孫紅運，袁惠群，趙天宇

(1.東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819； 2.東北大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110819)

盤片軸一體化復(fù)雜轉(zhuǎn)子將風(fēng)扇、壓氣機、渦輪通過先進工藝做成一體，可以有效提高推重比，近年來已被應(yīng)用于航空發(fā)動機系統(tǒng)中.由于盤片軸一體化轉(zhuǎn)子葉盤盤體較薄，振動阻尼能力較弱，導(dǎo)致各種與其振動相關(guān)的故障經(jīng)常發(fā)生，如失諧、碰摩、葉片裂紋等，嚴(yán)重影響航空發(fā)動機的可靠性和穩(wěn)健性[1-3]，引起國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注.

Chiu等對葉片-輪盤-軸系統(tǒng)的振動模態(tài)進行了研究，分析了葉片尺寸對系統(tǒng)振動特性的影響[4].Li等建立了柔性軸-圓盤-葉片系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究了葉片失諧安裝角對振動特性的影響[5].Sun等研究了航空發(fā)動機復(fù)雜雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為[6].Wang等提出了一種針對含裂紋損傷的離心葉輪非線性振動分析的有效方法[7].葛長闖等從應(yīng)變能的角度對二級葉盤系統(tǒng)振動特性進行了定量評價[8].Laxalde等基于循環(huán)對稱性質(zhì)建立了多級失諧葉盤的縮減模型，分析了多級葉盤耦合對失諧靈敏度的影響[9].Castanier等對于葉盤系統(tǒng)的縮減模型和振動分析進行了較為詳細(xì)的綜述[10].Nyssen提出葉盤失諧識別方法，并進行了模態(tài)試驗測試[11].曾海楠等建立了考慮榫頭榫槽間摩擦與間隙的葉盤系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程，并進行了振動響應(yīng)分析[12].Kan等研究了科氏力效應(yīng)對失諧葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響[13].

綜上所述，目前對于航空發(fā)動機的振動研究主要集中在單級葉盤上.在降低葉盤結(jié)構(gòu)的計算規(guī)模時，一般采用混合界面模態(tài)綜合法將基本扇區(qū)作為子結(jié)構(gòu)，或采用固定界面模態(tài)綜合法將單級葉盤作為子結(jié)構(gòu)，當(dāng)處理盤片軸一體化復(fù)雜系統(tǒng)問題時，前者計算時間過長，占用較多的內(nèi)存，后者則過于簡化，導(dǎo)致計算結(jié)果存在一定誤差.本文提出適用于盤片軸一體化轉(zhuǎn)子的改進混合界面模態(tài)綜合法(PIHISCMSM)，建立了葉盤系統(tǒng)CAD/CAE參數(shù)化驅(qū)動有限元分析平臺，分析了盤片軸一體化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第一級壓氣機葉盤的頻率，從應(yīng)變能角度評價了失諧葉盤模態(tài)局部化程度，分析了葉片厚度對整體式失諧葉盤振動響應(yīng)局部化的影響.

1 盤片軸一體化系統(tǒng)動力學(xué)縮減模型

1.1 改進混合界面模態(tài)綜合法

葉盤系統(tǒng)的無阻尼受迫振動方程可以表達(dá)為

(1)

式中：M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；X為位移向量；F是激勵載荷.

對于盤片軸一體化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由于存在葉片與輪盤、葉盤與軸、級與級間振動的耦合，因此需要合理的縮減方法.本文首先將盤片軸一體化系統(tǒng)劃分為單級葉盤結(jié)構(gòu)，然后保留葉片單元，將單級葉盤的輪盤作為子結(jié)構(gòu)，各級葉盤之間以鼓筒為界面，保證各級之間公用節(jié)點最少，以此將盤片軸一體化系統(tǒng)劃分為N個子結(jié)構(gòu)，設(shè)第i個子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣為Mi,Ki，其中i=1,2,…,N，則

(2)

(3)

(4)

不考慮系統(tǒng)阻尼的自由振動情況下，子結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程為

(5)

其特征方程為

(-λ2Mi+KΓi)φi=0.

(6)

(7)

假設(shè)Φi為正則模態(tài)集，則有

(8)

其中:I為單位陣；Λ為子結(jié)構(gòu)的本征矩陣，形式為

(9)

以Φi為完備Ritz基,則物理坐標(biāo)下的位移Xi與模態(tài)坐標(biāo)Qi的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(10)

(11)

根據(jù)式(11)并結(jié)合式(5),可得子結(jié)構(gòu)在模態(tài)坐標(biāo)下的運動方程為

(12)

將N個子結(jié)構(gòu)在模態(tài)坐標(biāo)下的運動方程綜合,得到

(13)

系統(tǒng)中相鄰子結(jié)構(gòu)i,j在界面之間滿足界面雙協(xié)調(diào)條件，即力平衡條件:

(14)

位移協(xié)調(diào)條件:

(15)

(16)

設(shè)

(17)

則

(18)

取

(19)

則有

(20)

由此推廣至N個子結(jié)構(gòu)通過多個界面連接時，模態(tài)坐標(biāo)QL與廣義坐標(biāo)PL之間的變化關(guān)系:

QL=αPL.

(21)

其中α由多個界面的位移協(xié)調(diào)條件確定，并與子結(jié)構(gòu)的連接方式有關(guān)，則廣義坐標(biāo)下的綜合方程為

(22)

其中：

結(jié)合式(14)，則式(22)化簡為

(23)

求解式(23)所得的振型代入式(21)和(11)可求得結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的振型.由于改進混合界面模態(tài)綜合法只保留了主模態(tài)中的低階模態(tài)，從而極大地減小了規(guī)模.

1.2 葉盤系統(tǒng)強迫振動氣動載荷

航空發(fā)動機的實際工作過程中，氣動載荷致使葉盤產(chǎn)生強迫振動，根據(jù)三重點原理可知，當(dāng)系統(tǒng)的激勵力頻率等于對應(yīng)轉(zhuǎn)速頻率，且激勵階次等于節(jié)徑數(shù)時，將會發(fā)生共振.由于壓氣機葉盤系統(tǒng)的真實受力情況極為復(fù)雜，在分析時，一般將氣動載荷簡化為單點諧波激勵.

考慮阻尼的失諧葉盤強迫振動的動力學(xué)方程為

(24)

式中:ΔK為失諧剛度矩陣;C為阻尼矩陣，作用第i級葉盤第k個葉片上的激勵分量為

Fik={Fik0cosφik+jFik0sinφik}ejωit.

(25)

φik=2πEi(k-1)/ni(k=1,2,…,ni).

(26)

式中:Ei為激勵階次；ni為第i級葉盤轉(zhuǎn)子葉片數(shù)目.

2 葉盤系統(tǒng)模態(tài)分析

2.1 盤片軸一體化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡介

航空發(fā)動機盤片軸一體化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)如圖1a所示，其輪盤采用變截面中空結(jié)構(gòu)，葉片簡化為等厚度懸臂板結(jié)構(gòu).本文選擇盤片軸一體化復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第一級壓氣機葉盤進行動力學(xué)特性分析，基于所提出的預(yù)應(yīng)力改進混合界面模態(tài)綜合法對葉盤系統(tǒng)的有限元模型進行縮減，將第一級葉盤的輪盤作為子結(jié)構(gòu)，第一級壓氣機的葉片和輪盤如圖1b，1c所示.

第一級壓氣機葉盤共有38個葉片，葉盤材料參數(shù)如表1所示.

圖1 一體化轉(zhuǎn)子整體模型和子結(jié)構(gòu)模型

表1 葉盤材料參數(shù)

2.2 葉盤系統(tǒng)參數(shù)化驅(qū)動有限元分析平臺

整體式葉盤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在進行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，需要進行多次建模及分析，為了減少重復(fù)建模所需時間，本文基于Isight多學(xué)科優(yōu)化集成軟件集成APDL語言，結(jié)合三維建模軟件，將建模模塊和有限元分析模塊集成在一起，實現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)參數(shù)化驅(qū)動有限元分析過程.首先通過三維建模軟件對整體式葉盤系統(tǒng)進行三維實體建模，將所得的CAD建模流程日志文件與Isight關(guān)聯(lián)，根據(jù)參數(shù)化表進行提取和輸入?yún)?shù)，實現(xiàn)參數(shù)傳遞以及實體模型重建.隨后對葉盤系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，通過APDL語言將有限元分析流程集成在Isight軟件中，實現(xiàn)數(shù)據(jù)(包括載荷、邊界條件、材料等)交換并控制有限元分析軟件的執(zhí)行.葉盤系統(tǒng)參數(shù)化有限元分程的流程如圖2所示.

通過腳本語言集成，可以實現(xiàn)葉盤等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)驅(qū)動、模型更新和自動化有限元分析，極大提高了計算效率.

2.3 諧調(diào)葉盤系統(tǒng)模態(tài)分析

本文選擇葉片厚度作為參數(shù)化分析的變量，首先基于PIHISCMSM計算葉片厚度比為R=0.6時(葉片厚度比R為當(dāng)前葉片厚度與原始葉片厚度的比值)，諧調(diào)葉盤系統(tǒng)在0轉(zhuǎn)速和工作轉(zhuǎn)速下的無量綱頻率(無量綱頻率為各階頻率與某階頻率的比值)，并與整體有限元法(FEM)進行對比，計算結(jié)果如圖3所示.

圖2 有限元參數(shù)化分析流程圖

圖3 整體式葉盤不同轉(zhuǎn)速下的頻率

由圖3可知，整體式葉盤系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下前50階頻率主要由兩個水平模態(tài)密集區(qū)構(gòu)成，兩個模態(tài)密集區(qū)為葉片振動占優(yōu)模態(tài)，分別對應(yīng)葉片的彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動，當(dāng)葉盤轉(zhuǎn)速為11 350 r/min時，兩個模態(tài)密集區(qū)之間存在過渡階段，即第39，40階模態(tài)，為輪盤振動占優(yōu)模態(tài).由于預(yù)應(yīng)力作用，導(dǎo)致葉盤在工作轉(zhuǎn)速下的各階頻率大于0轉(zhuǎn)速下的各階頻率.相比于第二模態(tài)密集區(qū)，預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對于第一模態(tài)密集區(qū)影響更為明顯，說明轉(zhuǎn)速對葉片的彎曲剛度影響更大.

為了驗證采用改進混合界面模態(tài)綜合法的計算精度，引入頻率百分誤差(EP)[14]，頻率百分誤差為減縮模型的頻率與原模型的對應(yīng)階次頻率的百分誤差的絕對值，其表達(dá)式為

(27)

葉盤系統(tǒng)在0轉(zhuǎn)速和工作轉(zhuǎn)速下頻率百分誤差如圖4所示.由分析結(jié)果可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速為0時，基于PIHISCMSM法計算的葉盤頻率結(jié)果誤差較小，當(dāng)轉(zhuǎn)速為11 350 r/min時，基于PIHISCMSM法計算的葉盤1,2,38,39,40階頻率誤差相對較大，這是由于在以上階次出現(xiàn)葉片輪盤的強耦合振動，增加了計算誤差.在工作轉(zhuǎn)速下，葉盤系統(tǒng)第二模態(tài)密集區(qū)的計算誤差高于第一模態(tài)密集區(qū)，總體來說，縮減方法計算的最大頻率誤差在3%以內(nèi)，能夠保證計算精度.

圖4 不同轉(zhuǎn)速頻率百分誤差

2.4 失諧葉盤系統(tǒng)模態(tài)局部化分析

理論上，航空發(fā)動機葉盤系統(tǒng)為諧調(diào)周期結(jié)構(gòu).但由于材料分散性、制造誤差、使用磨損等因素，導(dǎo)致各葉片失諧.本文主要研究葉盤的頻率失諧，葉盤的頻率失諧通過改變各葉片的彈性模量來實現(xiàn)，記諧調(diào)葉盤的葉片彈性模量為E0，失諧葉盤第i個葉片的彈性模量為Ei，則

Ei=E0+ΔEi.

(28)

其中，ΔEi為第i個葉片的彈性模量失諧量.本文選擇隨機失諧模式，失諧標(biāo)準(zhǔn)差為1%，失諧葉盤葉片的彈性模量失諧量如圖5所示.

基于參數(shù)化驅(qū)動有限元分析平臺，結(jié)合改進混合界面模態(tài)綜合法，分析不同葉片厚度失諧葉盤系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速下的頻率.對不同葉片厚度葉盤引入同種失諧模式，不同葉片厚度下，失諧葉盤在轉(zhuǎn)速為11 350 r/min時的無量綱頻率如圖6所示.

圖5 失諧標(biāo)準(zhǔn)差為1%時葉片隨機失諧量

圖6 不同葉片厚度失諧葉盤系統(tǒng)頻率

對比諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的分析結(jié)果可知，當(dāng)葉片厚度比為0.6時，失諧葉盤系統(tǒng)和諧調(diào)葉盤系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速下頻率數(shù)值差距較小.不同葉片厚度失諧葉盤系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速下的頻率趨勢相似.隨著葉片厚度增加，除第39,40階輪盤振動占優(yōu)模態(tài)對應(yīng)的頻率稍有下降以外，葉盤系統(tǒng)的其他各階頻率均有一定程度上升，模態(tài)密集區(qū)頻率受葉片厚度影響較大，模態(tài)稀疏區(qū)(第39，40階)受葉片厚度影響較小.相比于第二模態(tài)密集區(qū)，第一模態(tài)密集區(qū)受葉片厚度變化影響較小，主要因為增大葉片厚度對葉片扭轉(zhuǎn)剛度影響更加明顯.選取葉片厚度比為0.6時，諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)第4階模態(tài)振型，如圖7所示.

由分析結(jié)果可知，諧調(diào)葉盤系統(tǒng)第4階振型呈現(xiàn)2節(jié)徑狀態(tài)，失諧葉盤系統(tǒng)4階振型主要表現(xiàn)為振動集中于某幾個葉片.

為了定量評價各葉片的振動狀態(tài)，計算了葉片厚度比為0.6時諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)第4階模態(tài)各葉片的應(yīng)變能，如圖8所示.根據(jù)分析結(jié)果可知，諧調(diào)葉盤系統(tǒng)各葉片應(yīng)變能呈現(xiàn)諧調(diào)變化狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)呈現(xiàn)2節(jié)徑振動時，由節(jié)徑分開的4個區(qū)域內(nèi)，葉片最大應(yīng)變能并不相等，而是呈現(xiàn)大小間隔對稱分布.失諧葉盤系統(tǒng)各葉片應(yīng)變能不再呈現(xiàn)諧調(diào)變化，大部分能量集中于少數(shù)幾個葉片上，其葉片最大應(yīng)變能遠(yuǎn)大于諧調(diào)葉盤葉片的最大應(yīng)變能，產(chǎn)生模態(tài)局部化現(xiàn)象.

圖7 葉盤系統(tǒng)第4階模態(tài)

圖8 諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)第4階模態(tài)葉片應(yīng)變能

為了評價失諧葉盤系統(tǒng)葉片能量集中程度，需要有一個較為準(zhǔn)確的量化參數(shù)來描述系統(tǒng)模態(tài)局部化狀態(tài).由于失諧主要造成振動能量集中于幾個葉片上，而其余葉片振動能量較小，因此本文通過最大葉片應(yīng)變能與其他葉片的平均應(yīng)變能之間的差距來定量描述葉盤系統(tǒng)的模態(tài)局部化程度，失諧葉盤系統(tǒng)的模態(tài)局部化因子LE可以表示為

(29)

其中:Umax為最大葉片應(yīng)變能;j為具有最大應(yīng)變能的葉片序號;n代表葉片個數(shù).本文主要研究葉盤系統(tǒng)第一模態(tài)族的模態(tài)局部化和振動響應(yīng)局部化現(xiàn)象，因此計算了諧調(diào)和失諧情況下各葉盤系統(tǒng)前40階模態(tài)局部化因子，如圖9所示.

圖9 葉盤系統(tǒng)的模態(tài)局部化因子

由分析結(jié)果可知，諧調(diào)葉盤系統(tǒng)各階模態(tài)局部化因子變化不大，并且數(shù)值很小，接近于0，表明諧調(diào)葉盤系統(tǒng)沒有出現(xiàn)模態(tài)局部化現(xiàn)象，對于失諧葉盤系統(tǒng)，不同階次模態(tài)局部化因子有很大差別，不同葉片厚度失諧葉盤系統(tǒng)第1，2，38，39，40階模態(tài)局部化因子較小，而這些階次為葉片輪盤強耦合振動模態(tài)，由于葉片的質(zhì)量和剛度要小于輪盤的質(zhì)量和剛度，因此葉片失諧對葉片輪盤強耦合振動的影響較小.同種失諧模式下，對于不同葉片厚度的葉盤系統(tǒng)，在相同模態(tài)階次，模態(tài)局部化因子存在一定差異，表明葉片形狀參數(shù)會影響葉盤系統(tǒng)的模態(tài)局部化程度.

3 失諧葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)局部化分析

葉盤系統(tǒng)在工作時會承受氣動載荷，在周期性氣流激振力作用下，葉片會由于振動造成疲勞失效.本文基于PIHISCMSM對葉盤系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速(Ω=11 350 r/min)下的振動響應(yīng)進行分析，將式(25)形式的激勵力施加在葉片的葉尖節(jié)點處，根據(jù)前面的分析可知，在工作轉(zhuǎn)速(Ω=11 350 r/min)下，不同葉片厚度葉盤系統(tǒng)的第一族葉片彎曲模態(tài)對應(yīng)的無量綱頻率均在0.5～0.6之間，因此本文的激勵頻率范圍選擇0.5～0.6.不同葉片厚度下，諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)如圖10所示，其中的無量綱振幅為不同激勵頻率下的振動響應(yīng)值與某一激勵頻率下的振動響應(yīng)值之比.

圖10 諧調(diào)和失諧葉盤振動響應(yīng)

由分析結(jié)果可知，在工作轉(zhuǎn)速下，對于不同葉片厚度的諧調(diào)葉盤系統(tǒng)，其幅頻特性曲線呈現(xiàn)單峰狀態(tài)，隨著葉片厚度增加，葉盤系統(tǒng)的共振頻率升高，最大振幅降低.對于失諧葉盤系統(tǒng)，每個葉片的幅頻特性曲線不再相同，整體表現(xiàn)為多峰復(fù)雜狀態(tài), 隨著葉片厚度增加，失諧葉盤系統(tǒng)的共振頻率升高，最大振幅逐漸下降.相同葉片厚度下，失諧葉盤系統(tǒng)的響應(yīng)峰值明顯大于諧調(diào)葉盤的響應(yīng)峰值,出現(xiàn)振動響應(yīng)局部化現(xiàn)象.為了定量評價失諧葉盤的振動響應(yīng)局部化程度，采用振動響應(yīng)局部化因子[15]，其表達(dá)式為

(30)

其中:Ym為失諧葉盤系統(tǒng)幅頻特性曲線的響應(yīng)峰值；Yt為諧調(diào)葉盤系統(tǒng)幅頻特性曲線的響應(yīng)峰值，在不同葉片厚度下，失諧葉盤系統(tǒng)的振動響應(yīng)局部化因子如圖11所示.

圖11 失諧葉盤的振動響應(yīng)局部化因子

分析結(jié)果表明，隨著葉片厚度的增加，失諧葉盤的振動響應(yīng)局部化因子逐漸減小，說明增加葉片的厚度有利于減小失諧葉盤的振動響應(yīng)局部化程度.

4 結(jié) 論

1) 采用改進混合界面模態(tài)綜合法計算盤片軸一體化復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第一級壓氣機葉盤在不同轉(zhuǎn)速下的頻率與整體有限元法相比，前50階頻率最大誤差在3%以下，能夠保證精度，提高計算效率.隨著轉(zhuǎn)速的提高，葉盤系統(tǒng)的各階頻率都相應(yīng)增大.

2) 諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速下前50階頻率主要分為兩個模態(tài)密集區(qū)，分別對應(yīng)葉片的彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)，隨著葉片厚度的增加，失諧葉盤系統(tǒng)前50階頻率中，兩個模態(tài)密集區(qū)即葉片振動占優(yōu)模態(tài)對應(yīng)的頻率增加，輪盤振動占優(yōu)模態(tài)對應(yīng)的頻率稍有下降.不同模態(tài)階次下，失諧葉盤的模態(tài)局部化因子波動較大，表明失諧葉盤的振動能量集中程度對于不同振型的敏感度不同.同種失諧模式下，不同葉片厚度失諧葉盤在相同模態(tài)階次下模態(tài)局部化因子存在差異.

3) 隨著葉片厚度增加，諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)的共振頻率增加，共振峰值下降.失諧葉盤系統(tǒng)的共振峰值降低程度比諧調(diào)葉盤系統(tǒng)共振峰值降低程度大，失諧葉盤系統(tǒng)的振動響應(yīng)局部化程度隨葉片厚度增加而降低.