江蘇省昆山市教師發(fā)展中心 (215300) 戈 峰江蘇省昆山市柏廬高級(jí)中學(xué) (215300) 何曉勤

在數(shù)列綜合問題中，經(jīng)常會(huì)遇到不定方程的整數(shù)解問題，此類問題往往會(huì)涉及函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)論等知識(shí)，精彩紛呈，解法靈活多樣.因此，探討求解此類問題的常用策略很有必要.所謂不定方程的整數(shù)解問題是指方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，且未知數(shù)的解為整數(shù)的問題.筆者下面通過舉例，談?wù)勄蠼鈹?shù)列存在性問題中不定方程整數(shù)解的常用策略，供大家參考.

1.整除分析法

利用數(shù)列項(xiàng)數(shù)為正整數(shù)這一特性，可將不定方程中的某個(gè)變?cè)闷渌冊(cè)鷶?shù)表示，并分離常數(shù)(整數(shù))，再利用整除的性質(zhì)分析方程的整數(shù)解.

例1 設(shè)數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=2，anbn+bn=(n+1)bn+1.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

解析：(1)在anbn+bn=(n+1)bn+1中，令n=1，得a1=3，所以an=3+2(n-1)=2n+1.將an=2n+1代入anbn+bn=(n+1)bn+1，得bn+1=2bn，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即bn=2n-1.

2.奇偶分析法

對(duì)于某些不定方程，可從不定方程等式兩邊的符號(hào)和奇偶性角度分析，尋求矛盾來(lái)否定存在性，或構(gòu)造等量關(guān)系來(lái)肯定存在性.

例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2an-1(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*)，且b1=1.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正整數(shù)m,n，使b1,am,bn(n>1)成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的m,n；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)假設(shè)存在正整數(shù)m,n(n>1)，使b1,am,bn成等差數(shù)列，則b1+bn=2am，即1+n2=2m.若n為偶數(shù)，則1+n2為奇數(shù)，而2m為偶數(shù)，上式不成立.若n為奇數(shù)，設(shè)n=2k-1(k∈N*)，則1+n2=1+(2k-1)2=4k2-4k+2=2m，于是2k2-2k+1=2m-1，即2(k2-k)+1=2m-1.當(dāng)m=1時(shí)，k=1，此時(shí)n=2k-1=1與n>1矛盾；當(dāng)m≥2時(shí)，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，顯然不成立.

綜上所述，滿足條件的正整數(shù)m,n不存在.

總結(jié)：本題破解的關(guān)鍵是運(yùn)用奇偶分析法研究方程1+n2=2m的正整數(shù)解的情況.在正整數(shù)中，奇數(shù)與偶數(shù)不等是基本矛盾之一，通?？梢杂脕?lái)說明不定方程的整數(shù)解不存在.

3.因式分解法

若不定方程可化為一邊是兩個(gè)(或多個(gè))因式的乘積，另一邊是一個(gè)整數(shù)的形式，則可因式分解后分析不定方程的整數(shù)解的情況．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在大于2的正整數(shù)m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300?若存在,求出所有符合條件的m、k；若不存在,請(qǐng)說明理由.

(2)存在大于2的正整數(shù)m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300.

總結(jié)：本題求解的關(guān)鍵在于因式分解得到am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1)及300=22×3×52，再結(jié)合奇偶性和整除性處理.處理此類問題時(shí)，往往需要對(duì)分解所得的因式的大小、奇偶、正負(fù)等進(jìn)行討論，以減小運(yùn)算量.

4 不等關(guān)系轉(zhuǎn)化法

若不定方程中涉及的多個(gè)變量有范圍或大小關(guān)系時(shí)，可通過不等關(guān)系的轉(zhuǎn)化將其中一個(gè)變量的范圍縮小，從而求出這個(gè)變量的整數(shù)解，再進(jìn)一步求出其他變量的整數(shù)解.

例4 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a5=12,S4=16.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

故存在m=2,k=12滿足題意．

總結(jié)：在多變量中，往往需要緊扣多個(gè)變量之間的大小關(guān)系(比如本題中的k>m)以及變量自身內(nèi)含的范圍(比如本題中的m是大于1的正整數(shù))，其中一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的取值范圍起著決定性作用.當(dāng)不定方程的整數(shù)解較難確定時(shí)，可利用不等式前后夾逼的方法得到整數(shù)解.

5.單調(diào)性分析法

數(shù)列是特殊的函數(shù)，可利用其單調(diào)性來(lái)研究不定方程的正整數(shù)解問題.求解時(shí)，常將不定方程兩邊都看作一個(gè)以某變量為主的數(shù)列(或函數(shù))，再分別研究這兩個(gè)數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性.

例5 已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且對(duì)任意n∈N*，an+1-an=2(bn+1-bn)恒成立.

(1)若An=n2，b1=2，求Bn；

總結(jié)：研究數(shù)列的單調(diào)性主要有作差法(即利用定義)或者構(gòu)造函數(shù)(注意需要將定義域擴(kuò)充為連續(xù)區(qū)間)，利用函數(shù)的性質(zhì)或?qū)?shù)法處理.一般地，單調(diào)數(shù)列可確定數(shù)列的范圍，進(jìn)而可確定方程是否有解.

6 基本不等式法

對(duì)于某些不定方程，可借助基本不等式導(dǎo)出矛盾，從而說明其正整數(shù)解不存在.

例6 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3(an-1)(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解析：(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3(an-1)(n∈N*)，所以當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=3(an-1-1)，兩式相減得2an=3an-3an-1，即an=3an-1(n≥2)，又n=1時(shí)，2S1=3(a1-1)，解得a1=3≠0，所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而an=3n.

7.有(無(wú))理數(shù)定義法

若不定方程中涉及無(wú)理數(shù)，應(yīng)考慮利用無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的定義處理.

以上僅列舉了求解數(shù)列問題中不定方程整數(shù)解的七種常用策略，對(duì)于具體問題還需具體分析，靈活處理，做到以不變應(yīng)萬(wàn)變.