李云杰 林新建，2

(1.福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校 350300；2.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 363000)

在過去的教學(xué)活動(dòng)中，教師可能更關(guān)心如何教，但基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，更多地需要關(guān)心學(xué)生如何學(xué)，需要知道學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知過程.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)的情境并提出問題對(duì)于啟發(fā)學(xué)生思考、發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要性.

一個(gè)理想的數(shù)學(xué)教學(xué)過程大概可以描述如下：創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題；啟發(fā)學(xué)生思考、鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流；讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)；感悟數(shù)學(xué)的思想、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基于此，我們提出了整合教師教和學(xué)生學(xué)的高中數(shù)學(xué)“四元”教學(xué)法：“設(shè)、啟、促、導(dǎo)”，與“試、悟、述、用”，具體地說，就是教師從元認(rèn)知的角度“設(shè)問、啟思、促悱、導(dǎo)悟”，引領(lǐng)學(xué)生“試答、體悟、述評(píng)、致用”.這是基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，是元認(rèn)知理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有益嘗試.

下面以一道高考試題為例，就高中數(shù)學(xué)“四元”教學(xué)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用作一探析.

1 教師設(shè)問、學(xué)生試答

教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，要特別重視情境與問題,因?yàn)楹诵乃仞B(yǎng)是在特定情境中表現(xiàn)出來的知識(shí)、能力和態(tài)度，在不同情境中解決問題的能力直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展，情境與問題搭建了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的橋梁.

教師要努力創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生探索嘗試，積極地參與到數(shù)學(xué)教學(xué)過程，這是培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑和渠道.

基于學(xué)生對(duì)向量問題的認(rèn)知特點(diǎn)，向量加減的三角形和平行四邊形運(yùn)算法則應(yīng)成為我們解題的首選方法，教師應(yīng)先設(shè)計(jì)利于向量加減運(yùn)算的教學(xué)情境，通過以下問題引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用“基底法”求解問題.

問題1：本題是向量問題，解決向量問題的首選方法是什么？

問題2：運(yùn)用“基底法”解決向量問題的關(guān)鍵是什么？

問題3：如何基于圖形特征選擇合適的“基底”？如何將未知向量更好地轉(zhuǎn)化為基底以求解？

通過上述問題，學(xué)生充分經(jīng)歷問題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，嘗試著選取合適的向量作為基底，將其他向量用基底表示予以作答.

評(píng)析：一個(gè)情境是否合適并不取決于情境本身，而在于所提出的問題能否揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要提出適合學(xué)生研究的問題，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，讓學(xué)生嘗試探索，提高思維的靈活性、發(fā)散性和廣闊性，提升解決問題的境界，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教師啟思、學(xué)生體悟

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)側(cè)重學(xué)生的自主探究和自我體驗(yàn)，更多地依靠學(xué)生自身在實(shí)踐中的摸索、積累和體悟，教師要善于啟迪學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生積極交流.

教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，引領(lǐng)學(xué)生從題目所涉及的基本概念上尋找思路，學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)是學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基準(zhǔn)點(diǎn)，從這里出發(fā)啟迪學(xué)生思考，容易讓學(xué)生理解領(lǐng)悟.

啟思1：基于學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的定義認(rèn)知，教師可啟迪學(xué)生聯(lián)想“數(shù)量積”的幾何意義：一個(gè)向量與另一個(gè)向量在這個(gè)向量上的投影的乘積，鼓勵(lì)他們體悟運(yùn)用“定義法”予以求解.

由此，可過點(diǎn)D作AC的垂線，或過點(diǎn)C作AD的垂線.

如圖，過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為H，

于是轉(zhuǎn)換視角，過點(diǎn)C作AD的垂線.

如下圖，過點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為H,

容易判斷△BAD∽△CHD，從而有

啟思2：基于學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的公式認(rèn)知，教師也應(yīng)啟迪學(xué)生聯(lián)想“數(shù)量積”的公式——a·b=|a|·|b|·cos，鼓勵(lì)他們體悟運(yùn)用“公式法”予以求解.

在△ABC中，由正弦定理可得

而在Rt△ABD中，BD·sinB=AD=1，

評(píng)析：雖然教無(wú)定法，但是教學(xué)必須有原則，這個(gè)原則就是以學(xué)生的發(fā)展為本.更具體地說，就是要遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，啟迪學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生交流，并從探究交流中體悟，真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

3 教師促悱、學(xué)生述評(píng)

在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)促悱，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題(數(shù)學(xué)抽象)；引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析問題、解決問題(邏輯推理)；引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述背景、表達(dá)問題(數(shù)學(xué)建模).只有這樣，才能在問題解決的過程中，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，培養(yǎng)他們的“三會(huì)”，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的效能.

基于向量問題的“數(shù)形”特征，一些較為復(fù)雜的向量問題，一旦引入“坐標(biāo)”就會(huì)變得異常簡(jiǎn)單，原因就在于“坐標(biāo)”改變了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把原來的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，使問題變得具體形象，降低了處理的難度.

所以，教師應(yīng)促進(jìn)學(xué)生悱發(fā)——什么是解決向量問題的最有效方法？如何基于問題的特征，合適選用坐標(biāo)系以簡(jiǎn)化求解途徑和運(yùn)算，等等.

通過悱發(fā)，引領(lǐng)他們述評(píng)解答問題的思路與過程，在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，真正理解向量知識(shí)的本質(zhì).

評(píng)析：對(duì)于向量問題，突出“向量法”求解的意義在于：由“形”出發(fā)，把相關(guān)的點(diǎn)線“向量化”，這有三種方式：用已知向量表示、用基底表示、用坐標(biāo)表示，用的最多的應(yīng)是坐標(biāo)表示.

教學(xué)中，不同的內(nèi)容(如新課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課)有不同的表現(xiàn)形式，教師應(yīng)按照學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和不同知識(shí)內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展規(guī)律設(shè)計(jì)好教學(xué)，課堂教學(xué)中憤悱促發(fā)，放手讓學(xué)生述寫議評(píng)，則是充分發(fā)揮主體性，提高課堂教學(xué)質(zhì)量的基本保證.

4 教師導(dǎo)悟、學(xué)生致用

既然數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，那么“四基”就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，所以教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)“四基”，引領(lǐng)學(xué)生感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并學(xué)以致用，在應(yīng)用中積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng).

這給了我們啟示(“特殊與一般思想”的感悟)：若將AB特殊化，將動(dòng)態(tài)圖形固定下來，不是更方便求解嗎？

在△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC

在△ADC中，由余弦定理得

DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC，

更進(jìn)一步，若令A(yù)B→0，即將AB極限化，情況如何呢(“有限與無(wú)限思想”的感悟)？

這樣，我們根本不用動(dòng)筆，看圖即得答案.

瞬間完成解答，不亦樂乎！

通過以上導(dǎo)悟后，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引領(lǐng)學(xué)生學(xué)以致用，以提升他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.

例1(2012年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科16題)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為________.

分析：本題是填空把關(guān)題，依常規(guī)方法求解較繁.若能感悟到本題中的數(shù)列是變化的，但結(jié)果不會(huì)因?yàn)閿?shù)列的變化而變化，由此我們可將首項(xiàng)特殊化予以求解.

解析：由an+1+(-1)nan=2n-1，

得an+1=2n-1-(-1)nan.

令a1=1，則有a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，a7=1，a8=14，…

至此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)均為1；偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

其實(shí)，若能感悟到問題的一般性——k2的值隨著k1的值的變化而變化，但k1k2的值是不會(huì)變化的，則可將k1的值特殊化，如令k1=1，將AB的方程y=x+2代入雙曲線的方程，可輕松求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)，進(jìn)而得到k2=3，k1k2=3，這樣大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算，輕松獲解.

若運(yùn)用極限化方法求解則更為簡(jiǎn)單快捷.

如何才能培養(yǎng)學(xué)生“從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力呢？這需要引領(lǐng)學(xué)生感悟思想，養(yǎng)成“從思想的高度考察具體事例”的意識(shí)，和“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的能力.

這是觀念問題，是思維習(xí)慣問題，也是思想方法問題.這是一個(gè)長(zhǎng)期的、潛移默化的過程，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣，這個(gè)習(xí)慣日積月累就形成了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，雖然影響數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的因素眾多，如教學(xué)環(huán)境條件、學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和積極性、學(xué)生已有的基礎(chǔ)等，但是，教師主導(dǎo)作用與學(xué)生主體作用的充分協(xié)調(diào)發(fā)揮卻始終是最重要的.

為了更好地協(xié)調(diào)師生雙方的主導(dǎo)與主體作用，在學(xué)科知識(shí)發(fā)生發(fā)展的真實(shí)過程中，需要遵循師生共同活動(dòng)的原則，通過師生雙方教與學(xué)積極協(xié)調(diào)的活動(dòng)，展示教學(xué)內(nèi)容的過程性，在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中完成認(rèn)識(shí)任務(wù)，這是實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)教學(xué)的基本要求和根本保障.