陳雪蓮 邵歡歡 張聰慧 祁 曉 李盛清 張淼鶴

(1 中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 青島 266580)

(2 中國(guó)石油大學(xué)(華東)深層油氣重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 青島 266580)

(3 中海油田服務(wù)股份有限公司 廊坊 065201)

0 引言

近年來(lái)，偶極子聲波測(cè)井已廣泛應(yīng)用于裸眼井和套管井中，其在地層橫波時(shí)差提取、各向異性反演以及儲(chǔ)層壓裂評(píng)價(jià)等方面取得了較好的應(yīng)用效果[1?9]。Chen等[10]最早通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量的偶極陣列波形，分析了套管井中的偶極子聲場(chǎng)特征，并將裸眼井和下套管后測(cè)量的波形數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了在套管井中測(cè)量地層彎曲波的可行性。Schmitt[11]考察了偶極子聲源在不同膠結(jié)狀況套管井中激發(fā)的模式波，并將水泥膠結(jié)差時(shí)出現(xiàn)的套管一階彎曲波稱(chēng)作流體環(huán)彎曲模式。李剛等[12]和吳洋等[13]對(duì)套管井中地層彎曲波的頻散進(jìn)行了詳細(xì)的研究，指出下套管后地層彎曲波的頻散曲線向高頻偏移，并研究了膠結(jié)水泥密度對(duì)地層彎曲波頻散特征的影響。目前，人們?cè)谔坠芫羞M(jìn)行偶極子聲波測(cè)井主要用于套后地層評(píng)價(jià)，沒(méi)有關(guān)注如何利用偶極子陣列波形進(jìn)行水泥的膠結(jié)質(zhì)量評(píng)價(jià)。由于全球各地油田存在大量套管井，研究套管井中的水泥膠結(jié)情況對(duì)于已有油田的挖潛和改造工作具有重要的指導(dǎo)和實(shí)用意義。

針對(duì)目前套管井中越來(lái)越多的偶極測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)，研究利用偶極數(shù)據(jù)做固井質(zhì)量評(píng)價(jià)也越來(lái)越得到重視。水泥膠結(jié)/聲波變密度測(cè)井(Cement bonding logging/variable density logging,CBL/VDL)技術(shù)采用單極子聲源作發(fā)射器，單極子聲源是一種軸對(duì)稱(chēng)聲源，激發(fā)縱向模態(tài)的套管波[14]，主要利用套管波的幅度或衰減評(píng)價(jià)與套管直接接觸的水泥第一界面的膠結(jié)質(zhì)量的好壞。偶極子聲源是一種指向性聲源，其在套管井中激發(fā)的模式波衰減比較小，尤其是低階套管彎曲波，其傳播速度低且?guī)缀醪恍孤┠芰?，其相速度或頻散特征對(duì)膠結(jié)狀況敏感。Wang等[15]模擬了不同流體環(huán)厚度對(duì)套管彎曲波頻散的影響，觀測(cè)到隨著水泥膠結(jié)越差，套管彎曲波的相速度越高；Doug等[16]從實(shí)際數(shù)據(jù)中提取到了套管彎曲波的頻散曲線；Naoki等[17]通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)分析了流體環(huán)厚度對(duì)套管彎曲波以及地層彎曲波頻散曲線的影響。本文將理論計(jì)算和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)相結(jié)合，模擬了偶極子聲源在套管井中不同膠結(jié)情況下的地層彎曲波和套管彎曲波的傳播特征；分析了水泥環(huán)第一界面和第二界面分別膠結(jié)差時(shí)兩種模式波的頻散、衰減以及激發(fā)強(qiáng)度的變化規(guī)律；以及在水泥環(huán)第一界面膠結(jié)差的情況下，第二界面流體環(huán)厚度變化時(shí)兩種模式波的變化趨勢(shì)，并進(jìn)一步探討了在套管井中利用偶極子聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)同時(shí)評(píng)價(jià)水泥環(huán)兩個(gè)界面的膠結(jié)狀況的可行性。

1 套管井中偶極子聲波測(cè)井的基本理論

圖1給出了套管井充液井孔的模型示意圖(以I界面膠結(jié)差、II界面膠結(jié)好為例)。采用柱狀徑向分層聲學(xué)模型，模型由內(nèi)向外介質(zhì)依次為井內(nèi)流體、套管、流體環(huán)、水泥環(huán)和地層，各介質(zhì)的外徑分別為r1、r2、r3、r4和無(wú)窮大，模擬所用的井孔和地層相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。對(duì)于同心層狀的軸對(duì)稱(chēng)套管井模型，利用實(shí)軸積分法可以模擬井內(nèi)偶極子聲源激發(fā)的聲場(chǎng)。在柱坐標(biāo)系下模型內(nèi)固體層的位移和應(yīng)力分量定義為

表1 模型參數(shù)(I界面差、II界面好情況)Table 1 Model parameters for poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface

圖1 I界面膠結(jié)差套管井模型示意圖及井孔截面示意圖Fig.1 Model of the cased borehole with poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface,and cross section of the model

其中，T表示位移和應(yīng)力組成的矢量/矩陣的轉(zhuǎn)置。對(duì)于模型中的每一層固體，位移和應(yīng)力可以表示為

式(2)中，M是6×6的系數(shù)矩陣，X=(An,Bn,Cn,Dn,En,Fn)T，分別代表層內(nèi)反射和入射的縱波、SH橫波以及SV橫波的振幅系數(shù)，流體層中只有縱波(An和Bn)、最外層的地層只有向外擴(kuò)散的輻射波(Bn、Dn和Fn)。在膠結(jié)良好的固固界面，位移和應(yīng)力分量均連續(xù)，即

其中，j表示第j層，r是界面的徑向位置。根據(jù)Thomson-Hanskell傳遞矩陣[18]，多層固體耦合時(shí)可將內(nèi)層固體聲學(xué)影響傳遞到外層固體，減少求解方程的矩陣維數(shù)。由于液體中不傳播橫波，液體與固體界面的邊界條件中只有徑向位移u及徑向應(yīng)力σrr連續(xù)，剪切應(yīng)力σrθ和σrz均為零。例如，L層液體層兩側(cè)的固液和液固界面的連接方程可表示為

以套管與水泥之間充填流體為例，給出套管井井孔聲場(chǎng)的計(jì)算方法，井內(nèi)泥漿、套管、流體環(huán)、水泥以及地層分別設(shè)為第1、第2、第3、第4和第5層。水泥內(nèi)的矢量S可以傳遞到井外地層中，用地層中的振幅系數(shù)(Bn、Dn和Fn)表示，如式(5)所示：

其中，M矩陣表達(dá)式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[19]。iL或iR(i=3,4,5)表示第i層的左邊界或右邊界的徑向位置，3個(gè)矩陣M相乘得到一個(gè)4×3矩陣，其表示了式(6)的系數(shù)矩陣N(9)(10)～N(12)(10)、N(9)(11)～N(12)(11)和N(9)(12)～N(12)(12)。

井內(nèi)泥漿與套管、套管與流體環(huán)以及流體環(huán)與地層之間的3個(gè)液固界面，可直接建立如式(6)所示的12×12矩陣方程，等號(hào)的右端表示井內(nèi)聲源產(chǎn)生的直達(dá)波場(chǎng)。

求解式(6)可得到套管內(nèi)的反射系數(shù)用于計(jì)算套管內(nèi)的聲場(chǎng)，在柱坐標(biāo)(r,θ,z)中，套管內(nèi)聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)?n在頻率域中的表達(dá)式如下：

其中，n=1代表偶極源，εn=2；f為井孔內(nèi)流體的徑向波數(shù)，r0為偶極距，kz為軸向波數(shù)；第一類(lèi)n階貝塞爾函數(shù)In代表由井壁向井軸會(huì)聚的波，第二類(lèi)n階變型貝塞爾函數(shù)Kn代表向井外傳播的波或發(fā)散波，SR(ω)為聲源函數(shù)，在全波波形計(jì)算時(shí)選擇高斯源的譜函數(shù)。

式(6)中的系數(shù)矩陣N是頻率和波數(shù)的函數(shù)，其行列式等于零時(shí)的方程det(N(ω,kz))，即為圖1模型中模式波的頻散方程，求解此方程可得到套管和地層彎曲模式波的頻散曲線。模式波的相速度、衰減可由模式波極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的波數(shù)kz得到，見(jiàn)式(8)所示，激發(fā)強(qiáng)度見(jiàn)式(9)：

2 偶極子聲源在套管井中激發(fā)的模式波分析

2.1 自由套管模型下井孔模式波的頻散特征

與裸眼井情況相比，偶極子聲源在套管井中激發(fā)的聲場(chǎng)更加復(fù)雜，在膠結(jié)不好的井段除了地層彎曲波還可記錄到套管彎曲波，Schmitt[20]也將其稱(chēng)為流體環(huán)彎曲模式。圖2(a)顯示了自由套管井(套管與地層之間完全充填泥漿)中套管彎曲波的頻散曲線(實(shí)線是相速度，虛線是群速度，同一種顏色的曲線代表同一個(gè)模式)。在頻段0～20 kHz范圍內(nèi)套管彎曲波可存在3階模態(tài)，現(xiàn)在的偶極子陣列聲波中偶極子源的中心頻率在3 kHz左右，一般可記錄到最低階套管彎曲模式，二階和三階套管彎曲波存在截止頻率，截止頻率與井眼直徑和套管的橫波速度有關(guān)。圖2(b)給出了套管外為自由邊界時(shí)套管一階彎曲模式與套管外耦合泥漿時(shí)頻散曲線的對(duì)比，可見(jiàn)套管外耦合泥漿與空氣相比套管彎曲波的相速度明顯降低。圖3是地層彎曲波的頻散曲線，與裸眼井地層彎曲波的頻散曲線相比，套管的存在使得頻散曲線向高頻移動(dòng)，膠結(jié)良好與自由套管相比頻散曲線向高頻偏移得更多，類(lèi)似井眼半徑縮小后的頻散曲線。

圖2 自由套管井中套管彎曲波的頻散曲線Fig.2 Dispersion curves of casing flexural waves in free pipe

圖3 自由套管井中地層彎曲波的頻散曲線Fig.3 Dispersion curves of formation flexural waves in free pipe

2.2 套管與水泥環(huán)(第I界面)膠結(jié)差時(shí)井孔模式波的傳播特征

在套管與水泥環(huán)之間加入一層流體環(huán)(泥漿)模擬第一界面膠結(jié)差的狀況。圖4為I界面膠結(jié)差、II界面(水泥環(huán)與地層)膠結(jié)好時(shí)地層彎曲波的頻散曲線和衰減曲線。結(jié)果顯示，隨著流體環(huán)厚度的增加，頻散曲線向低頻偏移，且流體環(huán)的存在使得截止頻率附近地層彎曲波的衰減(1/Q)增加，艾里相附近的衰減降低。

圖4 I界面膠結(jié)差、II界面膠結(jié)好時(shí)地層彎曲波頻散曲線和衰減曲線Fig.4 Formation flexural wave in cased borehole with poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface

當(dāng)I界面存在流體環(huán)時(shí)便可以激發(fā)出套管彎曲波，圖5是I界面膠結(jié)差、II界面膠結(jié)好時(shí)套管彎曲波(最低階)的頻散曲線和衰減(1/Q)曲線。圖5(a)顯示，隨著流體環(huán)厚度的增加，最低階套管彎曲波的相速度和群速度均逐漸增大，并且其對(duì)流體環(huán)厚度變化非常敏感，這一特征為利用套管彎曲波的相速度反演流體環(huán)厚度提供了可能。與圖4(b)相比，套管彎曲波的衰減值明顯低于地層彎曲波的衰減值，這與套管彎曲波的相速度較低且?guī)缀醪恍孤┠芰坑嘘P(guān)。為了進(jìn)一步分析偶極子聲源在套管井中激發(fā)的全波波形特征，圖5(c)還顯示了套管彎曲波的激發(fā)強(qiáng)度。隨著流體環(huán)厚度的增加，套管彎曲波的激發(fā)強(qiáng)度逐漸增大，同一流體環(huán)下其隨著頻率的增加逐漸降低，流體環(huán)厚度越薄幅度下降得越快。

圖5 I界面膠結(jié)差、II界面膠結(jié)好時(shí)套管彎曲波頻散、衰減和激發(fā)強(qiáng)度曲線Fig.5 Casing flexural wave in cased borehole with poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface

為了進(jìn)一步考察流體環(huán)厚度對(duì)激發(fā)波場(chǎng)的影響，對(duì)第I界面流體環(huán)厚度變化時(shí)偶極子聲源激發(fā)的全波波形進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖6所示。源距為3 m、源函數(shù)為中心頻率為3 kHz的高斯源，頻帶寬度是中心頻率的0.3倍。從圖6中可清晰地觀測(cè)到地層彎曲波波包和套管彎曲波波包，并且隨著流體環(huán)厚度的增加，地層彎曲波相速度稍有降低，到時(shí)滯后，但套管彎曲波的相速度明顯增加；在自由套管狀況下，地層彎曲波和套管彎曲波疊加。此外，隨著流體環(huán)厚度的增加，套管彎曲波幅度逐漸增強(qiáng)，這一特征與圖5(c)所示的激發(fā)強(qiáng)度特征相吻合。圖7為將流體環(huán)厚度為1 mm時(shí)的全波放大顯示，從圖7中可看出套管外存在1 mm流體環(huán)條件下套管彎曲波仍清晰可見(jiàn)。地層彎曲波的頻散特征是低頻成分傳播快，而套管彎曲波是高頻成分傳播快，這一傳播特征在全波波形中體現(xiàn)得特別明顯。隨著頻率的降低套管彎曲波的幅度也逐漸增加，這也與圖5(c)顯示的激發(fā)強(qiáng)度隨著頻率降低而逐漸增大的現(xiàn)象一致。

圖6 I界面膠結(jié)差、II界面膠結(jié)好時(shí)與自由套管和膠結(jié)良好情況下的全波列波形Fig.6 Waveforms simulated for cased borehole with different cement-bond conditions:the first interface is in poor cement and the second interface is in good cement,free pipe,and good bonding,respectively

圖7 I界面外流體環(huán)厚度為1 mm時(shí)的全波列波形Fig.7 Waveforms simulated for cased borehole with the fluid ring thickness of 1 mm at the first interface

2.3 水泥環(huán)與地層(第II界面)膠結(jié)差時(shí)井孔模式波的傳播特征

在水泥環(huán)第I界面膠結(jié)良好、第II界面膠結(jié)差時(shí)，仍可激發(fā)出套管彎曲模式波，圖8是套管彎曲波的頻散、衰減和激發(fā)強(qiáng)度曲線。隨著水泥環(huán)第II界面流體環(huán)厚度的增加，套管彎曲波的相速度和群速度均逐漸增大，這一規(guī)律與水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)相似。但同一流體環(huán)厚度下水泥環(huán)第II界面膠結(jié)差時(shí)的激發(fā)強(qiáng)度略低于第I界面膠結(jié)差的激發(fā)強(qiáng)度，這是由于水泥環(huán)第II界面膠結(jié)差時(shí)套管的彎曲振動(dòng)勢(shì)必?cái)y帶水泥環(huán)一起振動(dòng)，其附重增大造成套管彎曲波的振動(dòng)幅度降低。

圖8 水泥環(huán)第II界面膠結(jié)差時(shí)套管彎曲波的頻散、衰減和激發(fā)強(qiáng)度曲線Fig.8 Casing flexural wave in cased borehole with good bonding at the first interface and poor bonding at the second interface

水泥環(huán)第II界面膠結(jié)差時(shí)，與膠結(jié)良好時(shí)相比，地層彎曲波的頻散曲線也明顯地向低頻方向偏移，如圖9所示。在低頻段隨著第II界面流體環(huán)厚度的增加相速度稍有降低，高頻段相速度稍有增大；其衰減隨著流體環(huán)厚度的增加逐漸增大。與水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)相比，地層彎曲波相速度對(duì)水泥環(huán)第II界面流體環(huán)厚度的變化不敏感，這從圖10所示的全波波形中也可觀測(cè)到，流體環(huán)厚度變化時(shí)地層彎曲波的變化很小，套管彎曲波隨著流體環(huán)厚度的變化趨勢(shì)與第一界面膠結(jié)差時(shí)類(lèi)似，但波形幅度明顯降低。

圖9 水泥環(huán)第II界面膠結(jié)差時(shí)地層彎曲波的頻散曲線和衰減曲線Fig.9 Formation flexural wave in cased borehole with good bonding at the first interface and poor bonding at the second interface

圖10 I界面膠結(jié)好、II界面膠結(jié)差時(shí)與自由套管和膠結(jié)良好情況下的全波列波形Fig.10 Waveforms simulated for cased borehole with different cement-bond conditions:the first interface is in good cement and the second interface is in poor cement,free pipe,and good bonding,respectively

2.4 探討水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)井孔模式波對(duì)第II界面膠結(jié)狀況的敏感性

為了進(jìn)一步分析在水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)利用偶極子聲波測(cè)井評(píng)價(jià)水泥環(huán)第II界面膠結(jié)質(zhì)量的可行性，圖11對(duì)比了水泥環(huán)第I界面膠結(jié)良好和存在1 mm流體環(huán)時(shí)，地層彎曲波和套管彎曲波的頻散曲線隨水泥環(huán)第II界面流體環(huán)厚度增加時(shí)的變化趨勢(shì)。當(dāng)水泥環(huán)第I界面存在1 mm的流體環(huán)時(shí)(圖11中標(biāo)注的I界面膠結(jié)差)，低頻下地層彎曲波的相速度與膠結(jié)良好時(shí)相比降低，這與圖11(c)顯示的全波波形中地層彎曲波的相速度明顯滯后相吻合；在8～20 kHz頻段隨著第II界面流體環(huán)厚度的增加，地層彎曲波的相速度逐漸增大；與水泥環(huán)第I界面膠結(jié)好時(shí)相比，第I界面膠結(jié)差時(shí)對(duì)于相同的流體環(huán)厚度變化范圍，相速度的動(dòng)態(tài)變化范圍增加，即第I界面流體環(huán)的存在，提高了高頻地層彎曲波對(duì)第II界面流體環(huán)厚度變化的敏感性。但在較高的工作頻率下套管彎曲波的高階模態(tài)會(huì)被激發(fā)，使得波形成分復(fù)雜。套管彎曲波的相速度隨著水泥環(huán)第II界面流體環(huán)厚度的增加逐漸增大，但其受到第I界面膠結(jié)差的影響，其相速度從第I界面存在1 mm流體環(huán)時(shí)套管彎曲波的相速度開(kāi)始逐漸增加；與水泥環(huán)第I界面膠結(jié)良好時(shí)相比，第I界面膠結(jié)差時(shí)低頻下套管彎曲波的相速度稍有增大，但當(dāng)?shù)贗I界面流體環(huán)厚度較大時(shí)(如圖11(b)中流體環(huán)厚度為5 mm、10 mm和15 mm)，高于4 kHz后套管彎曲波的相速度與第I界面膠結(jié)良好時(shí)相比降低。圖11(d)是套管彎曲波的激發(fā)強(qiáng)度，可見(jiàn)水泥環(huán)第I界面流體環(huán)的存在提高了套管彎曲波的激發(fā)強(qiáng)度，這與圖11(c)中紅色波列顯示的套管彎曲波幅度稍高的響應(yīng)特征一致。

傳統(tǒng)的VDL或多極子陣列聲波測(cè)井中，根據(jù)其單極模式下測(cè)量的套管波速度可較好地判別水泥環(huán)第I界面是否膠結(jié)良好。當(dāng)水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)套管波速度接近57μs/ft，第I界面膠結(jié)良好第II界面膠結(jié)差時(shí)套管波速度明顯降低，但單極子聲波測(cè)井測(cè)量的全波波形在水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)很難判斷水泥環(huán)第II界面的膠結(jié)狀況。對(duì)比圖11(a)和圖11(b)可見(jiàn)，在確認(rèn)水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)若水泥環(huán)第II界面也膠結(jié)差，則地層彎曲波的相速度會(huì)比第II界面膠結(jié)良好時(shí)低，且在水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差時(shí)，套管彎曲波的相速度仍對(duì)第II界面流體環(huán)厚度的變化敏感，這為在水泥環(huán)第一界面膠結(jié)差時(shí)評(píng)價(jià)水泥環(huán)第二界面的膠結(jié)質(zhì)量提供了可能。

圖11 水泥環(huán)第I界面膠結(jié)好和差時(shí)水泥環(huán)第II界面流體環(huán)厚度變化對(duì)井孔模式波的影響Fig.11 In fluence of thickness variation of the second-interface fluid ring on borehole mode waves for the good and poor bonding at the first interface,respectively

3 實(shí)例分析

圖12(a)是某井測(cè)量的偶極波列圖，接收的陣列波形中最近的源距是3.625 m，間距是0.1524 m，套管外徑和厚度分別為19.3675 cm和1.016 cm，井眼直徑是24.13 cm，通過(guò)CBL/VDL可知套管波相對(duì)幅度約40%，所研究井段的水泥環(huán)第I界面膠結(jié)差。在圖12(a)顯示的全波列波形中可較清晰觀測(cè)到泄漏縱波、地層彎曲波以及套管彎曲波，對(duì)此波形做時(shí)間-慢度(圖12(b))以及頻率-慢度(圖12(c))相關(guān)分析，觀測(cè)到了地層彎曲波以及套管彎曲波。在已知套管井各層介質(zhì)的參數(shù)下，給定水泥環(huán)第一界面5 mm流體環(huán)厚度時(shí)理論計(jì)算的套管彎曲波的頻散曲線(圖12(c)中的實(shí)線)與實(shí)際波形提取的頻散曲線(圖12(c)中的離散點(diǎn))吻合度較高，可推斷此深度點(diǎn)水泥缺失的等效厚度接近5 mm(實(shí)際井中流體環(huán)厚度可能不規(guī)則)。

圖12 現(xiàn)場(chǎng)實(shí)例分析Fig.12 Analysis of the field data

4 結(jié)論

本文利用實(shí)軸積分法計(jì)算得到了套管井中偶極聲源激發(fā)的全波波形，模擬了偶極子源在套管井不同膠結(jié)條件下的模式波傳播特征，分析了地層彎曲波和套管彎曲波的頻散、衰減和激發(fā)強(qiáng)度等響應(yīng)特性，得到以下認(rèn)識(shí)和結(jié)論：

(1)與裸眼井相比，下套管后地層彎曲波的頻散曲線向高頻偏移，膠結(jié)良好時(shí)的頻移量最大。

(2)在水泥環(huán)第I界面或第II界面膠結(jié)差時(shí)，接收的波列中會(huì)觀測(cè)到套管彎曲波，其頻散特征是低頻成分波的傳播速度低于高頻波，激發(fā)強(qiáng)度隨著頻率的增加快速降低，頻散趨勢(shì)類(lèi)似于單極斯通利波；當(dāng)套管與水泥環(huán)或水泥環(huán)與地層之間的流體環(huán)厚度增加時(shí)相速度逐漸增大，套管彎曲波的相速度對(duì)流體環(huán)厚度的強(qiáng)敏感性為利用套管彎曲波的相速度反演流體環(huán)厚度提供了可能。

(3)在已知地層聲學(xué)性質(zhì)、井眼和套管參數(shù)后，可嘗試通過(guò)將現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量偶極波形數(shù)據(jù)提取的彎曲波頻散曲線與理論模型計(jì)算的頻散曲線相擬合估算水泥環(huán)界面的流體環(huán)等效厚度，反演結(jié)果也將反映水泥缺失的程度。