徐強

[摘? 要] 文章通過對2020南通中考數(shù)學試卷第24題的分析與“十四種”解法思路的探究，感悟出如下啟示：“折疊”類幾何綜合題，教學時要“以題固知，關注折疊之不變;以題強能，關注折疊之變;以題展思，關注折疊之設計”.

[關鍵詞] 折疊;分析;思路;教學

“折疊”類幾何綜合題一直是全國各地中考的必考試題，這類問題往往以三角形或四邊形為背景，涉及特殊三角形（四邊形）的性質與判定、圖形折疊的規(guī)律、全等（相似）三角形的判定和性質、勾股定理等知識，主要考查數(shù)形結合、轉化、幾何直觀、推理等思想與方法，核心體現(xiàn)圖形與幾何中“算”與“證”的本質，即“算”是“運”的過程、“計”的方法，“證”是推理中的“尋道”、聯(lián)想中的“發(fā)現(xiàn)”. 本文結合2020南通中考數(shù)學試卷第24題，嘗試從不同角度探究“折疊”類問題的解法，以及對日常教學的啟示.

試題分析

試題? （2020南通中考）在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，折疊矩形ABCD，使點A落在點P處，折痕為DE.

（1）如圖1，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值;

（2）如圖2，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長.

分析 本題以矩形為背景，巧妙地把軸對稱變換融入其中. 從題目呈現(xiàn)的結構特點看，（1）問是解決（2）問的基礎和梯子，能為（2）問的解答提供更多路徑. 對于（1）問，學生容易上手，即先根據(jù)對稱的性質得到相關的數(shù)量關系和位置關系，再根據(jù)互余角間的關系得到相似的判定條件，該問絕大多數(shù)學生能得分. 對于（2）問，解答的方法很多，學生答題時選擇的余地較大，從而能考查學生的思維能力、理解能力、思辨能力，以及運用數(shù)學知識解決問題的能力.

從題目考查的核心來看，一是能發(fā)現(xiàn)折疊前后線、角、圖形之間的聯(lián)系;二是能靈活運用矩形性質、相似（全等）三角形的性質、勾股定理、三角函數(shù)、角平分線性質等知識;三是熟悉常規(guī)的幾何模型，并能遷移、構造，這對學生的幾何直觀、邏輯推理等能力要求較高. 下面以（2）問為例進行剖析.

解法賞析

解法1 如圖3，分別延長FE，DA交于點G. 易證△AEG≌△BEF，所以AG=BF，GE=EF. 由∠BEF=∠GEA=∠GDP，可證△GEA∽△GDP. 于是===. 設BF=AG=x，則GP=3x，GE=3x-4，GD=3（3x-4）. 所以3（3x-4）=x+12，解得x=3. 所以BF=3.

解法2 如圖4，分別延長DE，CB交于點G，連接AP，BP. 可證△APB為直角三角形，BG=AD=12，GE=DE=4，又△ABP∽△DEA，所以AP=3BP. 所以BP=. 又△BPF∽△GEF，所以===，解得BF=3.

評析 解法1和解法2以中點為出發(fā)點，構造全等三角形，實現(xiàn)了等線段的轉移，結合折疊獲取的線與角之間的關系，利用相似，列出方程解決問題.

解法3 如圖5，分別延長DE，CB交于點G，過點P作PH∥CG交DG于點H. 易證BG=AD=12. 因為∠ADE=∠PDE，所以可證PD=PH=12. 又△EHP∽△EGF，所以==. 設EF=x，則GF=3x，BF=3x-12. 于是在Rt△EBF中運用勾股定理，有16+（3x-12）2=x2，解得x=5或x=4（舍去），所以EF=5，BF=3.

解法4 如圖6，分別延長DC，EF交于點G. 根據(jù)翻折和平行線的性質可證GE=GD. 設GE=GD=x，則PG=x-4. 在Rt△DPG中，運用勾股定理，有x2=122+（x-4）2，解得x=20. 所以CG=12. 又△EBF∽△GCF，所以可求得BF=3.

解法5 如圖7，過點E作EH∥BC，分別交PD，CD于點G和點H. 可證△EPG≌△DHG，于是得EG=DG. 設PG=x，則EG=12-x. 在Rt△EPG中運用勾股定理，得42+x2=（12-x）2，解得x=. 又△EBF∽△GPE，所以可求得BF=3.

評析 解法3至解法5，基于折疊過程中折痕即為角平分線，聯(lián)想構造等腰三角形或全等三角形，獲取等線段，設元后利用相似三角形的性質和勾股定理建立方程，從而得解.

解法6 如圖8，過點P作GH∥AD，分別交AB，DC于點G和點H. 可證△PHD∽△EGP，得===. 設EG=x，則PH=3x，HD=4+x，GP=. 于是有+3x=12，解得x=. 再由△EGP∽△EBF，可求得BF=3.

解法7 如圖9，延長AB到點M，使BM=4，延長DC到點N，使CM=4，連接MN，延長EF交MN于點G，連接DG. 易證四邊形AMND為正方形，△DPG≌△DNG. 設MG=x，則NG=12-x=PG. 所以EG=16-x. 在Rt△EMG中運用勾股定理，得82+x2=（16-x）2，解得x=6. 再由△EBF∽△EMG，可求得BF=3.

解法8 如圖10，連接AP，過點P作PG⊥AB，垂足為G，則△APG∽△DEA. 所以=. 設GP=x，則AG=3x，EG=3x-4. 在Rt△EGP中運用勾股定理，得42=x2+（3x-4）2，解得x=或x=0（舍去）. 又由△EGP∽△EBF，可求得BF=3.

解法9 如圖11，過點P作PG⊥AB，垂足為G，PH⊥AD，垂足為H，連接AP，則△AGP∽△DAE. 于是有=. 設GP=x，則AG=3x=PH，HD=12-x. 在Rt△PDH中運用勾股定理，得（3x）2+（12-x）2=122，解得x=或x=0（舍去）. 所以PH=，HD=. 所以tan∠HDP=tan∠BEF=. 所以BF=3.

解法10 如圖12，分別延長DP，AB交于點G，則△GPE∽△GAD. 所以==. 設PG=x，則AG=3x，EG=3x-4，DG=3（3x-4）. 于是3（3x-4）=12+x，解得x=3. 又△EPG≌△EBF，所以BF=PG=3.

解法11 如圖13，延長DP交BC于點G，連接EG. 可證△EBG≌△EPG，于是tan∠BEG=tan∠ADE=，所以BG==PG，GC=. 所以GD=. 又△GPF∽△GCD，所以=，解得GF=. 所以BF=3.

解法12 如圖14，過點E作EG⊥EF交AD于點G，則EG∥DP. 可證EG=DG，設EG=DG=x，則AG=12-x. 在Rt△AEG中運用勾股定理，得x2=42+（12-x）2，解得x=. 所以AG=. 又△GAE∽△EBF，所以=. 所以BF=3.

評析 解法6至解法12，由矩形的特殊性、折疊產(chǎn)生直角，以及對稱軸是對應點連線的中垂線，構造“K”形、“十字架”形、“斜交”形等相似模型，為邊角溝通架構橋梁，解決問題.

解法13 如圖15，連接DF，設BF=x，PF=y，則CF=12-x. 在Rt△BEF中運用勾股定理得x2+42=（4+y）2，在Rt△PFD和Rt△CFD中運用勾股定理得y2+122=（12-x）2+82，解得x=0（舍去）或x=3. 所以BF=3.

評析 解法13通過直接設元，以直角三角形為載體，利用勾股定理建立方程，凸顯方程思想.

解法14 如圖16，以B為坐標原點建立平面直角坐標系，則A（0，8），D（12，8），E（0，4），直線DE的解析式為y=x+4. 所以直線AP的解析式為y=-3x+8. 可求得兩直線的交點為，，所以P，. 所以直線EF的函數(shù)解析式為y=-x+4. 所以F（3，0）. 所以BF=3.

評析 解法14借助平面直角坐標系解題，實現(xiàn)數(shù)與形的完美轉化，線段長通過點的坐標轉換.

縱觀以上解法可以發(fā)現(xiàn)，問題解決的關鍵是挖掘邊角之間的內在聯(lián)系，重在考查學生從形的角度突破，從數(shù)的角度解決問題的基本技能和基本路徑. 當然，解決本題時，重在圖形的構造，那如何構造呢，關鍵是抓住題眼，如中點的聯(lián)想、折痕的本質、矩形中直角的價值等.

教學啟示

1. 以題固知，關注折疊之不變

解決折疊類幾何綜合題是建立在足夠的知識積累基礎上的，因此，教學時要以題固知，關注折疊之不變;要依托題目不斷進行相關重點知識、規(guī)律、基本圖形、常用輔助線的再回顧與鞏固，這樣才能具備聯(lián)想轉化的基礎，才能厚積薄發(fā).

如教學本題時，首先可以結合條件觀察圖形，并設置引導性問題“圖中有哪些熟悉的基本圖形（模型）”“圖中哪些線段已知，哪些線段可求” 等，從而依托題目回顧并鞏固學生在初中幾何學習中涉及的重點知識，如“翻折”是全等變換，而折疊的本質是軸對稱，所有對應的元素滿足軸對稱性質;相似的基本圖形;倍長中線等.

其次，不管折疊的背景如何變化，要讓學生感知折疊之不變，尤其是對稱軸在折疊過程中體現(xiàn)的幾何性質——角平分線與中垂線性質. 以此為基礎，滲透方法：①標（相關等線段、角），②表（未知線段）（設參數(shù)，用工具，如相似、勾股定理、三角函數(shù)等），③求（建立方程，同時關注基本幾何模型構造，如等腰三角形、“十字架”模型等）. 由此抓住圖形變化過程中的本質，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

2. 以題強能，關注折疊之變

折疊類幾何綜合題中題設與結論之間的關系往往較為隱蔽，因此教學時要以題強能，關注折疊之變，注重讀題、析圖能力的培養(yǎng)與強化，這是關鍵.

教學時，首先要關注學生如何讀題思考，讓他們學會審題. 如本題教學時可以設置“由折疊這一條件，你可以得到哪些結論”“由中點這一條件，你想到了什么”等引導性問題，從而有意識地強化學生抓熟悉的圖形、特定條件聯(lián)想、類比對應模型的思維方法，尋找“新”問題與“舊”模型之間的關聯(lián).

其次，要不斷地滲透解決此類問題的最佳路徑，即讓學生真正體會到折疊之變的規(guī)律：一變折疊對象，不能局限于矩形、正方形，實際上三角形、圓、其他規(guī)則圖形中都可以設計出折疊問題;二變折痕位置，通過折痕位置的變化，構造出不同的折疊后圖形，從而形成不同形式的問題鏈;三變折疊次數(shù)，進一步豐富圖形組合. 教學過程中，若能緊抓“三變”，必能讓學生把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中，促進學生對新知識、方法的進一步內化.

3. 以題展思，關注折疊之設計

折疊問題類型眾多，具有“一題多解、多變”的特點，教學時可以“以題展思”，關注折疊之設計，持續(xù)關注思維方式方法的拓展，這是核心.

首先，既要注重變中的不變，也要注重變化中的聯(lián)系.

如本題，毫無疑問，從（1）問到（2）問，從圖1到圖2，兩者之間肯定有密切的聯(lián)系. 所以，教學時我們不妨讓學生先比較一下兩個圖形的變化和聯(lián)系，找一找兩個問題的共性. 容易發(fā)現(xiàn)，如圖17，連接AP，線段AP依然可求;過點P作GH∥BC，分別交AB，CD于點G和點H，依然有“一線三等角”模型;∠GEP依然等于∠ADP;很多三角形之間的關系依然存在……

當然，圖形的變化也帶來了一些新的關系、模型. 當學生對圖形和問題已經(jīng)熟悉后，我們就可以引導學生有序地從多方面尋求解決問題的思路和方法了. 如求線段的長度可以從勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)等方面入手.

其次，要注重學生的自主變式設計. 好的思維方法應該像“鹽”，但不能光吃“鹽”，最好的方式是將“鹽”溶解到各種食物中自然而然地吃. 在教學中，若能開展折疊問題探究，那對折疊問題的本質理解必能事半功倍. 教學時可從以下幾個角度來實施：一是給出折疊圖形，讓學生添加條件解決問題;二是給定折痕，讓學生思考折疊后對應點落的位置變化;三是改變問題形式，由求線段的長走向問題的多樣性. 真正讓學生獲取折疊問題思考的“序”，從而獲取解決問題的基本活動經(jīng)驗.