葉義平，錢根葆，徐有杰 ，高 陽，覃建華

1.中國石油新疆油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依834000

2.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室·西南石油大學(xué)，四川 成都610500

引言

近年來，在非常規(guī)油氣儲集層孔隙結(jié)構(gòu)、非常規(guī)油氣賦存狀態(tài)等方面的研究取得了一些新的進(jìn)展，促進(jìn)了非常規(guī)油氣的勘探開發(fā)進(jìn)程[1-3]。隨著水力壓裂技術(shù)的不斷進(jìn)步，該技術(shù)在油氣藏開發(fā)和提高單井產(chǎn)量方面起到了越來越重要的作用[4-5]。

在多段壓裂水平井實際壓裂過程中，壓裂形成的裂縫寬度往往是在發(fā)生變化的，距離井筒越近，裂縫寬度越寬，距離井筒越遠(yuǎn)，裂縫寬度越小。試井分析技術(shù)是儲層評價和儲層、裂縫相關(guān)參數(shù)求取的重要方法。Horne 等[6]建立了多段壓裂水平井試井分析數(shù)學(xué)模型，劃分了多段壓裂水平井滲流流動階段，分析了多條裂縫間的干擾效應(yīng)。Medeiros等[7]將源函數(shù)與邊界元方法相結(jié)合，研究了矩形封閉油藏多段壓裂水平井井底壓力動態(tài)特征。王本成等[8]利用源函數(shù)理論、三維特征值法和正交變換等現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析方法對多段壓裂水平井模型求解；王鏡惠等[9]建立了多段壓裂水平井不對稱垂直裂縫試井分析數(shù)學(xué)模型，分析了各影響因素對曲線的影響；王曉冬等[10]研究了盒狀封閉油藏多段壓裂水平井井底壓力動態(tài)特征，給出了求解有限導(dǎo)流多段壓裂水平井井底壓力動態(tài)特征的新方法。以上學(xué)者在多段壓裂水平井試井模型的建立過程中，假定每條裂縫的導(dǎo)流是保持不變的，對于實際壓裂裂縫而言，沿裂縫方向，裂縫導(dǎo)流能力是在發(fā)生變化的。基于此，Luo 等[11]利用半解析的方法研究了均質(zhì)油藏直井壓裂井變裂縫導(dǎo)流能力對試井曲線的影響。對于多段壓裂水平井變裂縫導(dǎo)流能力試井模型目前還沒有太多的研究。針對儲層應(yīng)力敏感效應(yīng)影響，歐陽偉平等[12]建立了多級壓裂水平井三維數(shù)值試井模型，采用有限元方法對其進(jìn)行了求解；祝浪濤等[13]建立了致密油藏直井體積壓裂試井分析模型，分析了應(yīng)力敏感對試井曲線的影響；趙超等[14-17]采用攝動變換的方法研究了應(yīng)力敏感效應(yīng)對多段壓裂水平井井底壓力響應(yīng)特征的影響。

目前，試井分析模型未綜合考慮儲層應(yīng)力敏感、變裂縫導(dǎo)流能力對裂縫性油藏多段壓裂水平井試井的影響，采用定裂縫導(dǎo)流能力模型對低滲儲層多段壓裂水平井的解釋結(jié)果與實際試井資料往往存在一些差異。基于此，就多段壓裂水平井變裂縫導(dǎo)流能力試井?dāng)?shù)學(xué)模型展開研究，基于滲流力學(xué)基本原理，建立裂縫性油藏多段壓裂水平井試井分析數(shù)學(xué)模型；通過Laplace 和Fourier 積分變換獲得Laplace 空間無因次壓力解，耦合儲層模型解和壓裂裂縫模型解，利用壓降疊加原理求得模型在Laplace空間無因次井底壓力；利用Stehfest 數(shù)值反演算法計算實空間無因次井底壓力，繪制無因次壓力和壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線，進(jìn)行流動階段劃分及曲線特征與影響因素分析，分析變裂縫導(dǎo)流能力與定裂縫導(dǎo)流能力在壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線上的差異，以期為后期實測數(shù)據(jù)的擬合與分析奠定理論基礎(chǔ)。

1 物理模型及其假設(shè)條件

裂縫性油藏多段壓裂水平井物理模型示意圖如圖1 所示，模型基本假設(shè)條件如下。

（1）裂縫性油藏由基質(zhì)和天然裂縫兩部分組成，基質(zhì)中的流體流入天然裂縫，然后沿天然裂縫流入壓裂裂縫。

（2）天然裂縫、基質(zhì)和水力裂縫中的流體流動符合達(dá)西滲流定律、等溫滲流。

（3）忽略毛管力和重力的影響。

（4）多段壓裂水平井以定產(chǎn)量qsc生產(chǎn)，第i條壓裂裂縫的產(chǎn)量為qi。

（5）原始地層壓力為pe，初始時刻各個系統(tǒng)中的壓力等于原始地層壓力。

（6）水平井位于頂?shù)追忾]板狀油藏中心，裂縫高度等于儲層厚度。

（7）考慮儲層應(yīng)力敏感影響，滲透率與壓力的關(guān)系為[18]

根據(jù)室內(nèi)壓裂實驗研究，裂縫導(dǎo)流能力沿裂縫方向的變化呈對數(shù)變化規(guī)律[19]

圖1 裂縫性油藏多段壓裂水平井物理模型Fig.1 Physical model of the multi-fractured horizontal well in naturally fractured shale oil reservoirs

2 數(shù)學(xué)模型的建立與求解

2.1 儲層數(shù)學(xué)模型

基于滲流力學(xué)基本原理，建立三維無限大儲層滲流微分方程；通過Laplace 積分變換和有限余弦Fourier 變換，求得三維無限大空間點源解；根據(jù)鏡像反映原理得到頂?shù)追忾]、側(cè)向無限大外邊界連續(xù)壓力點源解為[20-22]

根據(jù)式（4），對式（3）所給的點源解分別沿x和z方向積分得到頂?shù)追忾]、側(cè)向無限大外邊界條件下，第m條壓裂裂縫Laplace 空間下無因次均勻流量面源解為[22]

2.2 裂縫數(shù)學(xué)模型

對于垂直裂縫而言，假定第m條壓裂裂縫寬度為wfm，裂縫長度為Lfm，基于線性流模型，可以得到考慮應(yīng)力敏感影響的無因次微分方程和對應(yīng)的邊界條件[23]

γD無因次應(yīng)力敏感系數(shù)；

wfD無因次裂縫寬度。

式（6）是非線性很強的滲流微分方程，為了求解該模型，首先對該方程進(jìn)行線性化處理，利用攝動變換方法

式中：pDLaplace 空間無因次壓力，無因次；

mD攝動變換中間變量，無因次；

式（6）經(jīng)過攝動變換并取其零階解，得到線性化的滲流微分方程和邊界條件如下

對式（8）所示的壓裂裂縫方程進(jìn)行積分并結(jié)合內(nèi)外邊界條件，得到考慮儲層滲透率應(yīng)力敏感影響的裂縫滲流微分方程解為

式中：

fDm0攝動變換之后第m條壓裂裂縫在Laplace 空間零階無因次壓力；

whD0攝動變換之后不考慮井儲和表皮Laplace 空間零階無因次井底壓力；

β—積分變量，無因次。

式（9）中等式左邊第二項為考慮儲層滲透率應(yīng)力敏感影響儲層壓力解，經(jīng)過攝動變換并取其零階解儲層井底壓力解可以用式（5）代替。

式（9）右邊為Fredholm 積分方程，直接求解較為困難，因此，將每條水力裂縫離散為N段，每段內(nèi)流量均勻分布。

根據(jù)壓降疊加原理，頁巖油藏多段壓裂水平井?dāng)?shù)學(xué)模型離散式為

式中：xmDm,n第m條壓裂裂縫第n個網(wǎng)格中點無因次x坐標(biāo)；

xDm,n?第m條壓裂裂縫第n個網(wǎng)格端點無因次坐標(biāo)；

ΔxDm?第m條壓裂裂縫網(wǎng)格步長；

M—裂縫條數(shù)；

N—裂縫離散段數(shù)。

式（10）中，如果yDk=ywDm，可根據(jù)Ozkan 等[22]的研究結(jié)果計算貝塞爾函數(shù)積分；如果yDk≠ywDm，可通過辛普森數(shù)值積分計算貝塞爾函數(shù)積分。

式（10）組成了M×N的線性方程組，但有M×N+1 個未知數(shù)，未知數(shù)大于方程數(shù)，此時方程組存在多解，需要補充方程才能獲得定解。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，M×N個裂縫離散單元總的流量等于壓裂水平井生產(chǎn)的總流量，因此，有

根據(jù)杜哈美原理，得到考慮井儲和表皮影響的頁巖油藏多段壓裂水平井井底壓力

CD無因次井儲系數(shù)；

S表皮系數(shù)，無因次。

根據(jù)攝動逆變換，得到考慮滲透率應(yīng)力敏感影響的多段壓裂水平井井底無因次壓力

3 特征曲線與影響因素分析

利用Stehfest[24]數(shù)值反演，可得到考慮應(yīng)力敏感影響的變裂縫導(dǎo)流能力多段壓裂水平井井底壓力響應(yīng)特征曲線。圖2 為頁巖油藏多段壓裂水平井變裂縫導(dǎo)流能力井底壓力響應(yīng)曲線。

圖2 頁巖油藏多段壓裂水平井井底壓力響應(yīng)特征曲線Fig.2 Pressure response curve of the MFHWs for shale reservoirs

計算該特征曲線的基本參數(shù)為：無因次井儲系數(shù)為5×10?6，表皮系數(shù)為0.01，裂縫條數(shù)為4，每條壓裂裂縫靠近井筒無因次裂縫導(dǎo)流能力都為20，壓裂裂縫長度都為40 m，參考長度為40 m，水平井長度為2 000 m，竄流系數(shù)為10?5，彈性儲容比為0.1，無因次應(yīng)力敏感系數(shù)為0.1，裂縫導(dǎo)流能力對數(shù)變化規(guī)律系數(shù)為1.0，儲層天然裂縫滲透率為0.064 mD，儲層厚度為10 m，原始地層壓力為50 MPa，儲層孔隙度為10%。在上述參數(shù)條件下，每條壓裂裂縫平均無因次裂縫導(dǎo)流能力為12.5，為了變裂縫導(dǎo)流能力和定裂縫導(dǎo)流進(jìn)行對比，定裂縫導(dǎo)流能力取變裂縫導(dǎo)流能力的平均值（12.5）。

根據(jù)壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，頁巖油藏多段壓裂水平井變裂縫導(dǎo)流能力井底壓力響應(yīng)曲線可分為8 個流動階段：第I 階段為斜率為1 的純井儲階段；第II階段為壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈“駝峰”的表皮效應(yīng)階段；第III 階段為斜率為1/4 的雙線性流階段；第IV 階段為斜率為1/2 的線性流階段；第V 階段為圍繞裂縫的擬徑向流階段，導(dǎo)數(shù)曲線呈值為0.5/M的水平線，當(dāng)裂縫間距比較小時，該階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征不明顯；第VI 階段呈斜率為1/2 的中期線性流階段；第VII 階段為竄流階段，對于擬穩(wěn)態(tài)竄流，竄流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈“凹子”特征；對于非穩(wěn)態(tài)竄流，竄流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈平緩狀變化；第VIII 階段為系統(tǒng)擬徑向流階段，考慮儲層滲透率應(yīng)力敏感影響時，該階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線不再是0.5 的水平線，而是呈上翹的曲線，儲層應(yīng)力敏感的影響也有可能影響早期徑向流之后的每個階段；如果每條壓裂裂縫變裂縫導(dǎo)流能力的平均值等于定裂縫導(dǎo)流能力，變裂縫導(dǎo)流能力情況下早期階段壓力曲線值越高，這是因為：當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力沿裂縫方向變化時，裂縫末端裂縫導(dǎo)流能力低，流體流入井筒所消耗的壓力高，早期階段壓力曲線值高。

圖3 為應(yīng)力敏感效應(yīng)對頁巖油藏多段壓裂水平井試井曲線的影響。

圖3 無因次應(yīng)力敏感系數(shù)對頁巖油藏多段壓裂水平井試井曲線的影響Fig.3 Pressure response curve influenced by dimensionless stress sensitivity coefficient

無因次應(yīng)力敏感系數(shù)主要影響中后期壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)，無因次應(yīng)力敏感系數(shù)越大，說明開采過程中儲層滲透率降低得越快，流體流動越困難，流體從儲層流入井筒所消耗的壓力就越大，中后期壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹幅度越大。

圖4 為裂縫導(dǎo)流能力分布對頁巖油藏多段壓裂水平井試井曲線的影響。為了分析裂縫導(dǎo)流能力分布方式對特征曲線的影響，本次分析沿井筒方向3種裂縫導(dǎo)流能力總和相等、不同分布對試井曲線的影響：（1）中高外低（依次為20，30，30，20）；（2）中低外高（依次為30，20，20，30）；（3）左高右低（依次為30，25，20，15）。當(dāng)沿井筒壓裂裂縫導(dǎo)流能力兩端高，中部低時，早期雙線性流和線性流階段無因次壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線最低（圖4a）。圖4b 中，隨著時間的推移，裂縫流量從相等開始發(fā)生變化，在后期，井筒兩端裂縫流量高于井筒中部裂縫流量，這主要是因為在多段壓裂水平井生產(chǎn)過程中，井筒兩端裂縫的泄油面積大，井筒兩端裂縫流量高于井筒中間裂縫流量。這也很好地解釋了不同裂縫導(dǎo)流能力分布下的壓力曲線變化規(guī)律。在實際壓裂過程中，當(dāng)井筒兩端裂縫導(dǎo)流能力高于井筒中部裂縫導(dǎo)流能力時，在同等條件下更有助于提高單井產(chǎn)量。

圖4 裂縫導(dǎo)流能力對頁巖油藏多段壓裂水平井試井曲線和裂縫流量的影響Fig.4 Pressure response curve influenced by initial dimensionless fracture conductivity and rate distribution

圖5 竄流系數(shù)對頁巖油藏多段壓裂水平井試井影響曲線。竄流系數(shù)反映基質(zhì)向天然裂縫竄流的能力，竄流系數(shù)的變化只影響竄流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線“凹子”出現(xiàn)的時間早晚，不影響“凹子”的寬度和深度；竄流系數(shù)越大，竄流發(fā)生的時間越早，“凹子”出現(xiàn)的時間就越早。

圖5 竄流系數(shù)對頁巖油藏多段壓裂水平井試井影響曲線Fig.5 Pressure response curve influenced at different inter-porosity flow coefficient

圖6 為裂縫彈性儲容比對頁巖油藏多段壓裂水平井試井的影響曲線。彈性儲容比越小，天然裂縫中原油儲集量越小，說明基質(zhì)孔隙相對發(fā)育而天然裂縫發(fā)育較差，在基質(zhì)向裂縫發(fā)生竄流前，天然裂縫供給能力越弱，生產(chǎn)壓差越大，當(dāng)基質(zhì)向裂縫發(fā)生竄流時，需要較長的時間才能使基質(zhì)巖塊的壓力與裂縫的壓力同步下降，竄流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線“凹子”就越深越寬。

圖6 彈性儲容比對頁巖油藏多段壓裂水平井試井的影響曲線Fig.6 Pressure response curve influenced at different storativity ratio

圖7 為裂縫導(dǎo)流能力變化系數(shù)對頁巖油藏多段壓裂水平井試井曲線的影響。

裂縫導(dǎo)流能力變化系數(shù)越大，裂縫導(dǎo)流能力沿裂縫方向遞減越快，如圖7a 所示。因此，裂縫導(dǎo)流能力變化系數(shù)越大，壓裂裂縫末端裂縫導(dǎo)流能力越低，裂縫平均導(dǎo)流能力越低，儲層中的流體流入井筒所消耗的壓差就越大，早中期階段無因次壓力值越大（圖7b）。

圖8 為裂縫條數(shù)和導(dǎo)流能力對頁巖油藏多段壓裂水平井試井的影響曲線。

圖7 裂縫導(dǎo)流能力變化系數(shù)對頁巖油藏多段壓裂水平井試井的影響曲線Fig.7 Pressure response curve influenced by conductivity change coefficient and hydraulic fracture numbers

圖8 裂縫條數(shù)對頁巖油藏多段壓裂水平井試井的影響曲線Fig.8 Pressure response curve influenced at different hydraulic fracture numbers

圖8 中，假定所有裂縫導(dǎo)流能力相等且不隨裂縫方向發(fā)生變化。裂縫條數(shù)對試井曲線的影響主要在早中期，在水平井長度一定的情況下，裂縫條數(shù)越多，縫間距越小，早期圍繞裂縫的擬徑向流特征越不明顯；在產(chǎn)量一定的條件下，裂縫條數(shù)越多，流體流入井筒所需要的生產(chǎn)壓差就越小，早中期階段無因次壓力及導(dǎo)數(shù)曲線值越小。

4 結(jié)論

（1）頁巖油藏多段壓裂水平井試井特征曲線可劃分為8 個流動階段：純井儲階段、表皮效應(yīng)階段、雙線性流階段、早期線性流階段、早期擬徑向流階段、中期線性流、竄流階段和晚期擬徑向流階段。

（2）所有無因次裂縫導(dǎo)流能力之和相等時，當(dāng)井筒兩端裂縫導(dǎo)流能力高于井筒中部裂縫導(dǎo)流能力時，在同等條件下更有助于提高單井產(chǎn)量。無因次裂縫導(dǎo)流能力沿裂縫方向變化梯度越大，早中期階段無因次壓力值越大，生產(chǎn)壓差越大。

（3）無因次滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)越大，無因次壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹幅度越大。

（4）竄流系數(shù)越大，竄流“凹子”開始的時間越早；彈性儲容比越小，竄流“凹子”越深越寬。