黃文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

0 引 言

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control，ILC)利用前次控制量和誤差信息來提高當(dāng)前控制性能的學(xué)習(xí)控制思想，使其在未知、不確定的重復(fù)擾動作用下，仍然能有良好的控制性能。迭代學(xué)習(xí)控制思想自提出以來，因其不同于傳統(tǒng)控制策略的特點而被廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1-2]嘗試將迭代學(xué)習(xí)控制策略應(yīng)用于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制，表明迭代學(xué)習(xí)控制策略適用于超聲波電機(jī)運動控制，但所得控制效果仍不夠理想，有待進(jìn)一步研究。

目前，超聲波電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)普遍采用基于離散采樣的數(shù)字實現(xiàn)方式[3-4]，其分析及設(shè)計方法均有別于定義在連續(xù)域上的傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制。無論是從理論分析還是從實際應(yīng)用的角度來看，都有必要對離散采樣形式的迭代學(xué)習(xí)控制方法進(jìn)行研究，為超聲波電機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計提供理論基礎(chǔ)和設(shè)計原則。

本文針對超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制需求，以離散采樣的超聲波電機(jī)控制系統(tǒng)為分析對象，基于數(shù)字控制思想，分別在時域和頻域?qū)﹄x散采樣ILC的動態(tài)特性進(jìn)行分析，推導(dǎo)ILC控制過程單調(diào)收斂的判據(jù)，給出ILC控制器設(shè)計方法?；谕茖?dǎo)結(jié)果，設(shè)計超聲波電機(jī)離散ILC轉(zhuǎn)速控制器，進(jìn)行仿真分析和實驗驗證，進(jìn)一步討論了ILC控制律的學(xué)習(xí)收斂性質(zhì)和控制性能。良好的控制效果表明，推導(dǎo)所得結(jié)論及控制器設(shè)計方法正確，所提超聲波電機(jī)離散迭代學(xué)習(xí)逆控制策略有效。

1 離散系統(tǒng)ILC分析

不失一般性，考慮如下迭代學(xué)習(xí)控制律

uk+1,i=H(q)[uk,i+pL(q)ek,i+1]
ek,i=yr,i-yk,i

(1)

式中，H(q)為濾波函數(shù)；L(q)為學(xué)習(xí)函數(shù)；q為轉(zhuǎn)移算子；p為學(xué)習(xí)增益，p>0；k為迭代次數(shù)；yr,i為給定值或期望輸出；yk,i為如下系統(tǒng)的輸出

xk,i+1=Φxk,i+Γuk,i
yk,i=Cxk,i

(2)

該系統(tǒng)的初始狀態(tài)為xk(0)。又有

xr,i+1=Φxr,i+Γur,i
yr,i=Cxr,i

(3)

式中，xr為期望的系統(tǒng)狀態(tài)變量，ur為期望輸出對應(yīng)的輸入控制量。

式(3)與式(2)相減，得

Δxk,i+1=ΦΔxk,i+ΓΔuk,i
ek,i=CΔxk,i

(4)

其中，Δxk,i=xr,i-xk,i，Δuk,i=ur,i-uk,i，并假設(shè)初始條件e(0)=0成立。

式(1)所示控制器的設(shè)計，就是設(shè)計適當(dāng)?shù)腖(q)和H(q)，使系統(tǒng)誤差的最大值能在迭代學(xué)習(xí)過程中漸進(jìn)收斂于0。

在迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計過程中，系統(tǒng)的相對階數(shù)是一個關(guān)鍵參數(shù)，對控制性能與具體實現(xiàn)都有重要影響。例如，考察相對階為n的n階單輸入單輸出系統(tǒng)

(5)

因該系統(tǒng)的相對階為n，由

(6)

可知CAn-1B不為0，而CB至CAn-2B均為0。以采樣時間T將式(5)離散化，得采樣系統(tǒng)的輸入增益為

(7)

式(7)左乘C可得

(8)

可見，采樣后，系統(tǒng)的相對階數(shù)由n變?yōu)?。這一結(jié)論，也可由下式推出

yi+1=CΦxi+CΓui

(9)

此結(jié)果表明，在連續(xù)時間情況下，ILC需要計算輸出信號的n階導(dǎo)數(shù)，而采樣迭代學(xué)習(xí)控制則不需要。不需要考慮時間的先后順序和相對階，大大簡化了離散系統(tǒng)ILC的推導(dǎo)過程。式(9)中，CΓ的大小取決于采樣時間和系統(tǒng)階數(shù)。

1.1 時域分析

(10)

若假設(shè)有理函數(shù)H(q)和L(q)都滿足因果關(guān)系，通過分子除以分母，可將其展開為無窮級數(shù)，得H(q)=h0+h1q-1+…，L(q)=l0+l1q-1+…,由此，將H和L展開，寫為矩陣形式，它們均為下三角Toeplitz矩陣，級數(shù)的前N個系數(shù)為Toeplitz矩陣的第一列元素。

在式(1)等號兩邊，同時用ur,i做減法，可得

Δuk+1=HΔuk-pHLek+(1-H)ur

(11)

式中，ur=[ur(0),…,ur,(N-1)]T，將式(10)代入式(11)可得

Δuk+1=H(I-pLP)Δuk+(I-H)ur

(12)

記F=H(I-pLP)，易知F有重特征值h0(1-pl0CΓ)，則式(12)的穩(wěn)定性條件為

|h0(1-pl0CΓ)<1|

(13)

如前所述，在采樣迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)中，因CΓ=0，故式(13)是能成立的。需指出的是，條件(13)是有界輸入和有界輸出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，并不能保證‖ek‖單調(diào)減小。下面，考察式(12)中定義的F來進(jìn)一步研究ILC的收斂性。若取H(q)=L(q)=1，則式(12)成為

Δuk+1=(1-pP)Δuk

(14)

因其等價于比例控制器，這種控制形式被稱為P型ILC。對應(yīng)的穩(wěn)定性條件可簡化為

|1-pCΓ|<1

(15)

在時域中，如果|1-pCΓ|<1，且滿足

(16)

則可保證單調(diào)收斂[5]。

顯然，選取合適的學(xué)習(xí)函數(shù)L(q)，可以增加滿足上述條件的可能性。由上述表達(dá)式，還可以看出采樣時間對ILC收斂性的影響。式(16)中的參數(shù)N表示每次迭代控制過程中的采樣數(shù)據(jù)個數(shù)。對于指定的系統(tǒng)，N值越小，不等式(16)就越容易成立。需要注意的是，這些分析僅對理想的無擾動穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)是成立的。若系統(tǒng)受到可重復(fù)性擾動的作用，則需選擇合適的采樣時間以覆蓋擾動帶寬來抑制擾動影響。因此，在實際系統(tǒng)中，采樣時間值的選取往往需要折衷考慮。

1.2 頻域分析

由以上分析可知，基于時域的分析僅能保證BIBO的穩(wěn)定性，系統(tǒng)不一定能表現(xiàn)出理想的控制性能。因此，需尋求能夠保證漸進(jìn)收斂的判定條件。

對式(4)做z變換，得

ΔXk(z)=(Iz-Φ)-1ΓΔUk(z)
Ek(z)=CΔXk(z)=C(Iz-Φ)-1ΓΔUk(z)

(17)

式中，記C(Iz-Φ)-1Γ為P(z)。

對式(1)進(jìn)行z變換，并用Ur(z)同時減去等號兩邊的表達(dá)式，得

ΔUk+1(z)=H(z)[ΔUk(z)-zpL(z)Ek(z)]+

[1-H(z)]Ur(z)

(18)

將式(17)代入式(18)得

ΔUk+1(z)=H(z)[1-zpL(z)P(z)]ΔUk(z)+

[1-H(z)]Ur(z)

(19)

式中，記H(z)[1-zpL(z)P(z)]為F(z)。將F(z)展開為F(z)=f0+f1z-1+f2z-2+f3z-3+…，此級數(shù)的前N個系數(shù)為Toeplitz矩陣F的第一列元素。

若F(z)是穩(wěn)定的，并符合因果關(guān)系，則下式成立

(20)

式中，θ=ωkT。

于是，F(xiàn)的矩陣范數(shù)為‖F(xiàn)‖<1，式(20)表明范數(shù)‖ek‖是單調(diào)減小的，即滿足單調(diào)收斂性。P(z)穩(wěn)定是式(20)成立的前提。在實際系統(tǒng)中，P(z)可能并不穩(wěn)定，可以通過增設(shè)內(nèi)環(huán)反饋控制項來使P(z)穩(wěn)定。

下面討論能夠保證單調(diào)收斂的L(q)和H(q)的選擇準(zhǔn)則。不失一般性的，假設(shè)P(z)是穩(wěn)定的且無反饋環(huán)。

假設(shè)H(z)=1。理想情況下，選擇L(z)=1/zpP(z)，能夠得到單調(diào)意義下最快的收斂速度。但對于實際系統(tǒng)，P(z)是不可能準(zhǔn)確得到的。單調(diào)收斂要求[1-pzL(z)P(z)]在以復(fù)平面原點為圓心的單位圓內(nèi)，即要求pzL(z)P(z)在復(fù)平面上以(1,0)為圓心的單位圓內(nèi)。具備穩(wěn)定性需滿足

(21)

另外，zL(z)需滿足當(dāng)|∠(ejθL(ejθ)P(ejθ))|→π/2時，|PejθL(ejθ)P(ejθ)|→0。

選擇H(z)時，需考慮使1-H(z)最小并盡可能在穩(wěn)態(tài)時接近0，進(jìn)而避免穩(wěn)態(tài)誤差。因此，H(z)通常選為低通濾波器。由式(20)可知

(22)

這表明，如果設(shè)計H(z)的增益小于1，可使指定頻率處的穩(wěn)定區(qū)域增大。

2 超聲波電機(jī)迭代學(xué)習(xí)逆控制仿真分析

以平方誤差積分值(ISE)和絕對誤差積分值(IAE)作為衡量誤差值是否隨著迭代學(xué)習(xí)進(jìn)程而單調(diào)收斂的指標(biāo)，二者的算式分別為

(23)

(24)

ILC所采用的控制律為

u(k,i)=u(k-1,i)+p*e(k-1,i+1)

(25)

式中，p為學(xué)習(xí)增益，k為迭代次數(shù)，u(k,i)為第k次迭代過程中i時刻的控制量，e(k-1,i)為第k-1次迭代過程i時刻的轉(zhuǎn)速誤差。

由于被控對象的慣性，i時刻所施加控制量的作用效果在i+1時刻才得以體現(xiàn)，即e(i+1)反映了u(i)的控制效果，故采用式(25)形式的控制律有可能得到較好的控制效果。

p是控制律式(25)中的唯一待定參數(shù)，其取值對控制性能有顯著影響。根據(jù)上述分析，為保證穩(wěn)定性，需滿足|1-pCΓ|，由此可得0

3 實驗研究

實驗用電機(jī)為Shinsei USR60兩相行波超聲波電機(jī)，驅(qū)動電路為H橋結(jié)構(gòu)，采用相移PWM控制方式。

將轉(zhuǎn)速階躍給定值設(shè)為90 r/min，采用與仿真相同的控制參數(shù)值進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制實驗，實驗結(jié)果如圖1所示，轉(zhuǎn)速逐漸趨于給定值，無超調(diào)，且隨著迭代學(xué)習(xí)的進(jìn)行，調(diào)節(jié)時間持續(xù)減小，從第1次到第6次階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間減小幅度為25%，表明所述迭代學(xué)習(xí)控制策略有效。

圖1 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實測，p=0.2)

將轉(zhuǎn)速階躍給定值分別設(shè)定為30 r/min、60 r/min，控制參數(shù)不變，得到的實驗結(jié)果表明兩種階躍給定值情況下，轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線均逐漸趨于給定值，無超調(diào)，但不同轉(zhuǎn)速給定值下學(xué)習(xí)效果有差異，轉(zhuǎn)速給定值為30 r/min的情況，從第1次到第6次階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間減小幅度為77.78%，而轉(zhuǎn)速給定值為60 r/min的情況為15.38%。

在起始階段，轉(zhuǎn)速較小時，六次階躍響應(yīng)曲線之間的差異較大，迭代學(xué)習(xí)持續(xù)改進(jìn)的效果較為明顯；隨著轉(zhuǎn)速增大，曲線之間的差異漸小。其原因在于，控制律式(25)中的控制量“修正項”與轉(zhuǎn)速誤差成正比；隨著電機(jī)轉(zhuǎn)速增大、誤差減小，迭代學(xué)習(xí)帶來的控制性能改進(jìn)必然隨之減弱。也是由于同樣的原因，如果一個控制參數(shù)p值在低轉(zhuǎn)速給定值情況下表現(xiàn)良好，那么，同樣的p值用于高轉(zhuǎn)速給定值情況，會使控制量增加較慢，迭代學(xué)習(xí)效果減弱。

將p值增至0.3進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制實驗，90 r/min給定值情況下實驗結(jié)果如圖2，相比于圖1，圖2的轉(zhuǎn)速動態(tài)上升速度更快，迭代學(xué)習(xí)帶來的控制性能逐次改善更為明顯。

圖2 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實測，p=0.3)

表1給出了圖1、圖2兩種控制參數(shù)情況下階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間對比，表中“減小率”為當(dāng)前次階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間相對于第1次階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間的減小量，可表征迭代學(xué)習(xí)收斂過程的快慢。觀察表1數(shù)據(jù)可知，增大p值后，調(diào)節(jié)時間隨迭代的進(jìn)行持續(xù)減小，且第三次階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間的減小率已大于p為0.2情況下的最大減小率，迭代學(xué)習(xí)效果明顯增強(qiáng)，可見p值增大后，控制性能有所改善。以上結(jié)果表明，p值對迭代學(xué)習(xí)收斂速率和時域控制性能有明顯影響。采用所述控制律，在不同轉(zhuǎn)速給定值情況下，通過適當(dāng)調(diào)整p值，均可獲得較好的迭代學(xué)習(xí)控制效果。

表1 不同p值情況下迭代學(xué)習(xí)控制性能指標(biāo)(90 r/min)

進(jìn)行間歇加載實驗，以評估所述迭代學(xué)習(xí)控制策略對可變負(fù)載擾動的適應(yīng)能力。間歇加載意為，在連續(xù)進(jìn)行的6次階躍響應(yīng)實驗過程中，僅對第2次和第4次施加負(fù)載，其它4次為空載。采用與前述空載實驗相同的控制參數(shù)值進(jìn)行間歇加載實驗，得到轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)如圖3所示。轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線漸次改進(jìn)，未出現(xiàn)轉(zhuǎn)速跌落或穩(wěn)態(tài)誤差，表明在此控制律作用下，能夠使控制量發(fā)生相應(yīng)的變化以應(yīng)對負(fù)載擾動，對負(fù)載擾動具有一定的適應(yīng)能力。

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實測，p=0.3,第2、4次階躍響應(yīng)負(fù)載0.2 Nm)

4 結(jié) 論

目前，迭代學(xué)習(xí)控制普遍采用基于離散采樣的數(shù)字實現(xiàn)方式，其分析及設(shè)計方法均有別于定義在連續(xù)域上的傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制。本文以充分發(fā)揮迭代學(xué)習(xí)控制能力、提高超聲波電機(jī)控制性能為目的，基于離散采樣系統(tǒng)的特征，分別從時域和頻域兩個角度，對ILC的控制特性及收斂性進(jìn)行理論分析，分別給出了時域和頻域的單調(diào)收斂判據(jù)和ILC設(shè)計方法，對ILC的工程應(yīng)用具有指導(dǎo)意義和實用價值。在此基礎(chǔ)上，提出超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速逆控制結(jié)構(gòu)，以非線性逆模型來抵消超聲波電機(jī)及其驅(qū)動裝置的主要非線性特征，并設(shè)計ILC控制器來校正電機(jī)系統(tǒng)的線性動態(tài)特性。仿真及實驗結(jié)果表明，所提控制策略及控制參數(shù)設(shè)計有效，超聲波電機(jī)的轉(zhuǎn)速動態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)出漸進(jìn)的學(xué)習(xí)收斂過程，對負(fù)載間歇跳變等外加非重復(fù)擾動具有一定的適應(yīng)能力，控制效果良好。