廣東省廣州市第九十七中學(xué)(510260) 徐進(jìn)勇

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn),以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義,以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng).數(shù)學(xué)教育應(yīng)努力滲透數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用等數(shù)學(xué)文化要素以及廣泛的人文元素,感受數(shù)學(xué)價(jià)值,提升科學(xué)精神,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí),生成人文素養(yǎng).新的高考評(píng)價(jià)體系旗幟鮮明地將“引導(dǎo)教學(xué)”作為高考的核心功能.2020 高考全國(guó)數(shù)學(xué)卷Ⅰ試題注重?cái)?shù)學(xué)文化的融入,關(guān)注試題背后數(shù)學(xué)文化的建設(shè)與發(fā)展,這對(duì)提高學(xué)生整體數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)起到積極作用.

第11 題(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科)已知⊙M:x2+y2-2x -2y -2 = 0, 直線l:2x+y+ 2 = 0,P為l上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí),直線AB的方程為( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

試題情境中的ΔPAB構(gòu)成了圓的“阿基米德三角形”.阿基米德(公元前287-公元前212)是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家,他最早利用逼近思想解決封閉圖形的面積,體現(xiàn)了近代積分思想.他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)史無(wú)前例,享有“數(shù)學(xué)之神”稱(chēng)號(hào).

圖1

阿基米德三角形是指:過(guò)圓錐曲線上任意兩點(diǎn)A,B分別作兩條切線相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)ΔPAB為阿基米德三角形.其中∠P為頂角,AB為底邊,當(dāng)AB過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn),此時(shí)ΔPAB叫阿基米德焦點(diǎn)三角形.圖1 分別為橢圓、雙曲線、拋物線的阿基米德三角形.

阿基米德三角形性質(zhì)很多,下面我們擷取幾例.

性質(zhì)1橢圓的阿基米德三角形中,弦端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)P與橢圓中心的連線平分弦.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 于是直線AP,BP的方程分別為:聯(lián)立解出x0=從而

設(shè)AB中點(diǎn)為Q, 則則kOQ=要證交點(diǎn)P與橢圓中心的連線平分弦AB, 只需證明kOP=kOQ, 即證即證即證顯然成立.所以kOP=kOQ,即OP平分AB.

同理, 圓和雙曲線的阿基米德三角形也有同樣的性質(zhì);拋物線的阿基米德三角形中,弦端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)P與弦中點(diǎn)的連線平行拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.

因此,第11 題的解答可簡(jiǎn)單作出判斷:因?yàn)锳B⊥PM,|PM|·|AB|最小?四邊形APBM面積最小?PA最短?PM最短?PM⊥l?AB//l?答案應(yīng)為B 或D,由圖可知AB的縱截距應(yīng)為負(fù),故選D.

圖2

圖3

性質(zhì)2如圖3,點(diǎn)P是橢圓= 1 過(guò)右焦點(diǎn)F的弦在兩端點(diǎn)處切線的交點(diǎn),則P在橢圓的右準(zhǔn)線x=上,且PF⊥AB,ΔPAB面積的最小值為

證明(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),AB過(guò)右焦點(diǎn)F(c,0),于是直線AP,BP的方程分別為:=1和=1,聯(lián)立解出x0=又A,F,B三點(diǎn)共線,所以有(x1?=c,x2?=c),從而有x1y2-x2y1=c(y2-y1), 代入可得:x0=, 再解出于是當(dāng)x1=x2=c時(shí),易證所以點(diǎn)P在橢圓的右準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng).

雙曲線:如圖4, 點(diǎn)P是雙曲線過(guò)右焦點(diǎn)F的弦在兩端點(diǎn)處切線的交點(diǎn),則P在雙曲線的右準(zhǔn)線上,且PF⊥AB,ΔPAB面積的最小值為

拋物線:如圖5,點(diǎn)P是拋物線y2=2px過(guò)焦點(diǎn)F的弦在兩端點(diǎn)處切線的交點(diǎn),則P在拋物線的準(zhǔn)線x=-p上,且PF⊥AB,PA⊥PB,ΔPAB面積的最小值為p2.

圖4

圖5

性質(zhì)3當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí),對(duì)應(yīng)的圓、橢圓、雙曲線有如下性質(zhì):對(duì)于圓x2+y2=r2,其阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為x2+y2=2r2;對(duì)于橢圓=1,其阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為x2+y2=a2+b2;對(duì)于雙曲線=1(a ＞b ＞0),其阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為x2+y2=a2-b2.

以橢圓為例證明:如圖6,當(dāng)有一條切線和x軸垂直時(shí),另一條和y軸垂直,其交點(diǎn)坐標(biāo)為(±a,±b),它必定在圓x2+y2=a2+b2上.

圖6

當(dāng)兩條切線都不和坐標(biāo)軸垂直時(shí),可設(shè)兩條切線方程為PA:y=kx+m,PB:y=+n, 兩切線交點(diǎn)于是

將PA的方程代入橢圓方程,得關(guān)于x的方程:因?yàn)橹本€與橢圓相切,所以Δ = 0,化簡(jiǎn)可得m2=b2+a2k2.同理可得n2=b2+于是=a2+b2.

從以上三個(gè)結(jié)論可知, 無(wú)論是圓, 橢圓還是雙曲線,當(dāng)頂角為直角時(shí), 頂角P的軌跡方程均為圓, 我們稱(chēng)這個(gè)圓為“蒙日?qǐng)A”.2014年高考廣東卷20 題:已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.(答案(1);(2)x2+y2= 13.)此題的背景就是蒙日?qǐng)A.

第19 題(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為,(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.

解:(1)可作如下框圖分析:

(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為乙連勝四場(chǎng)的概率為丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為(甲、乙可輪換).所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為因此丙最終獲勝的概率為.

回憶概率論起源問(wèn)題:

1651年夏天,法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡在一次旅行中,遇到了一個(gè)叫梅累的貴族公子,梅累經(jīng)常出入賭場(chǎng),梅累向帕斯卡請(qǐng)教了一個(gè)困擾很久的“賭金分配”問(wèn)題:他和賭友擲骰子,各人下賭注32 個(gè)金幣,預(yù)定先贏三局為勝(梅累如果先擲出來(lái)三次6 點(diǎn),或者賭友先擲出來(lái)三次4 點(diǎn)就算贏了對(duì)方),賭博進(jìn)行了一段時(shí)間后,梅累已經(jīng)兩次擲出來(lái)6 點(diǎn)(贏了2 局),而賭友已經(jīng)擲出來(lái)一次4 點(diǎn)(贏了一局),這時(shí)梅累接到通知,要馬上去陪國(guó)王接見(jiàn)貴賓,賭博便只好中斷了,那么,留下的這64 個(gè)金幣兩人應(yīng)該怎樣分才合理呢?

帕斯卡經(jīng)過(guò)3年的冥思苦想,并與另外兩個(gè)大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬和惠更斯開(kāi)展了熱烈的通信與討論,給出了邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼_解法,最后他們得出一致意見(jiàn)是:梅累應(yīng)得到全部贖金的四分之三,對(duì)方得四分之一.這些信件就是最早的概率論文獻(xiàn),這也是概率論的起源,所以早期概率論也被稱(chēng)為“賭徒之學(xué)”.為什么這些大數(shù)學(xué)家會(huì)對(duì)一個(gè)賭博問(wèn)題大感興趣,為它花費(fèi)3年時(shí)間,還為此寫(xiě)了一本叫《論賭博中的計(jì)算》的書(shū)? 正像惠更斯在書(shū)中所說(shuō)的那樣:“任何一個(gè)讀者仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn),這不僅僅是一個(gè)賭博問(wèn)題.”

解法1:每一局(每一次投擲)甲勝的概率p1=乙勝的概率p2=平局的概率p3=

最終甲勝的情況包括以下兩種:

(1)平n局后甲勝一局,其概率和為:

(2)平n局后甲輸一局,最后甲勝一局的概率和為:

解法2若只考慮最后輸贏不考慮比賽場(chǎng)數(shù)時(shí),平局可以不管,每一局甲、乙勝的概率相等,可均視為所以甲最終取勝可有下列兩種情況:

可見(jiàn),今年概率題是以概率論起源問(wèn)題為本源,充分體現(xiàn)概率論在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值,深刻考查了學(xué)生的邏輯推理能力.

化學(xué)家傅鷹指出:“一門(mén)科學(xué)的歷史是那門(mén)科學(xué)最寶貴的一部分,因?yàn)榭茖W(xué)只能給我們知識(shí),而歷史卻給我們智慧”.數(shù)學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)歷史,數(shù)學(xué)歷史是數(shù)學(xué)的源頭.數(shù)學(xué)教育融入數(shù)學(xué)史料,可以呈現(xiàn)知識(shí)之諧,展示方法之美,營(yíng)造探究之樂(lè),揭示文化之魅,提供能力之柱,彰顯德育之效.