高忠社

基于Crank-Nicolson差分與Newton迭代法的非線性熱傳導(dǎo)方程數(shù)值解法

高忠社

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

非線性熱傳導(dǎo)方程；隱式Euler差分法；Crank-Nicolson差分格式；Newton迭代法

1　非線性熱傳導(dǎo)方程

文獻(xiàn)[1-3]給出了一般形式的非線性熱傳導(dǎo)方程及數(shù)值解法．非線性熱傳導(dǎo)方程為

對方程（1）進(jìn)行化簡，可得到

其中，邊值條件（3）是在區(qū)間兩端關(guān)于時(shí)間的溫度分布函數(shù)，初始條件（4）表示在初始時(shí)刻的溫度分布情況．本文對方程（1）在時(shí)間方向上使用隱式EULER 差分格式，空間方向上使用Crank-Nicolson差分格式，對于離散化后的代數(shù)方程組，使用NEWTON迭代法進(jìn)行求解．

2　時(shí)間方向的隱式Euler方法離散

對于方程（4），在時(shí)間方向上利用隱式EULER方法離散化，得到

則式（6）變?yōu)?/p>

邊值條件離散為

3　空間方向的Crank-Nicolson差分格式方法離散

對于式（8）的二階導(dǎo)數(shù)使用二階中心差分算子，得到

設(shè)

其中

根據(jù)式（11）（14），有

4 差分格式的誤差分析

根據(jù)文獻(xiàn)[8-10]，對于差分格式進(jìn)行誤差分析，由式（7）（13）（16）可知

對于式（18）中各項(xiàng)使用Taylor級數(shù)展開，則有

將式（19）（20）（21）代入式（18），整理化簡可得截?cái)嗾`差為

5　非線性方程的牛頓迭代法求解

記方程（23）為

綜上分析，可得Jacobian矩陣的元素為

6　數(shù)例分析

初始溫度分布滿足

圖1　導(dǎo)熱參數(shù)時(shí)的熱傳導(dǎo)三維圖形和對平面圖形

圖2　導(dǎo)熱參數(shù)時(shí)的熱傳導(dǎo)三維圖形和對平面圖形

圖3　導(dǎo)熱參數(shù)時(shí)的熱傳導(dǎo)三維圖形和對平面圖形

由圖1~3可以看出，熱量在原點(diǎn)處具有最高溫度分布，隨著時(shí)間、空間方向的變化溫度降低，符合熱傳導(dǎo)規(guī)律，說明本文所給的數(shù)值方法是合理、有效的，同時(shí)也說明該方法具有一定的實(shí)用性與可行性．

熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解法是拋物型方程求解的典型方法，同時(shí)熱傳導(dǎo)問題也被廣泛應(yīng)用于多個(gè)科學(xué)工程領(lǐng)域．針對非線性熱傳導(dǎo)方程，本文在時(shí)間方向上使用隱式Euler 差分格式，空間方向上使用Crank-Nicolso格式對方程進(jìn)行離散化，離散化后的代數(shù)方程組使用Newton迭代法進(jìn)行求解，最后通過數(shù)值算例分析討論，說明該方法具有一定的實(shí)用性和有效性．

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Numerical solution of nonlinear heat conduction equation based on Crank-Nicolson difference and Newton iterative method

GAO Zhongshe

（School of Mathematics and Statics，Tianshui Normal University，Tianshui 741001，China）

nonlinear heat conduction equation；implicit Euler difference method；Crank-Nicolson difference method；Newton iterative method

O241.82

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.003

1007-9831（2020）11-0009-05

2020-06-01

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11561060）；甘肅省數(shù)學(xué)省級重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（甘學(xué)位[2018]15號）；甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度項(xiàng)目（GS[2020]GHB4815，GS[2020] GHB4825）；天水師范學(xué)院科研基金項(xiàng)目（CXT2019-36）

高忠社（1979-），男，甘肅寧縣人，副教授，碩士，從事小波分析及微分方程數(shù)值解研究．E-mail：gaozhongshe@126.com