趙 勤 鄭寶生

江蘇省無錫市立人高級中學(xué) (214161)

我區(qū)名師工作室、希望之星班聯(lián)合活動(dòng)在我校進(jìn)行，其中兩位教師上了同一個(gè)內(nèi)容的課《類比推理》，所選用教材是蘇教版普通高中數(shù)學(xué)選修2-2．本節(jié)課有相似情景引入，相似的典型例題，相似的課堂結(jié)構(gòu)，看似相差無幾，實(shí)則相距甚遠(yuǎn)，到底是什么原因?qū)е掠羞@樣大的反差？以下是本人對這兩節(jié)課的對比和思考．

一、教學(xué)摘錄

1．概念形成環(huán)節(jié)

教師甲的教學(xué)摘錄：展示“魯班造鋸”的故事，然后讓學(xué)生回憶等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)的類比．教師歸納說明這些就是類比推理，并給出類比推理的概念，說明類比推理的特征，類比推理的方法步驟：觀察比較——聯(lián)想類推——猜測新的結(jié)論．接下來教師列舉了一些生活中的例子：螢火蟲——日光燈，蝙蝠——雷達(dá)，魚——潛水艇；數(shù)學(xué)中的例子：加法類比乘法，減法類比除法、乘法類比乘方、等差數(shù)列類比等比數(shù)列，讓學(xué)生感受這些知識之間的關(guān)系．

教師乙的教學(xué)摘錄：(1)回顧歸納推理的概念及特征．(2)首先教師繪聲繪色的講述魯班造鋸的故事，讓學(xué)生體會(huì)“魯班造鋸”的思路和方法，感悟這種推理方法和歸納推理的不同之處．其次利用科學(xué)家根據(jù)地球上有生命，猜想火星上有生命，為什么？教師讓學(xué)生思考科學(xué)家推理的依據(jù)，進(jìn)一步感悟類比推理的特征，引導(dǎo)學(xué)生嘗試說出類比推理的特點(diǎn)，然后補(bǔ)充完善形成概念．接下來提出兩個(gè)問題，問題一：請同學(xué)們舉出幾個(gè)類比推理的例子．在教師的引導(dǎo)下，師生共同舉出例子：魚沉浮——潛水艇，章魚——煙霧彈，蒼耳屬植物——尼龍搭扣，蒼蠅的翅膀——平衡儀等．問題二：談?wù)勀銓︻惐韧评淼母惺?？然后引出名人名言，波利亞感嘆：類比是偉大的引路人，求解立體幾何往往有賴于平面幾何中的類比問題；拉普拉斯說：即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比；開普勒說：我珍視類比勝于任何的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的．

2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用環(huán)節(jié)

教師甲的教學(xué)過程摘錄：(1)例1試將平面中的圓與空間中的球類比：圓的直徑——球大圓，圓的弦——球的截面圓，圓的周長——球表面積，并指出“與圓心距離相等的弦相等”，“圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”，“圓的方程”等類比球中的命題．(2)鞏固練習(xí)：①矩形的相鄰兩邊長和對角線的關(guān)系類比長方體相鄰三條棱和體對角線的關(guān)系，②若干杯甜度相同的糖水倒在一起甜度不變，類比一個(gè)等式，③在一杯糖水中加入糖變甜，類比一個(gè)不等式；④在平面中若兩個(gè)正三角形的邊長比是1：2，則面它們的積比是1：4，類比到空間兩個(gè)正四面體的邊長比是1：2，體積比是什么？⑤在平面幾何里，直角三角形三邊符合勾股定理，類比到空間的三棱錐，你可以得到哪些性質(zhì)？(3)課堂小結(jié)：類比推理的方法，步驟．

教師乙的教學(xué)過程摘錄：(1)(波利亞的類比)加法的運(yùn)算性質(zhì)類比乘法的運(yùn)算性質(zhì)：交換律、結(jié)合律等，加法中a+(-a)=0，類比到乘法類似性質(zhì)是什么？加法中a+0=a，類比到乘法是什么性質(zhì)？為什么這樣類比？(2)試將平面中的圓與空間中的球類比：先從圓和球的相關(guān)概念類比：圓的直徑——球大圓，圓的弦——球的截面圓，圓的周長——球表面積，然后讓學(xué)生思考“與圓心距離相等的弦相等”，“圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”等類比球中的命題分別是什么？“圓的方程”類比球的方程是什么？(3)正三角形中內(nèi)切圓的半徑是高的三分之一，類比到空間中正四面體的內(nèi)切球的半徑與高的關(guān)系是什么？學(xué)生回答：四分之一，三分之一、八分之一......，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生類比內(nèi)切圓半徑的求法，求出正四面體的內(nèi)切球的半徑.一方面讓學(xué)生意識到類比推理不一定正確，另一方面又把類比推理的思想方法上升到一個(gè)更高層次——思想方法的類比．(4)課堂小結(jié)：類比推理的策略方法，類比推理和歸納推理的區(qū)別和聯(lián)系．

從課堂情況來看，教師甲的課堂平淡枯燥，學(xué)生不感興趣，而教師乙的課堂生動(dòng)豐潤，學(xué)生興趣盎然，教學(xué)效果差別很大．那么問題的癥結(jié)在哪里呢？

二、幾點(diǎn)感悟

1．理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，把握學(xué)生的思維起點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

在評課時(shí)，教師甲說：這節(jié)課的內(nèi)容實(shí)際上在前面學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到，重點(diǎn)就是對以前遇到過的類比推理進(jìn)行歸納和總結(jié)．教師乙說：我認(rèn)為這節(jié)課要解決的重點(diǎn)是類比的原理、方法和類比的價(jià)值和意義．

從兩位教師課堂教學(xué)和發(fā)言我們注意到，正是兩位教師對教材、學(xué)生和課堂教學(xué)的不同理解決定了教學(xué)效果．首先是對教材的理解，教材中魯班是通過齒形草能割破行人的腿，推理出“鋸子”能“鋸”開木材，其本意是把人腿比做木材，把齒形草比做鋸子，齒形草與鋸子的功能是一樣的，則其形狀也應(yīng)該一樣的；同樣把等號比做不等號，則它們的性質(zhì)也可以做類似的比較．然而教師甲是按照教材照本宣科進(jìn)行的，沒有體現(xiàn)教材的真實(shí)意圖，凸顯人腿比做木材，齒形草比做鋸子，等號比做不等號，也沒有把這兩個(gè)例子進(jìn)行歸納和抽象，找到其共同的屬性．其次是對學(xué)生的理解，按照教師甲的說法，這節(jié)課的內(nèi)容是學(xué)生們熟悉的，站在類比推理的角度來看，學(xué)生們所熟悉的對他們來說恰恰是未知的，所以我們要引導(dǎo)學(xué)生從推理的角度深入思考問題．最后是對課堂教學(xué)的理解，我們尊重教材，但不能照本宣科，要考慮到數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵點(diǎn)與學(xué)生的興趣點(diǎn)最大程度的融合，就像教師乙一樣，從對生命的關(guān)注，到對仿生學(xué)的思考，再上升到名人名言的教誨，這些對學(xué)生來說既有興趣又能體現(xiàn)類比推理的本質(zhì)屬性，才能更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓更多的學(xué)生參與課堂教學(xué)，使學(xué)生從被動(dòng)地接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)地探求，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位．

2．在認(rèn)知沖突中體現(xiàn)知識產(chǎn)生的必要性，利用數(shù)學(xué)文化的力量，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)本質(zhì)上反映的是數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.對比兩位教師的課堂教學(xué)，在概念形成環(huán)節(jié)，盡管都用了魯班造鋸的故事，但是教師甲只是把例子展示出來，沒有讓學(xué)生去思考齒形草和鋸子形狀的相似推理他們功能的相似，缺少事例的支撐和問題的思考，形成數(shù)學(xué)概念變成了可望而不可及的事情，教師只能自己告知學(xué)生這就是類比推理．后面的例子，沒有讓學(xué)生思考“螢火蟲——日光燈，蝙蝠——雷達(dá)，魚——潛水艇”這些問題類比的依據(jù)是什么，“加法類比乘法，減法類比除法、乘法類比乘方、等差數(shù)列類比等比數(shù)列”，為什么這些對象之間可以類比，而僅僅是讓學(xué)生了解和感受.教師乙首先讓學(xué)生回顧歸納推理，然后以講故事的形式呈現(xiàn)“魯班造鋸”的過程，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它不再是歸納推理時(shí)，就產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，問題驅(qū)動(dòng)思考，教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這種推理的特征，抓住齒形草和鋸子形狀的相似，推理出功能的相似，再通過“火星和地球的類比”涉及到天文地理等科學(xué)知識，調(diào)動(dòng)了學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考這種推理的特征．因此類比推理的概念形成也就呼之欲出、水到渠成．后面探討的類比推理的例子始終讓學(xué)生思考兩個(gè)(或兩類)對象有何相似？為什么可以類比？從哪些方面進(jìn)行類比？讓學(xué)生在問題中思考感悟類比推理的本質(zhì)特征．仿生學(xué)的例子增強(qiáng)了學(xué)生對類比推理的認(rèn)識，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)類比推理的必要性，名人名言展示了類比推理的功能和數(shù)學(xué)文化的魅力．

3．挖掘概念的內(nèi)涵和外延，豐富教學(xué)內(nèi)容，提升課堂品味

在類比推理的概念形成之后，教師甲照搬課本給出類比推理的方法步驟：觀察比較——聯(lián)想類推——猜測新的結(jié)論．后面數(shù)學(xué)運(yùn)用環(huán)節(jié)，雖然從數(shù)學(xué)上和生活上兩方面舉出例子讓學(xué)生思考，但是因?yàn)樵诟拍钚纬森h(huán)節(jié)，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從現(xiàn)象到本質(zhì)的抽象過程.在圓和球的類比中，也沒有深入思考這兩個(gè)事物從形式到本質(zhì)的相似和聯(lián)系，缺少了對數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確理解和把握，學(xué)生的猜測就沒有了方向．教師乙深入地剖析了概念的內(nèi)涵和外延，挖掘教材內(nèi)容背后所隱藏的鮮活的數(shù)學(xué)思想，在圓和球的的類比過程中，首先問學(xué)生“為何把圓和球類比？”，當(dāng)學(xué)生回答“他們長得像”后，教師引導(dǎo)學(xué)生從形狀相似到圓和球的概念的相似及不同，從而讓學(xué)生感受到兩類對象本質(zhì)上的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生體會(huì)到這是從二維到三維的類比，從兩類對象相關(guān)概念的類比再深入到性質(zhì)的類比，在此基礎(chǔ)上把平面直角坐標(biāo)系類比到空間直角坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生從形式上和概念上思考由圓的方程類比球的方程.接下來的問題：正三角形中內(nèi)切圓的半徑是高的三分之一，類比到空間中正四面體的內(nèi)切球的半徑與高的關(guān)系是什么？當(dāng)學(xué)生僅僅從形式上和概念上類比推理出現(xiàn)多個(gè)不同答案時(shí)，到底哪一個(gè)正確？學(xué)生產(chǎn)生了困惑，這樣一方面讓學(xué)生意識到類比推理的結(jié)論不一定正確，另一方面又自然把類比推理上升到更高的層次——思想方法的類比.至此，解決類比問題的思想方法脈絡(luò)清晰的呈現(xiàn)出來．從一維直線到二維平面，再到三維空間，通過類比可以發(fā)現(xiàn)許多命題．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的凝練，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)抽象可以把數(shù)學(xué)問題符號化和形式化，而概念類比和形式類比可以讓我們獲得更多的結(jié)論；數(shù)學(xué)思想方法的類比能幫助我們解決更多的問題．類比推理的細(xì)化豐富了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容，提升了課堂教學(xué)的品位．