山東省濱州市鄒平市第一實(shí)驗(yàn)小學(xué) 梁 靜

概念是數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的組成要素，是數(shù)學(xué)學(xué)科的“細(xì)胞”。學(xué)生數(shù)學(xué)概念的獲得過(guò)程本質(zhì)上是對(duì)概念建立心理表征的過(guò)程。概念理解是對(duì)給出的概念及其定義進(jìn)行解構(gòu)并形成屬于學(xué)習(xí)者的認(rèn)知的過(guò)程；概念建構(gòu)則是指基于原有經(jīng)驗(yàn)或認(rèn)知基礎(chǔ)，通過(guò)思維加工學(xué)習(xí)素材并形成新的概念的過(guò)程。對(duì)于小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，概念理解是基礎(chǔ)，概念建構(gòu)空間則發(fā)生在一些重要概念的學(xué)習(xí)上。

一、應(yīng)用情境，促進(jìn)學(xué)生的概念理解

數(shù)學(xué)概念是抽象化的，但卻具有經(jīng)驗(yàn)化的特質(zhì)。如何促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解？一個(gè)重要的策略就是情境化。情境化的策略，是為了在抽象的數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的形象化思維之間搭建橋梁。在情境中，學(xué)生能深化對(duì)概念的感受與體驗(yàn)。同時(shí)，情境還能激發(fā)學(xué)生對(duì)概念認(rèn)知的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生概念思維的積極性，發(fā)掘?qū)W生概念探究的創(chuàng)造性，讓學(xué)生能動(dòng)地建構(gòu)概念。因此，教師要依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將概念通過(guò)情境還原為對(duì)象、現(xiàn)實(shí)、場(chǎng)景、模型等。

以教學(xué)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”（蘇教版三年級(jí)下冊(cè)）為例，相比較分?jǐn)?shù)而言，小數(shù)在日常生活中有著更為廣泛的應(yīng)用。因此，在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“小數(shù)”這一概念時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了多樣化的情境，如“商店里商品的標(biāo)價(jià)”“塑料袋中的商品質(zhì)量標(biāo)識(shí)”等。在情境中，學(xué)生一方面能感受、體驗(yàn)到小數(shù)與日常生活的關(guān)聯(lián)，認(rèn)識(shí)到小數(shù)學(xué)習(xí)的重要性，另一方面能對(duì)小數(shù)展開生活化的思考，即這些小數(shù)表示什么意思？在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)小數(shù)的意義，讓學(xué)生討論、交流“0.5元是什么意思”“0.7米表示多少”“0.6米與1米之間有怎樣的關(guān)系”“0.7元與1元之間有著怎樣的關(guān)系”等。通過(guò)情境，促生學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究潛質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與小數(shù)學(xué)習(xí)。通過(guò)多樣化的情境，學(xué)生能有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而將“1元”“1米”等平均分成10份，表示這樣的一份或者幾份，從而深刻感悟小數(shù)的內(nèi)涵。

生活中存在著數(shù)學(xué)概念的原型。情境是學(xué)生概念建構(gòu)的基石，為學(xué)生深入理解概念提供了有效的支撐。著名教育心理學(xué)家維果茨基認(rèn)為：“數(shù)學(xué)概念直接教授是不可能的，而且也是沒(méi)有效果的?！睂⒏拍钤⒂谇榫持?，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行生活化的感知，進(jìn)而豐富數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景。數(shù)學(xué)概念還具有意象性的特質(zhì)，而情境能豐富學(xué)生的概念表象，讓學(xué)生把握概念與生活千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián)，從而有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解。

二、應(yīng)用活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的概念建構(gòu)

活動(dòng)是數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中感知概念、表征概念、建構(gòu)概念、轉(zhuǎn)變概念。APOS理論認(rèn)為，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)與轉(zhuǎn)變必須經(jīng)歷活動(dòng)、程序、對(duì)象和圖式四個(gè)階段。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的活動(dòng)，不僅僅包括外在的操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，而且包括內(nèi)在的回憶、猜想、判斷，以及推理等相關(guān)活動(dòng)。活動(dòng)能幫助學(xué)生積累概念建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，更要引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而通過(guò)活動(dòng)建立數(shù)學(xué)概念模型。

以“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”（蘇教版三年級(jí)上冊(cè)）中的“周長(zhǎng)”概念建構(gòu)為例，“周長(zhǎng)”這一概念不是通過(guò)教師機(jī)械、枯燥說(shuō)教就能讓學(xué)生理解的，而必須引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)。在教學(xué)中，筆者出示多種規(guī)則的與不規(guī)則的、直線的與曲線的圖形，讓學(xué)生“摸一摸”“描一描”“畫一畫”“量一量”“算一算”。在這個(gè)過(guò)程中，筆者還讓學(xué)生充當(dāng)“小甲蟲”進(jìn)行角色扮演，實(shí)地繞著這些比較大的規(guī)則的、不規(guī)則的圖形的邊線走一圈。這樣的角色扮演活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)周長(zhǎng)的興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生認(rèn)知周長(zhǎng)的積極性。有學(xué)生在繞著邊線“走動(dòng)”的時(shí)候，還在起點(diǎn)處做上一個(gè)標(biāo)記，認(rèn)為從哪里出發(fā)還要回歸到哪里，由此在教學(xué)中融入、滲透了“封閉”的概念。通過(guò)有效的概念學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括。經(jīng)過(guò)多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生大腦中的“周長(zhǎng)”概念的模型建立并逐步走向豐滿、具象。有學(xué)生指出，周長(zhǎng)就是邊線一周的長(zhǎng)度。

美國(guó)著名教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，學(xué)生建立一個(gè)概念的過(guò)程是從動(dòng)作表征過(guò)渡到圖像表征再到抽象的符號(hào)化表征的一個(gè)過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行意義建構(gòu)。同時(shí)，活動(dòng)改變了傳統(tǒng)的死記硬背、灌輸為主的概念教學(xué)方式，真正體現(xiàn)了教為主導(dǎo)、學(xué)為主體。

三、應(yīng)用變式，活化學(xué)生的概念表征

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的表征是多樣的，比如描述式的、圖畫式的、定義式的等。教師可以運(yùn)用變式，活化學(xué)生的概念表征。通過(guò)變式，變換概念的外在條件，進(jìn)而能讓學(xué)生舍棄概念的非本質(zhì)屬性，提煉出概念的本質(zhì)屬性等。只有真正掌握概念的本質(zhì)屬性，才能領(lǐng)悟概念的精髓。

例如“高”這一概念，是小學(xué)生難以理解的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。在日常生活中，學(xué)生會(huì)形成關(guān)于“高”的前概念，這些前概念認(rèn)為，豎直向下的線段就是高。此時(shí)，教師可以應(yīng)用“變式”，活化學(xué)生的概念表征。如在教學(xué)“平行四邊形的高”“三角形的高”以及“梯形的高”時(shí)，筆者不僅讓學(xué)生畫不同種類的高，更是變換平行四邊形、三角形和梯形的位置、方向等。以“三角形的高”的教學(xué)為例，筆者在教學(xué)中分別讓學(xué)生畫鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形的高，并讓學(xué)生從三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別向底邊作垂線，等等。通過(guò)多元變式，學(xué)生逐步舍棄了高的非本質(zhì)屬性，形成了對(duì)高的本質(zhì)屬性理解。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)了“距離”“垂直”等相關(guān)的概念，厘清了數(shù)學(xué)中的“距離”與生活中的“距離”概念的不同、數(shù)學(xué)中的“垂直”與生活中的“垂直”概念的不同。變式讓學(xué)生從多個(gè)角度、多個(gè)層面等來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念，從而領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)精髓。

變式不僅有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，而且有助于深化、拓展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要應(yīng)用正向變式強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知，而且可以應(yīng)用反向變式厘清學(xué)生的認(rèn)知，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深層理解和深度遷移。

四、應(yīng)用結(jié)構(gòu)，建構(gòu)學(xué)生的概念體系

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是概念的簡(jiǎn)單堆積，而是存在著一定的邏輯關(guān)聯(lián)，具有一定知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)、概念體系，從而讓學(xué)生能有效地應(yīng)用概念。在學(xué)生的數(shù)學(xué)概念體系、概念結(jié)構(gòu)之中，核心概念發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心概念，讓學(xué)生把握概念之間的層級(jí)關(guān)系，有效地幫助學(xué)生建構(gòu)概念。

例如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)線段、直線和射線”（蘇教版四年級(jí)上冊(cè)）這一部分內(nèi)容時(shí)，教師不僅僅要讓學(xué)生通過(guò)直觀建立線段、射線、直線的概念，即線段、射線、直線都是直的，線段有兩個(gè)端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)，直線沒(méi)有端點(diǎn)，更要將線段、直線、射線等建立關(guān)聯(lián)。如“將線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條射線”“將線段的兩端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條直線”等，引導(dǎo)學(xué)生有效地比較射線、直線和線段的概念，從而讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到“線段是直線的一部分”“射線也是直線的一部分”。只有當(dāng)學(xué)生能把握直線、射線和線段之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到線段是直線的一部分、射線也是直線的一部分時(shí)，學(xué)生才能對(duì)線段、射線、直線的概念理解走向深入。學(xué)生在遇到數(shù)線段、數(shù)射線時(shí)，才能根據(jù)線段、射線等概念定義有效地?cái)?shù)出。通過(guò)數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián)，才能讓學(xué)生有效地建構(gòu)概念體系。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念前后關(guān)聯(lián)密切、系統(tǒng)性強(qiáng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生建立概念之間的層次關(guān)系，從而更深入地把握概念的本質(zhì)，幫助學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念體系、結(jié)構(gòu)等。只有把握了概念之間的關(guān)聯(lián)，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念更有效地理解、遷移和應(yīng)用。在概念教學(xué)中，教師要以學(xué)生為中心，讓學(xué)生整體、動(dòng)態(tài)地把握概念本質(zhì)，幫助學(xué)生積累概念認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，有效地發(fā)展學(xué)生的概念認(rèn)知力。