)場(chǎng)法計(jì)算結(jié)果偏保守，對(duì)于重要建筑物的穩(wěn)定性分析較為適用;而多塊體法的計(jì)算結(jié)果則在兩者之間，兼具經(jīng)濟(jì)性和安全性的要求。

5 結(jié)論

將漸近搜索算法與多塊體上限法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了基坑抗隆起上限分析。針對(duì)多塊體上限法的理論要求，給出了初始破壞面的生成公式、幾何約束條件與收斂條件;結(jié)合算例分析，就破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、搜索步長(zhǎng)、搜索次數(shù)等參數(shù)進(jìn)行討論，并給出建議值。為避免出現(xiàn)局部最優(yōu)解，采用設(shè)置多組初始破壞面的方法。通過(guò)實(shí)例分析以及與其他上限分析方法的對(duì)比可知，漸近搜索算法應(yīng)用效果良好，為解決基坑抗隆起分析中破壞面的確定提供了一種新的計(jì)算方法。

筆者在運(yùn)用算法進(jìn)行分析時(shí)，并未考慮支護(hù)結(jié)構(gòu)剛度、基巖埋置深度等因素，因此，如何在上限分析（或安全系數(shù)）的計(jì)算中考慮這些因素，將是下一步研究的重點(diǎn)。參考文獻(xiàn)：

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（編輯 胡玲）