黃紹龍 曹建立

摘要：本文以帕斯卡蝸線為例，介紹了在Flash中使用動(dòng)作腳本動(dòng)態(tài)生成極坐標(biāo)曲線的方法。

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)方程;帕斯卡蝸線;曲線;動(dòng)作腳本

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）33-0206-03

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

1 引言

高等數(shù)學(xué)中的一些常見(jiàn)曲線通常以極坐標(biāo)方程的形式給出。曲線的極坐標(biāo)方程使用極徑和極角的關(guān)系來(lái)刻畫(huà)曲線。若能將極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)曲線的繪制過(guò)程動(dòng)態(tài)地顯示出來(lái)，則學(xué)習(xí)者可以直觀地觀察曲線的變化規(guī)律和特點(diǎn)。二維動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)軟件Flash中的動(dòng)作腳本擁有豐富的數(shù)學(xué)類(lèi)方法和強(qiáng)大的動(dòng)畫(huà)處理機(jī)制，非常適合動(dòng)態(tài)生成極坐標(biāo)曲線并進(jìn)行演示。

2 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)繪制極坐標(biāo)曲線的方法

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中一般采用“化曲為直”的方法實(shí)現(xiàn)曲線的繪制。計(jì)算機(jī)圖形軟件包通常會(huì)提供線段的繪制函數(shù)，可以使用小線段逼近的方法實(shí)現(xiàn)曲線的繪制。

根據(jù)參數(shù)極坐標(biāo)方程，可以由極角計(jì)算極徑，再由極角和極徑將點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標(biāo)。選擇合適的固定步長(zhǎng)沿著曲線路徑計(jì)算曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，使用這些點(diǎn)作為逼近真實(shí)曲線的小線段的端點(diǎn)，逐段連續(xù)地繪制小線段可以展示曲線的繪制過(guò)程并最終實(shí)現(xiàn)曲線的近似表示。

3 利用動(dòng)作腳本動(dòng)態(tài)繪制極坐標(biāo)曲線

極坐標(biāo)方程表示的曲線有很多種，但是使用動(dòng)作腳本動(dòng)態(tài)生成這些曲線的方法是類(lèi)似的。帕斯卡蝸線的極坐標(biāo)方程表示的曲線根據(jù)參數(shù)取值的不同呈現(xiàn)出不同的形態(tài)，特征明顯，易于讀者進(jìn)行觀察。所以下面以帕斯卡蝸線為例來(lái)詳細(xì)介紹動(dòng)作腳本動(dòng)態(tài)繪制極坐標(biāo)曲線的一般方法。這里的后臺(tái)腳本使用的是ActionScript 2.0版本。

3.1 帕斯卡蝸線的極坐標(biāo)方程及曲線特點(diǎn)

帕斯卡蝸線的極坐標(biāo)方程是r= acosθ+b，它表示的曲線具有以下3個(gè)特點(diǎn)：

（1）關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng);

（2）具有周期性，周期是2π。故在一個(gè)周期上即可得到完整的曲線;

（3）a和b兩個(gè)參數(shù)在a>b，a=b，a

可以看到，圖1中間的圖形是心形線，它是蝸形線在參數(shù)a=b時(shí)的特殊情況;若a比b多的程度越大，則曲線左側(cè)的內(nèi)環(huán)越大，如圖1的最左側(cè)圖形;若b比a多的程度越大，則曲線左側(cè)邊緣相對(duì)心形線左側(cè)尖點(diǎn)向外突出，如圖1中的最右側(cè)圖形。參數(shù)a和b的大小關(guān)系使帕斯卡蝸線種類(lèi)有明顯的可區(qū)分性。

3.2 動(dòng)作腳本相關(guān)知識(shí)

1）MovieClip類(lèi)

（1）使用createEmptyMovieClip方法創(chuàng)建空的影片剪輯;

（2）使用lineStyle方法設(shè)置繪制線段的線寬、顏色和透明度;

（3）使用moveTo方法移動(dòng)畫(huà)筆到指定點(diǎn);

（4）使用lineTo方法繪制從當(dāng)前點(diǎn)到指定點(diǎn)的線段。

2）Math類(lèi)

（1）使用sin方法和cos方法計(jì)算以弧度單位表示的角度的正弦值和余弦值;

（2）使用符號(hào)常量PI表示圓周率常數(shù)。

3） onEnterFrame事件

曲線在繪制過(guò)程中隨著時(shí)間不斷向前生長(zhǎng)，如果曲線要能夠動(dòng)態(tài)地、均勻地顯示整個(gè)繪制的過(guò)程，那么需要每一步生長(zhǎng)后留下固定的時(shí)間間隔，刷新顯示當(dāng)前曲線的最新繪制狀態(tài)。如果沒(méi)有留下時(shí)間間隔，計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度很快，曲線瞬間繪制完畢，用戶(hù)只能看到最終的完整曲線，而繪制的過(guò)程無(wú)法觀察到。時(shí)間間隔是留給用戶(hù)的觀察時(shí)間，它的原理類(lèi)似于電視機(jī)上放慢鏡頭。

動(dòng)作腳本中的onEnterFrame事件每進(jìn)入一幀就進(jìn)行檢查，可以用來(lái)解決時(shí)間間隔的問(wèn)題。將繪圖功能定義在onEnter-Frame事件的處理函數(shù)中，每進(jìn)入一幀，繪圖參數(shù)就增加一個(gè)步長(zhǎng)，圖形就向前生長(zhǎng)一段（即繪制一段新的小線段），直到整個(gè)曲線繪制完畢。這樣一來(lái)，圖形生長(zhǎng)的時(shí)間間隔就是幀頻倒數(shù)個(gè)秒的時(shí)間。從觀察者的角度看，整個(gè)曲線動(dòng)態(tài)繪制的過(guò)程就被逐漸呈現(xiàn)出來(lái)了。

繪制的速度和幀頻相關(guān)，幀頻的值越大曲線的繪制速度越快。曲線的平滑程度和選擇的步長(zhǎng)相關(guān)，步長(zhǎng)越小越平滑。在幀頻確定的情況下，步長(zhǎng)越小繪制的速度越慢。

4）計(jì)算機(jī)圖形坐標(biāo)系統(tǒng)與幾何坐標(biāo)系統(tǒng)的差別

在幾何學(xué)中，y坐標(biāo)軸是豎直向上的，而計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)的y軸是豎直向下的，這就使得在舞臺(tái)上繪制出來(lái)的圖形和幾何教科書(shū)上的不同，是上下顛倒著的。所以，為了能與常見(jiàn)幾何圖形保持形態(tài)上的一致，計(jì)算出來(lái)的線段端點(diǎn)不直接作為繪圖的參數(shù)，而是取縱坐標(biāo)相反數(shù)作為端點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行繪制。

3.3 動(dòng)作腳本的繪圖實(shí)現(xiàn)

在Flash文件中設(shè)置幀頻為24幀/秒，所以每一幀的時(shí)間間隔是1/24秒。整個(gè)動(dòng)畫(huà)只使用一個(gè)圖層。首先在圖層上布置組件：（l）添加兩個(gè)輸入文本框，用來(lái)接收用戶(hù)設(shè)置的帕斯卡蝸線的參數(shù)a和b的值，將兩個(gè)輸入文本框分別命名為aa和bb;（2）添加一個(gè)動(dòng)態(tài)文本框，用來(lái)在曲線的繪制過(guò)程中實(shí)時(shí)顯示參數(shù)θ的當(dāng)前值（以度為單位），對(duì)應(yīng)的變量名為angle; （3）添加一個(gè)按鈕，用戶(hù)通過(guò)點(diǎn)擊按鈕來(lái)觸發(fā)定義在按鈕上的onEnter-Frame事件處理函數(shù)的繪圖功能。然后添加動(dòng)作腳本如下。

1）第1關(guān)鍵幀上添加的代碼是進(jìn)行必要的初始化操作。

//設(shè)置由度單位轉(zhuǎn)換為弧度單位的系數(shù)

var per= 180/Math.PI;

//設(shè)置一個(gè)周期

var two_PI=2*Math.PI;

//舞臺(tái)上的輸入文本框aa、bb分別設(shè)置曲線參數(shù)。，6的值，默認(rèn)值是150，60

aa.text= 150; bb.text= 60;

//動(dòng)態(tài)文本框的變量angle顯示參數(shù)θ的當(dāng)前度數(shù)值，初始值是0

angle=0;

2）添加在按鈕上的代碼實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)曲線的動(dòng)態(tài)繪制，設(shè)置單擊按鈕動(dòng)作進(jìn)行觸發(fā)。

on （press）{

//設(shè)置存儲(chǔ)極徑、極角、極角步長(zhǎng)的變量

var r， theta， dtheta=1/20;

//i賣(mài)取輸入文本框中設(shè)定的參數(shù)。和6的值

var a=Number（aa.text），b=Number（bb.text）;

//創(chuàng)建空的影片剪輯n- mc

createEmptyMovieClip（”n—mc”，1）;

///設(shè)置影片剪輯左上角在舞臺(tái)中的位置

n_mc._x= 100; n_mc._y= 200;

//移動(dòng)畫(huà)筆到極角為0時(shí)曲線對(duì)應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)位置，即起始點(diǎn)

n_mc.moveTo（a+b，0）;

//設(shè)置線型

n_mc.lineStyle （3，Ox000000，100）;

//設(shè)置極角的初始值

theta= dtheta;

n_mc.onEnterFrame= function0

{ ，/動(dòng)態(tài)文本框中實(shí)時(shí)顯示當(dāng)前繪制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角度數(shù)值

angle= Math.floor（per * theta）; //計(jì)算當(dāng)前的極徑并將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標(biāo)

r=a*Math.cos（theta）+b;

x=r* Math.cos（theta）;

y=r * Math.sin（theta）;

//繪制曲線的下一條小線段，使其向前生長(zhǎng)

this.lineTo（x，-y）;

//繪制一個(gè)周期即可得到完整的帕斯卡蝸線

if （theta< two_PI）

{theta+=dthetaj};）

圖2顯示了參數(shù)o= 150，b= 60時(shí)的帕斯卡蝸線的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，其中theta后面的動(dòng)態(tài)文本框?qū)崟r(shí)顯示當(dāng)前繪制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的蝸線極坐標(biāo)方程中參數(shù)θ的值。改變參數(shù)a，b的值可以動(dòng)態(tài)生成圖1所示的另外兩種類(lèi)型的帕斯卡蝸線。

為了更加直觀地比較帕斯卡蝸線在不同參數(shù)下的形態(tài)，可以將這些不同參數(shù)的曲線在同一影片剪輯的不同圖層上進(jìn)行顯示。如圖3顯示了當(dāng)a以步長(zhǎng)20從150變化到10，b保持50不變時(shí)所生成的各個(gè)帕斯卡蝸線。在逐個(gè)繪制的過(guò)程中，容易觀察出a>b，a=b，a

將上述繪制帕斯卡蝸線的代碼中的初始條件和極坐標(biāo)方程改變后也可以動(dòng)態(tài)繪制其他一些常見(jiàn)極坐標(biāo)曲線，例如三葉玫瑰線、四葉玫瑰線和螺旋線等曲線，極坐標(biāo)方程如表1，生成的曲線如圖4。為了便于對(duì)比，帕斯卡蝸線也列到表1中。

4 結(jié)論

本文介紹的曲線的動(dòng)態(tài)生成方法具有一般性，不僅適用于各種常見(jiàn)的極坐標(biāo)方程表示的曲線，也適用于笛卡爾坐標(biāo)方程表示的曲線。對(duì)于一般的形如y=f（x）的函數(shù)曲線，例如y=x2，y= x3，y= sin（x）等函數(shù)曲線的繪制上述方法也是可以實(shí)現(xiàn)的，只不過(guò)每次步長(zhǎng)作用在自變量x上，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值。根據(jù)具體的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，可動(dòng)態(tài)生成笛卡爾坐標(biāo)方程曲線。如圖5顯示了二次曲線、三次曲線和正弦曲線的繪制效果。

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到不同坐標(biāo)系統(tǒng)下的各種曲線方程表示的曲線，還要計(jì)算與這些曲線相關(guān)的弧長(zhǎng)、面積等幾何量的值。若能夠提前了解這些曲線的形態(tài)，特別是對(duì)于一些不常見(jiàn)的曲線，利用本文介紹的方法動(dòng)態(tài)生成曲線后將有助于計(jì)算的完成。

極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)曲線的動(dòng)態(tài)生成具有清晰的直觀性，可以作為幾何課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充，同時(shí)它的良好的交互性有利于曲線參數(shù)改變時(shí)對(duì)比曲線的幾何形態(tài)，使學(xué)習(xí)者加深對(duì)知識(shí)的理解。

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【通聯(lián)編輯：王力】

作者簡(jiǎn)介：黃紹龍（1980-），男，河南平頂山人，講師，碩士，從事計(jì)算機(jī)應(yīng)用方面的研究。