鄭世燕 常斗亮

【摘要】以簡諧近似下一維三原子鏈晶格振動(dòng)為理論計(jì)算模型，通過數(shù)值計(jì)算分析法重點(diǎn)討論了典型晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)（如：原子間距、原子質(zhì)量及恢復(fù)力系數(shù)等）對晶格振動(dòng)的影響，進(jìn)而加深了對固體物理學(xué)晶格振動(dòng)相關(guān)內(nèi)容的理解，可為工程上帶通濾波器的研發(fā)提供一定的參考。

【關(guān)鍵詞】固體物理;一維三原子鏈;晶格振動(dòng);色散關(guān)系

0 引言

有關(guān)晶格振動(dòng)的經(jīng)典理論是固體物理學(xué)研究晶格原子運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)而闡明固體內(nèi)在微觀過程和宏觀性質(zhì)間相聯(lián)系的重要理論基礎(chǔ)。對晶格振動(dòng)中色散關(guān)系（ω-q）的研究，大大加深了人們對于晶格振動(dòng)的認(rèn)識與理解;探討晶格振動(dòng)色散關(guān)系，對研究晶體性質(zhì)具有重要的影響，諸如固體的熱導(dǎo)、熱膨脹、熱阻等。此外，晶格振動(dòng)與固體的力學(xué)、電學(xué)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變等都有關(guān)系。因此，對固體中粒子振動(dòng)的研究成為固體物理學(xué)中的一個(gè)重要研究內(nèi)容。但當(dāng)前許多固體物理學(xué)教材[1-5]是基于經(jīng)典力學(xué)在簡諧近似條件下求解一維單原子鏈和雙原子鏈模型的格波解和色散關(guān)系。

孫美慧等人[6]進(jìn)一步在簡諧近似條件下獲得平衡時(shí)原子間距為a（晶格常數(shù)為3a），質(zhì)量分別為m0、m1和m2（令m0

這是一個(gè)關(guān)于ω2的一元三次方程，設(shè)其解分別為ω1、ω2和ω3，對ω1、ω2和ω3進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可得色散關(guān)系曲線如圖1所示。圖中ω1、ω2和ω3分別表示聲學(xué)波、低頻光學(xué)波和高頻光學(xué)波所對應(yīng)的頻率;△ω1、△ω2和△ω3分別表示聲學(xué)波、低頻光學(xué)波和高頻光學(xué)波的頻譜寬度;ωg1和oωg2分別表示聲學(xué)波與低頻光學(xué)波間以及高低頻光學(xué)波間的頻率禁帶寬度。

此外，張啟義[7]和徐權(quán)[8]分別研究一維單、雙原子鏈中雜質(zhì)的局域振動(dòng)膜與雜質(zhì)質(zhì)量關(guān)系，秦春偉等人[9]討論一維單原子鏈和一維雙原子鏈色散關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，王端陽等人[10]利用數(shù)值模擬法分析典型晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)對一維雙原子鏈色散關(guān)系的影響，趙遠(yuǎn)等人[11]分析了原子質(zhì)量對一維三原子鏈色散關(guān)系的影響并建立了頻譜寬度和頻率禁帶寬度隨原子質(zhì)量變化的基本規(guī)律，顧培夫等人[12]鑒于偏振帶通濾波器在光通訊波分復(fù)用技術(shù)的特殊應(yīng)用，利用薄膜一維光子晶體[13]超晶格概念提出了新的偏振帶通濾波器的設(shè)訓(xùn)方法。

現(xiàn)有文獻(xiàn)對簡諧近似下的一維三原子鏈模型晶格振動(dòng)與原子間距、原子質(zhì)量和恢復(fù)力系數(shù)等晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系未有全面分析討論，故本文將以文獻(xiàn)[6]所獲得的一維三原子鏈模型的色散關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，通過數(shù)值計(jì)算分析原子間距、原子質(zhì)量和恢復(fù)力系數(shù)等晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)對晶格振動(dòng)的影響。

1 原子間距對晶格振動(dòng)的影響

在原子質(zhì)量（m0、m1和m2）與恢復(fù)力系數(shù)（β）保持不變的情況下，令公式（1）中的原子間距分別為a和a/2，其色散關(guān)系曲線如圖2所示。分析圖2曲線可知：

（1）當(dāng)原子間距為a時(shí)，簡約布里淵區(qū)（Brill-ouin zone）波矢q的取值范圍為（-π/3a，π/3a）;而當(dāng)原子間距減為a/2時(shí)，簡約布里淵區(qū)波矢9的取值范圍為（-2π/3a，2π/3a）。這與正倒格子的關(guān)系相吻合，即倒空間中的簡約布里淵區(qū)寬度隨著正空間中原子間距的減小而反比例增大。

（2）在簡約布里淵區(qū)范圍內(nèi)觀察圖2曲線的斜率變化可知，曲線斜率隨著原子間距的減小而減小，意味著晶格振動(dòng)在晶體中的傳播速度（即格波速度）隨原子間距的減小而減小，由此進(jìn)一步說明格波速度與晶格結(jié)構(gòu)的周期性有關(guān)。

（3）頻譜寬度（△ω1、△ω2和△ω3）和頻率禁帶寬度（ωg1和ωg2）并未受到原子間距變化的影響，說明頻譜寬度和頻率禁帶寬度與晶體結(jié)構(gòu)的周期性無關(guān)。

2 原子質(zhì)量對晶格振動(dòng)的影響

為簡單起見，此數(shù)值計(jì)算分析中所采用的原子質(zhì)量大小并非原子的真實(shí)質(zhì)量，而是m0、m1、m2三個(gè)原子質(zhì)量的相對值，且相應(yīng)的格波頻率也為相對值[11]。其中，m0、m1、m2分別代表小原子、中原子和大原子的質(zhì)量。

2.1 小原子質(zhì)量對晶格振動(dòng)的影響

在原子間距（a）、恢復(fù)力系數(shù)（β）及中原子和大原子的質(zhì)量（m1和m2）保持不變的情況下，令公式（1）中的原子質(zhì)量比依次為m2/m1/m0=4/2/1、4/2/1.5，其色散關(guān)系曲線如圖3所示。分析圖3中曲線可知：

①簡約布里淵區(qū)寬度并不隨著小原子質(zhì)量m0的變化而變化。

②曲線斜率除了低頻光學(xué)波ω2隨著小原子質(zhì)量m0的增大而變大外，聲學(xué)波ω1和高頻光學(xué)波ω3曲線斜率變化并不明顯。

③隨著小原子質(zhì)量m0的增大，低頻光學(xué)波頻譜寬度△ω2增大較明顯，體現(xiàn)在頻帶底比頻帶頂減小得更快些;高頻光學(xué)波頻帶底和頻帶頂隨著小原子質(zhì)量m0的增大雖都有明顯下降，但總體頻譜寬度△ω3變化較不明顯;聲學(xué)波頻譜寬度△ω1變化也較不明顯。

④兩個(gè)頻率禁帶寬度ωg1和ωg2均隨小原子質(zhì)量的增加而變窄。

2.2 中原子質(zhì)量對晶格振動(dòng)的影響

在原子間距（a）、恢復(fù)力系數(shù)（β）及小原子和大原子的質(zhì)量（m0和m2）保持不變的情況下，令公式（1）中的原子質(zhì)量比依次為m0/m1/m0=4/2/1、4/3/1，其色散關(guān)系曲線如圖4所示。分析圖4曲線可知：

①簡約布里淵區(qū)寬度也不隨中原子質(zhì)量m1的變化而變化。

②曲線斜率除了聲學(xué)波ω1隨著中原子質(zhì)量m1的增大而變小外，低頻光學(xué)波ω2和高頻光學(xué)波ω3曲線斜率變化并不明顯。

③隨著中原子質(zhì)量m1的增大，聲學(xué)波頻譜寬度△ω1呈減小趨勢，而低頻光學(xué)波ω2和高頻光學(xué)波ω3頻譜寬度△ω2和△ω3變化都不明顯。

④聲學(xué)波和低頻光學(xué)波間的頻率禁帶寬度ωg1變窄，而高低頻光學(xué)波間的頻率禁帶寬度ωg2變寬。

2.3 大原子質(zhì)量對晶格振動(dòng)的影響

在原子間距（a）、恢復(fù)力系數(shù)（β）及小原子和中原子的質(zhì)量（m0和m1）保持不變的情況下，令公式（1）中的原子質(zhì)量比依次為m2/m1/m0=4/2/1、6/2/1，其色散關(guān)系曲線如圖5所示。分析圖5曲線可知：

①簡約布里淵區(qū)寬度同樣不隨大原子質(zhì)量m2的變化而變化。

②曲線斜率都隨著大原子質(zhì)量m2的增大而略有變小，即格波速度略有減小。

③隨著大原子質(zhì)量m2的增大，聲學(xué)波頻譜寬度△ω1、低頻光學(xué)波頻譜寬度△ω2和高頻光學(xué)波頻譜寬度△ω3均減小。

④兩個(gè)頻率禁帶寬度ωg1和ωg2均隨大原子質(zhì)量m2的增加而變寬。

結(jié)合圖3、圖4和圖5，易獲得原胞內(nèi)小、中、大三種原子質(zhì)量的變化對聲學(xué)波ω1、低頻光學(xué)波ω2和高頻光學(xué)波ω3所對應(yīng)的簡約布里淵區(qū)寬度均未有影響，但對其頻譜寬度、頻率禁帶寬度均有影響。具體歸納為：隨著小原子質(zhì)量的增大，低頻光學(xué)波頻譜寬度增大較明顯，而高頻光學(xué)波與聲學(xué)波頻譜寬度變化較不明顯;兩個(gè)頻率禁帶寬度均隨小原子質(zhì)量的增加而變窄。隨著中原子質(zhì)量的增大，高低頻光學(xué)波頻譜寬度變化都較不明顯，聲學(xué)波頻譜寬度減小;聲學(xué)波和低頻光學(xué)波間的頻率禁帶寬度變窄，而高低頻光學(xué)波間的頻率禁帶寬度變寬。隨著大原子質(zhì)量的增大，光學(xué)波和聲學(xué)波頻譜寬度均減小;兩個(gè)頻率禁帶寬度均隨大原子質(zhì)量的增加而變寬。

由此表明一維三原子鏈中頻譜寬度、頻率禁帶寬帶的變化是晶體中所有原子參與集體運(yùn)動(dòng)的行為。該結(jié)論對工程實(shí)際應(yīng)用中帶通濾波器的設(shè)計(jì)可提供一定的理論參考價(jià)值。

3 恢復(fù)力系數(shù)對晶格振動(dòng)的影響

在原子間距（a）與原子質(zhì)量（m0、m1和m2）保持不變的情況下，令公式（1）中的恢復(fù)力系數(shù)分別為β和β/2，其色散關(guān)系曲線如圖6所示。分析圖6曲線可知：

（1）簡約布里淵區(qū)寬度也不隨恢復(fù)力系數(shù)的變化而變化。（2）曲線斜率除了聲學(xué)波ω1隨著恢復(fù)力系數(shù)的減小而變小外，低頻光學(xué)波ω2和高頻光學(xué)波ω3曲線斜率變化并不明顯，即聲學(xué)波波速有所減小，而高低頻光學(xué)波波速變化不大。（3）隨著恢復(fù)力系數(shù)的減小，三種格波的頻率相應(yīng)減小，頻譜寬度和頻率禁帶寬度都有變窄趨勢，由此說明帶通濾波器的設(shè)計(jì)也應(yīng)考慮恢復(fù)力系數(shù)變化對頻譜寬度和頻率禁帶寬度的影響。

4 結(jié)論

本文探討了原子間距、原子質(zhì)量及恢復(fù)力系數(shù)等晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)對一維三原子鏈晶格振動(dòng)的影響。結(jié)果表明：（1）改變正空間中的原子間距直接影響了倒空間中的簡約布里淵區(qū)寬度，即隨著原子間距的減小簡約布里淵區(qū)寬度按照反比例增大。（2）原胞內(nèi)大、中、小三種原子質(zhì)量的變化對聲學(xué)波、低頻光學(xué)波和高頻光學(xué)波的頻譜寬度、頻率禁帶寬度均有影響。（3）隨著恢復(fù)力系數(shù)的減小引起了格波頻率減小、頻譜寬度和頻率禁帶寬度均變窄，聲學(xué)波波速減小。

綜上所述，本文研究內(nèi)容不僅可拓展現(xiàn)有固體物理學(xué)教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)又可為實(shí)際應(yīng)用如帶通濾波器的設(shè)計(jì)提供一定的理論指導(dǎo)。

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[收稿日期]2021-06-28

[基金項(xiàng)目]泉州師范學(xué)院博士科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)（H21014）;泉州師范學(xué)院青年人才基金（201604）

[作者簡介]鄭世燕（1979-），女，博士，泉州師范學(xué)院副教授，研究方向：同步輻射X光吸收光譜及固體物理等。