高 敏，段 蕾，史文洋，顏家偉，陸科杰

(1.中國(guó)石油股份有限公司長(zhǎng)慶油田分公司第四采油廠，寧夏銀川 750006；2.中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；3.中國(guó)石油股份有限公司長(zhǎng)慶油田分公司第三采油廠，寧夏銀川 750006；4.中海油能源發(fā)展股份有限公司工程技術(shù)分公司，天津 300452)

隨著石油勘探開(kāi)發(fā)理論與技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的復(fù)雜油氣儲(chǔ)層被發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行商業(yè)開(kāi)采。儲(chǔ)層的描述表征以及生產(chǎn)過(guò)程中的儲(chǔ)層再認(rèn)識(shí)一直是礦場(chǎng)比較關(guān)心的問(wèn)題。在非均質(zhì)儲(chǔ)層滲流的刻畫方面，層狀油藏模型和復(fù)合油藏模型是最常用的兩種經(jīng)典模型。Gao[1]針對(duì)多層油藏首次提出了存在層間越流的半透壁滲流模型，Bourdet[2]建立了經(jīng)典的無(wú)越流層狀儲(chǔ)層壓力模型。文獻(xiàn)[3-9]研究了多層合采油氣藏的儲(chǔ)層壓力和滲流特征，建立了考慮層間越流和無(wú)層間越流的壓力響應(yīng)模型，奠定和發(fā)展了多層油藏滲流與試井方法理論。文獻(xiàn)[10-15]對(duì)多層油氣藏滲流模型進(jìn)行了系統(tǒng)的綜述，總結(jié)對(duì)比了考慮復(fù)合特征的多層儲(chǔ)層滲流模型的求解方法以及內(nèi)外邊界條件等，最后給出了多層徑向復(fù)合模型壓力解的結(jié)構(gòu)和求解方法。

現(xiàn)存的多層徑向復(fù)合滲流模型中，只針對(duì)較少層數(shù)(2～3層)的模型進(jìn)行各層復(fù)合半徑不相等的處理。嚴(yán)格意義上說(shuō)，缺少真正的多層非均勻徑向復(fù)合儲(chǔ)層滲流模型。為了明確縱向非均勻復(fù)合儲(chǔ)層的壓力響應(yīng)特征，分析非均勻復(fù)合半徑對(duì)壓力響應(yīng)的影響規(guī)律，本文建立了考慮各類非均勻復(fù)合半分布的多層儲(chǔ)層壓力響應(yīng)模型，進(jìn)一步完善和補(bǔ)充了多層復(fù)合儲(chǔ)層滲流理論。

1 模型的建立與求解

1.1 物理模型

縱向非均勻徑向復(fù)合模型如圖1所示，假設(shè)儲(chǔ)層為n層，各層均為水平等厚的儲(chǔ)層；第j(j=1,…,n)層的流體黏度、儲(chǔ)層綜合壓縮系數(shù)、厚度分別為μj、Ctj、hj；第j層內(nèi)區(qū)滲透率、孔隙度、外邊界分別為k1j、Φ1j、rcj，第j層外區(qū)滲透率、孔隙度、外邊界分別為k2j、Φ2j、re；生產(chǎn)井位于儲(chǔ)層中心，以定產(chǎn)q進(jìn)行生產(chǎn)；開(kāi)井前儲(chǔ)層壓力處處相等，儲(chǔ)層內(nèi)充滿微可壓縮流體；開(kāi)井后各層流體滿足達(dá)西定律向井底徑向流動(dòng)，且層間無(wú)越流。

圖1 縱向非均勻徑向復(fù)合模型示意圖

以井軸為中心，各層流體向井底流動(dòng)時(shí)各層儲(chǔ)層內(nèi)壓力p的分布滿足下述定解問(wèn)題。

(1)

pij|t=0=pr

(2)

(3)

p1j|rD=1=pw

(4)

(5)

p1j|r=rcj=p2j|r=rcj

(6)

p2j|r→∞=pr

(7)

1.2 數(shù)學(xué)模型

定義無(wú)量綱變量：

rD=r/rw

(8)

(9)

(10)

(11)

pijD=2π(kh/μ)a(pr-pij)/q

(12)

χij=(kh/μ)ij/(kh/μ)a

(13)

ωij=(ΦCth)ij/(ΦCth)a

(14)

Mj=(kh/μ)1j/(kh/μ)2j

(15)

Dj=(ΦCth)1j/(ΦCth)2j

(16)

式中χ——流動(dòng)系數(shù)比，無(wú)量綱；

ω——儲(chǔ)容系數(shù)比，無(wú)量綱；

M——滲透比，無(wú)量綱；

D——儲(chǔ)能比，無(wú)量綱。

拉氏空間下對(duì)應(yīng)的由無(wú)量綱滲流方程和邊界條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型為：

(17)

式中u——拉氏空間變量；

1.3 模型求解

內(nèi)區(qū)滲流方程解可用Bessel函數(shù)表示：

(18)

式中A——待求系數(shù)，無(wú)量綱；

Ia——a階第一類修正Bessel函數(shù)，無(wú)量綱；

B——待求系數(shù)，無(wú)量綱；

Ka——a階第二類修正Bessel函數(shù)，無(wú)量綱。

外區(qū)為無(wú)限大邊界，滲流方程解為：

(19)

式(18)和(19)中一共有3n個(gè)未知系數(shù)，根據(jù)內(nèi)邊界的1個(gè)產(chǎn)量方程、n-1個(gè)壓力方程，層交界面n個(gè)流量連續(xù)方程、n個(gè)壓力連續(xù)方程，得到3n×3n線性方程組：

(20)

式(20)中，aj=χjσ1I1(σ1)，bj=-χjσ1K1(σ1)，cj=I0(σ1)，dj=K0(σ1)，ej=σ1I1(σ1rcDj)，fj=-σ1K1(σ1rcDj)，gj=σ2K1(σ2rcDj)/Mj，hj=I0(σ1rcDj)，mj=K0(σ1rcDj)，oj=-K0(σ2rcDj)。

(21)

利用Shetfesh數(shù)值反演方法得到實(shí)空間下無(wú)量綱井底壓力的解pwD。

2 模型典型曲線特征

以n=10為例，圖2為模型參數(shù)弱化后的井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線。模型的參數(shù)弱化說(shuō)明非均勻復(fù)合模型是縱向均質(zhì)復(fù)合模型的泛化，縱向非均勻復(fù)合模型相比于單層復(fù)合模型具有更廣的適用范圍。從壓力和壓力導(dǎo)數(shù)典型曲線上可以看出縱向非均勻復(fù)合儲(chǔ)層存在3個(gè)明顯的流動(dòng)特征。

圖2 縱向非均勻復(fù)合模型典型曲線

(1)內(nèi)區(qū)徑向流階段：在縱向均質(zhì)的條件下，內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)l為0.5；在縱向非均質(zhì)的條件下，內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)仍為一段水平線，壓力導(dǎo)數(shù)值l=0.5/n。

(2)過(guò)渡流階段：由于外區(qū)儲(chǔ)層物性變差(M=D>1)，因此壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)上升。當(dāng)外區(qū)儲(chǔ)層物性遠(yuǎn)遠(yuǎn)差于內(nèi)區(qū)儲(chǔ)層物性時(shí)(M=D=100)，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)類似封閉邊界的特征，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)斜率m=1。

(3)外區(qū)徑向流階段：當(dāng)壓力傳播到外區(qū)更遠(yuǎn)的儲(chǔ)層時(shí)，外區(qū)流體徑向地流進(jìn)內(nèi)區(qū)，流動(dòng)表現(xiàn)為徑向流動(dòng)階段，壓力導(dǎo)數(shù)值L=M·l。

3 敏感性分析

3.1 層數(shù)

圖3揭示了縱向非均勻復(fù)合模型中層數(shù)n對(duì)井底壓力響應(yīng)的影響規(guī)律。如圖3所示：n=2時(shí)，取rcD=100，內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)值l1=0.25；n=5時(shí)，取rcD=200，內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)值l2=0.1；n=10時(shí)，取rcD=400，內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)值l3=0.05。即內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)值l=0.5/n。

圖3 層數(shù)敏感性分析

3.2 非均勻復(fù)合半徑

為了分析多層非均勻復(fù)合半徑對(duì)井底壓力響應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)了兩類縱向非均勻內(nèi)區(qū)半徑。第一類是直線類內(nèi)區(qū)半徑，用來(lái)刻畫斷層、地壘、地塹式復(fù)合儲(chǔ)層[12-13]；第二類是雙曲類內(nèi)區(qū)半徑，用來(lái)模擬碳酸鹽巖填充溶洞或者砂巖透鏡狀、塊狀巖性復(fù)合儲(chǔ)層[20-23]。

3.2.1 直線類復(fù)合半徑

圖4顯示了2種直線傾覆內(nèi)區(qū)半徑與3個(gè)均勻內(nèi)區(qū)半徑的壓力響應(yīng)曲線。圖中所示傾覆類內(nèi)區(qū)半徑具有3種性質(zhì)。①對(duì)稱性：兩種直線傾覆類內(nèi)區(qū)半徑對(duì)應(yīng)的壓力響應(yīng)曲線完全重合；②有界性：直線傾覆類內(nèi)區(qū)半徑壓力響應(yīng)曲線介于最小內(nèi)區(qū)半徑和最大內(nèi)區(qū)半徑對(duì)應(yīng)的壓力響應(yīng)曲線之間；③中值性：存在一個(gè)內(nèi)區(qū)中值半徑的壓力響應(yīng)曲線與實(shí)際直線傾覆類內(nèi)區(qū)壓力響應(yīng)曲線完全重合，且內(nèi)區(qū)中值半徑不等于內(nèi)區(qū)均值半徑。內(nèi)區(qū)中值半徑的取值遵守等效滲流空間法則：非均勻復(fù)合儲(chǔ)層的滲流空間是復(fù)雜的，可以用一個(gè)規(guī)則的滲流空間來(lái)替代它，使兩者具有相同的壓力響應(yīng)特征。等效滲流空間可以解釋試井多解性：無(wú)論多么復(fù)雜的儲(chǔ)層，總能找到一個(gè)或多個(gè)等效滲流空間。由于均值半徑不一定等于中值半徑，因此，慎用均值半徑處理縱向非均勻徑向復(fù)合類儲(chǔ)層。

圖4 直線類內(nèi)區(qū)半徑敏感性分析

3.2.2 雙曲類復(fù)合半徑

圖5表示拋物線型內(nèi)區(qū)前緣對(duì)壓力響應(yīng)的影響規(guī)律：參與徑向復(fù)合滲流的層數(shù)逐漸減少，內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)值按照l(shuí)=0.5/n的規(guī)律逐漸增大；根據(jù)等效滲流體積的概念，內(nèi)區(qū)中值半徑逐漸減小，過(guò)渡流出現(xiàn)的時(shí)間靠前。圖5中①和②內(nèi)區(qū)前緣具有相同的壓力響應(yīng)曲線，說(shuō)明兩者具有相同的等效滲流體積。如果儲(chǔ)層厚度很大，或內(nèi)區(qū)體積不是很大，則通過(guò)井底壓力響應(yīng)曲線難以識(shí)別內(nèi)區(qū)復(fù)合體積的縱向位置，如圖6所示。

圖5 拋物線型內(nèi)區(qū)半徑敏感性分析

圖6 內(nèi)區(qū)體積縱向位置敏感性分析

4 實(shí)例分析

圖7表示B2井于2006年9月進(jìn)行的一次壓力恢復(fù)的測(cè)試結(jié)果。結(jié)合B2井的儲(chǔ)層構(gòu)造來(lái)看，“三邊封閉+一邊定壓”矩形外邊界模型是最符合B2井實(shí)際儲(chǔ)層特征的[21]；如果不結(jié)合儲(chǔ)層特征，僅針對(duì)B2井的壓恢?jǐn)?shù)據(jù)就有5種外邊界解釋模型能較好地?cái)M合，其中3個(gè)矩形邊界模型解釋的最近封閉邊界分別為101 m、115 m、140 m，2個(gè)徑向復(fù)合得到的內(nèi)區(qū)半徑值分別為120 m、122 m(表1)。

表1 各類擬合模型的邊界類型及參數(shù)

圖7 B2井雙對(duì)數(shù)曲線及各類邊界擬合對(duì)比圖

3類矩形邊界得到的最近封閉邊界平均值為118.67 m，與2個(gè)復(fù)合半徑都十分接近。根據(jù)等效滲流體積概念可以認(rèn)為：B2井對(duì)應(yīng)的等效滲流體為半徑約為120 m的圓柱體，滲流范圍超過(guò)120 m將會(huì)收到儲(chǔ)層外邊界的干擾和影響。等效滲流體積的概念可以用來(lái)簡(jiǎn)化并解釋實(shí)際復(fù)雜儲(chǔ)層，但是容易丟失真實(shí)和精細(xì)的儲(chǔ)層特征。利用等效滲流體積可以解釋試井的多解性，但是試井的多解性問(wèn)題需要結(jié)合地質(zhì)資料和現(xiàn)場(chǎng)認(rèn)知消除。

5 結(jié)論

(1)縱向非均勻徑向復(fù)合滲流儲(chǔ)層存在3個(gè)流動(dòng)階段：內(nèi)區(qū)徑向流、過(guò)渡流、外區(qū)徑向流。內(nèi)區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)值l與參與徑向復(fù)合滲流的層數(shù)n有關(guān)：l=0.5/n；過(guò)渡流出現(xiàn)的時(shí)間與內(nèi)區(qū)中值半徑有關(guān)；外區(qū)徑向流的壓力導(dǎo)數(shù)值L與內(nèi)區(qū)流度比M有關(guān)：L=M·l。

(2)縱向非均勻徑向復(fù)合半徑對(duì)壓力響應(yīng)的影響規(guī)律具有：①對(duì)稱性，具有對(duì)稱的兩個(gè)非均勻徑向復(fù)合儲(chǔ)層具有相同的壓力響應(yīng)；②有界性，非均勻徑向復(fù)合儲(chǔ)層壓力響應(yīng)曲線位于最小復(fù)合半徑和最大復(fù)合半徑對(duì)應(yīng)的壓力響應(yīng)曲線之間；③中值性，存在一個(gè)縱向均勻的內(nèi)區(qū)半徑，其對(duì)應(yīng)的壓力響應(yīng)與非均勻徑向復(fù)合半徑對(duì)應(yīng)的井底壓力響應(yīng)相同。

(3)內(nèi)區(qū)中值半徑代替非均勻徑向復(fù)合半徑引起的壓力響應(yīng)誤差遠(yuǎn)小于均值半徑代替非均勻徑向復(fù)合半徑引起的誤差，中值半徑可以根據(jù)等效滲流體積法則得到；內(nèi)區(qū)均值半徑不一定等于內(nèi)區(qū)中值半徑，慎用均值半徑替代縱向非均勻復(fù)合半徑。

(4)等效滲流體積法則可以解釋試井的多解性?？梢杂玫刃е兄蛋霃教幚砜v向非均勻類復(fù)雜儲(chǔ)層，解釋其井底壓力響應(yīng)行為，但是等效中值半徑的處理方法不能夠準(zhǔn)確精細(xì)地描述復(fù)雜儲(chǔ)層的局部特征。