丁夢磊，余文輝，丁興亞，沈 剛

(1.中國船舶重工集團公司第七一三研究所，河南 鄭州 450000；2.中國礦業(yè)大學 機電工程學院，江蘇 徐州 221116)

引言

鋼絲繩作為工程應用中最為常見的曳引繩，具有軸向強度高、自重輕以及易收納等特點[1]，在電梯系統(tǒng)[2-3]、礦井提升系統(tǒng)[4-5]、醫(yī)療器械[6]、起重機械[7]等眾多領域中有著廣泛的應用。但同時，由于鋼絲繩在橫向方向的柔性以及長距離拉伸時表現(xiàn)出的彈性，加之外界對其施加的激勵和干擾，使得鋼絲繩在工作時會表現(xiàn)出復雜的動態(tài)響應特性，這也使得鋼絲繩末端連接的物體也表現(xiàn)出非期望的動態(tài)響應特性[8]。

在深井提升系統(tǒng)中，鋼絲繩是保證提升系統(tǒng)安全運行的一個關鍵構成單元。但在實際的提升運行過程中，鋼絲繩本身由于生產(chǎn)制造誤差、鋼絲繩及繩槽的磨損以及鋼絲繩在摩擦滾筒上的滑動、蠕動等因素會引起鋼絲繩的橫向及縱向振動，同時鋼絲繩的彈性形變、提升容器與罐道的阻尼干擾加之井內(nèi)的空氣阻力都會增大鋼絲繩的橫縱向振動，致使鋼絲繩承受強復變載荷，從而降低鋼絲繩的使用壽命，甚至引發(fā)提升系統(tǒng)失控、斷繩等重大惡性事故，同時也會影響乘坐人員的舒適性。

關于提升鋼絲繩的振動抑制問題，國內(nèi)外學者已做了大量研究。WANG等[9]將節(jié)點應變率引入鋼絲繩的振動模型中，設計了綜合考慮剛體運動和彈性變形的線性二次調(diào)節(jié)控制器，實現(xiàn)了對鋼絲繩的振動抑制。ZHANG等[10]針對柔性空間結(jié)構在外界干擾和參數(shù)不確定情況下的振動抑制問題，提出了一種主動振動控制方法，同時設計了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)觀測器來估計柔性結(jié)構的模態(tài)速度。XING等[11]針對通過通信信道傳輸控制信號和考慮執(zhí)行器性能下降的問題，提出了基于對數(shù)量化器的輸入量化邊界振動控制方案。HE等[12]考慮了變長度、變速度和約束邊界輸出的鋼絲繩橫向振動抑制問題，通過設計擾動觀測器來消除外部邊界擾動的影響。SANDILO等[13]研究了一般初始條件下變長度、變速度、變張力的垂直平移介質(zhì)的橫向振動抑制問題。

基于此，本研究以深井提升系統(tǒng)為研究對象，采用改進的PD控制算法實現(xiàn)提升鋼絲繩的縱向振動抑制。

1 數(shù)學建模

本研究涉及的是一類雙容器雙罐道的深井提升系統(tǒng)鋼絲繩振動主動抑制問題。為了對該系統(tǒng)進行動力學分析，首先需要建立系統(tǒng)的動力學模型，簡化模型如圖1所示。

圖1 深井提升系統(tǒng)簡化模型

圖1中天輪下安裝有液壓作動器。提升系統(tǒng)運行過程中，提升容器上安裝的加速度傳感器將容器的振動加速度反饋回控制系統(tǒng)，同時經(jīng)過積分運算，得到容器的振動速度和振動位移?？刂破骷纯筛鶕?jù)期望的振動及反饋的振動位移等信號求解控制輸入，并通過電液伺服系統(tǒng)完成振動位移的補償，實現(xiàn)振動抑制。

假設該提升系統(tǒng)采用的是剛性罐道，則提升容器只會有縱向振動，而沒有橫向振動。在t時刻，位于垂直提升主繩空間位置x處某一質(zhì)點的縱向振動位移為u(x,t)，該點的動態(tài)張力P(x,t)為該點的準靜態(tài)張力T(x,t)與彈性力EAε(x,t)之和，其數(shù)學表達式如下：

P(x,t)=T(x,t)+EAε(x,t)

(1)

式中，EA—— 鋼絲繩抗拉剛度，N/m

ε(x,t)—— 鋼絲繩空間位置x處、t時刻的正應變，ε(x,t)=ux(x,t)

以垂直提升主繩作為研究對象，在進行系統(tǒng)振動建模時先做以下假設：

(1)假定提升鋼絲繩為勻質(zhì)鋼絲繩，即線密度為常數(shù)；

(2)鋼絲繩的伸長形變與張力的關系服從胡克定律；

(3)不考慮空氣阻力的影響。

然后，基于Hamilton原理推導垂直提升主繩縱向振動方程。

系統(tǒng)動能為：

(2)

式中，ρ—— 提升主繩的線密度

v—— 提升速度

JD—— 天輪的轉(zhuǎn)動慣量

RD—— 天輪半徑

ma—— 提升容器的時變質(zhì)量

我們將尾繩質(zhì)量視為集中于容器底部的集中質(zhì)量，因此，其數(shù)學表達式為：

ma(t)=m+ρt(Zmin+s(t))

(3)

式中，m—— 容器及載物重量

ρt—— 尾繩的線密度

Zmin—— 容器在最低點時尾繩的最小懸垂長度

系統(tǒng)勢能為：

u(0,t)]

(4)

式中，T(x,t)為在t時刻垂直提升主繩空間位置x處質(zhì)點的準靜態(tài)張力，可表示為：

T(x,t)=(ma(t)+ρx)g

(5)

系統(tǒng)虛功為：

δW=c1(v+ut(0,t))δ(u(0,t)+s(t))+

c2(v+ut(l,t))δ(u(l,t)+s(t))+

f(t)δu(l,t)

(6)

式中，c1,c2—— 分別為提升容器和天輪處的阻尼系數(shù)

f(t)—— 液壓作動器施加給天輪的激振力

應用Hamilton原理：

(7)

聯(lián)立式(2)、式(4)和式(6)，結(jié)合系統(tǒng)幾何邊界δW(0,t)=δW(l,t)=0，運用變分理論與分部積分算法，可以求得垂直提升主繩的縱向振動的自由振動方程為：

0

(8)

c2(v+ut)=0x=l

(9)

x=0

(10)

對式(5)分析可得：

T(0,t)=mag

(11)

T(l,t)=(ma+ρl)g

(12)

Tx=ρg

(13)

將式(11)～式(13)帶入式(8)～式(10)進行簡化，可以得到：

0

(14)

f+c2(v+ut)=0x=l

(15)

x=0

(16)

式(14)～式(16)即為深井提升系統(tǒng)的動力學模型，基于此進行下文的控制器設計。

2 振動抑制控制器設計

如圖2所示即為提升鋼絲繩振動抑制的控制原理。

圖2 提升鋼絲繩振動抑制的控制原理

為了設計提升鋼絲繩的縱向振動控制器，首先定義如下的誤差項：

e=s(t)-sd(t)=u(0,t)

(17)

即提升容器端的縱向振動位移為系統(tǒng)的控制誤差，控制輸入的設計準則是讓控制誤差最終收斂到0。

定義如下的Lyapunov函數(shù)：

V=E1+E2

(18)

式中，

(19)

(20)

其中，E1為鋼絲繩的動能與勢能之和，表示對鋼絲繩縱向振動的抑制指標；E2中的前2項分別為天輪的動能以及提升容器的勢能，后2項表示了控制的誤差指標。

對E1，E2分別求導：

(21)

結(jié)合式(14)，可以得到：

(22)

同時，可以得到：

=(ma+ρl)gut(l,t)-magut(0,t)-

(23)

(24)

將式(22)～式(24)帶入式(21)，可以得到：

(v+ut(0,t))]+(ma+ρl)gut(l,t)-

magut(0,t)+ρgvl

(25)

對式(20)求導，可以得到：

(26)

則：

=EA[ux(l,t)(v+ut(l,t))-ux(0,t)(v+

ut(0,t))]+(ma+ρl)gut(l,t)-magut(0,t)+

=(v+ut(l,t))[f(t)+c2(v+ut(l,t))+ρv(v+

(27)

分析上式，設計控制律為：

f(t)=-c2(v+ut(l,t))-ρv(v+ut(l,t))-

(28)

將式(28)帶入式(27)，可以得到：

(29)

3 振動抑制仿真研究

為了驗證所提算法的有效性，運用MATLAB仿真軟件對本研究的算法進行仿真研究。仿真中深井提升系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1所示。

表1 深井提升系統(tǒng)仿真物理參數(shù)

提升系統(tǒng)的提升速度與提升加速度曲線如圖3和圖4所示。

圖3 深井提升系統(tǒng)提升速度曲線

圖4 深井提升系統(tǒng)提升加速度曲線

無控制器時深井提升系統(tǒng)提升容器處的縱向振動曲線如圖5所示。從圖中可以看出，提升容器在整個提升過程中縱向振動較為明顯，且有逐漸增大的趨勢，提升后期，振動幅值增大明顯，容易引起提升系統(tǒng)不穩(wěn)定，也增大了危險發(fā)生的可能性，同時也會降低乘坐人員的舒適性。當加入本研究設計的改進PD控制器后，提升容器端的縱向振動獲得了明顯的抑制，振動曲線如圖6所示。對比圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)，提升過程前段，改進PD控制算法對于容器端縱向振動的抑制效果并不明顯，但是在振動幅值更大的提升過程后段，改進PD控制器獲得了良好的振動抑制效果。

圖5 無控制器時提升容器處的縱向振動

圖6 改進PD控制下提升容器處的縱向振動

4 結(jié)論

本研究針對深井提升系統(tǒng)鋼絲繩縱向振動問題，基于李雅普諾夫理論，提出了一種改進的PD振動抑制算法，通過MATLAB軟件仿真驗證了所提算法的有效性。同時，我們也可以看到，采用該PD控制器并沒有在提升后期將縱向振動完全消除，這跟本研究建立模型的精確性以及算法本身的局限性有關。