強曉斌 盧海舟?

1) (南方科技大學物理系, 深圳量子科學與工程研究院, 深圳 518055)

2) (深圳市量子科學與工程重點實驗室, 深圳 518055)

1 引 言

拓撲半金屬的導帶和價帶在節(jié)點(節(jié)線)處接觸[1,2], 節(jié)點處低能激發(fā)的準粒子(外爾/狄拉克費米子)具有線性的能帶色散關系, 非常類似于三維(3D)的石墨烯模型.大量的理論[3?13] 和實驗觀測[14?25]均給出了相關材料存在的證據(jù).

拓撲物態(tài)由于具有獨特的能帶結構和表面態(tài)行為導致了許多新穎的輸運現(xiàn)象[26?68].本文基于在Front.Phys.發(fā)表的兩篇論文[69,70], 以拓撲半金屬為主回顧了有關拓撲物態(tài)中量子輸運的最新工作[71?87], 相關的綜述文章也可以參考[88?93].依據(jù)磁場強度的大小本文的結構安排如下: 第2 節(jié), 介紹用于描述外爾、狄拉克、節(jié)線半金屬及拓撲絕緣體的相關模型; 第3 節(jié), 介紹非線性霍爾效應的最新進展, 并給出半導體-超導體納米線中馬約拉納振蕩的理論描述; 第4 節(jié), 總結拓撲半金屬和拓撲絕緣體中的弱局域化和弱反局域化理論; 第5 節(jié),給出貝里曲率與負磁阻之間的關系, 介紹平面霍爾效應的最新工作; 第6 節(jié), 討論拓撲半金屬中量子振蕩的相移規(guī)則, 給出兩種實現(xiàn)3D 量子霍爾效應的新機制; 第7 節(jié), 總結量子極限下的輸運理論,包括背散射禁止導致的電阻下降, 外爾費米子的湮滅, 外爾半金屬中的不飽和磁化現(xiàn)象, 以及反常熱電行為; 第8 節(jié)給出評論和展望.

2 有效模型

2.1 外爾半金屬

外爾半金屬的最小模型為[94]

其中 σx,y,z是泡利矩陣, k =(kx,ky,kz) 是波矢, A ,M , kw是模型參數(shù).兩個能帶在 (0,0,±kw) 處相交(圖1).

在兩個節(jié)點 (0,0,±kw) 附近, H 約化為兩個獨立的局部模型

圖1 拓撲半金屬的能帶結構和貝里曲率 (a)拓撲半金屬的能譜示意圖, (kx,ky,kz) 為 波矢, ; (b)貝里曲率矢量場, 拓撲半金屬的導帶和價帶在外爾點處接觸,且在該處存在一對單極子.轉載自文獻 [56]Fig.1.The band structure and Berry curvature of the topological semimetal: (a) The energy spectrum of a topological semimetal, (kx,ky,kz) is the wave vector, (b) the vector field of the Berry curvature.The conduction and valence bands of a topological semimetal touch at the Weyl nodes, and there is a pair of monopoles.Reproduced with permission from Ref.[56].

貝里曲率[95]? (k)=?k×A(k) 可以給出體系的拓撲性質, 其中 A (k)=i〈u(k)|?k|u(k)〉 為貝里聯(lián)絡.對于外爾半金屬的+能帶|u(k)〉=[cos(Θ/2),sin(Θ/2)eiφ]T(其中 cos Θ ≡Mk/E+, tan φ ≡ky/kx).對單個外爾點做曲面積分, 結果表明在 ± kw處產(chǎn)生了符號相反的拓撲荷 ? sgn(M) , 對應動量空間中的一對“磁單極子”.

在離散情況下, 陳數(shù)定義為在任意可定向閉曲面上正方格子的貝里曲率通量之和[96].這里取具有輪胎面拓撲結構的連續(xù)參數(shù)空間, 原因是某些物理參數(shù)空間實際上確實具有這種拓撲結構, 且對應的陳數(shù)具有物理意義.對于2D 晶格的布里淵區(qū),其中晶格動量 (kx,ky) , (kx+2π,ky) 及(kx,ky+2π)是等價的.自然地, 連續(xù)情況下對貝里曲率通量的求和被整個參數(shù)空間 P 上對貝里曲率的面積分所代替

由于其可以解釋為離散陳數(shù)的連續(xù)極限, 所以(3)式具有和離散陳數(shù)相同的性質, 即連續(xù)陳數(shù)是一個規(guī)范不變的整數(shù).

對于外爾半金屬, 若給定 kz, 陳數(shù)可以表征kx-ky平面上的拓撲性質[97],

當 ? kw＜kz＜kw時, 陳數(shù) nc(kz)=?sgn(M) , 否則nc(kz)=0[4].根據(jù)體邊對應關系, 非零陳數(shù)對應于與 kz相關的一組邊界態(tài)(費米弧)[4].

為了得到費米弧表面態(tài)的解, 在 y =0 處應用開放邊界條件, 得到表面態(tài)的色散[76,94]

對應的波函數(shù)[98,99]

外爾半金屬的單節(jié)點有效模型為

其中得到貝里聯(lián)絡為 A =(0,0,cos2(θ/2)/(k sin θ)).由此得到貝里曲率為, 求得單極子荷 N =?1.在另一個手性相反的外爾點處, 有效哈密頓量 H =?vk·σ , 單極子荷為1.因此, 對于雙節(jié)點模型總單極子荷為零[26].

在 z 方向的磁場中, 外爾半金屬的能譜被量子化為一組沿 kz色散的一維(1D)朗道能帶(圖2(a)).考慮沿 z 方向施加磁場 B =(0,0,B) , 選擇朗道規(guī)范 A =(?yB,0,0).得到本征能量為[74,100?102]

2.2 狄拉克半金屬

對于狄拉克半金屬, 由于時間反演和反演對稱性的保護, 狄拉克點是多重簡并的[8].其模型可以用方程(1)中的 H (k) 及其時間反演 H?(?k) 描述[60,61,103?105], 其中星號表示復共軛.一個簡單的模型如下[76]:

其中狄拉克矩陣為 αx=σx?σx, αy=σx?σy,β =σz?σ0, σ0是 2 ×2 的單位矩陣.方向的表面態(tài)由兩個具有相反自旋和相反有效速度的分支組成.通過幺正變換將模型寫成對角形式

狄拉克點是四重簡并的[94], 對于特定的 kz兩個狄拉克點之間存在拓撲不變量, 根據(jù)體邊對應關系,每個陳數(shù)對應一個邊界態(tài), 兩個節(jié)點之間存在關于kz的一組邊界態(tài).這些邊界態(tài)的色散構成了在費米面附近連接狄拉克點的費米弧, 這是拓撲狄拉克半金屬的關鍵特征之一.

2.3 雙外爾半金屬

外爾半金屬中的每個外爾點都具有1 或–1 的單極子荷.在雙外爾半金屬中, 單極子荷為2 或–2[6,106,107].對于外爾半金屬或雙外爾半金屬的單一能谷, 最小模型為

其中 k±=kx±iky, χ =±1 是能谷指標, k 為外爾點處的動量.N =1,2 分別對應單和雙外爾半金屬.色散關系為在能谷 χ =+1 處導帶的本征態(tài)為

其中 cos θ ≡vzkz/Ek, tan φ ≡ky/kx.通過在包圍外爾點的任意費米球 Σ 上對貝里曲率積分得到單極子荷

等式右邊 ± 對應 ± 能谷.

圖2 在沿 z 方向的磁場 B 下, 外爾和狄拉克半金屬的最小模型中沿 kz 色散的朗道能帶.轉載自文獻[74]Fig.2.The Landau energy bands along the kz dispersion in the minimum model of Weyl and Dirac semimetals under the magnetic field B along the z direction.Reproduced with permission from Ref.[74].

2.4 拓撲節(jié)線半金屬

節(jié)線半金屬[108?111]的導帶和價帶在動量空間交叉形成一個閉合環(huán)[112?115], 并形成類似鼓形的表面態(tài)[116,117].當對稱性破缺時, 節(jié)線半金屬可能變?yōu)榈依税虢饘? 拓撲絕緣體或表面陳絕緣體[118].理論預測了不少存在這種奇異拓撲性質的材料[119?139], 部分已被實驗觀測所證實[140?146].

節(jié)線半金屬可以用一個雙能帶有效模型來描述[147],

其 中 k =(kx,ky,kz) 是波矢, τx,y對應于雙帶贗自旋空間的泡利矩陣, 兩個帶在以及kz=0 時相交.如果費米能滿足通過變量代換kx=(k0+κ cos φ)cosθ,ky=(k0+κcosφ)×sinθ, kz=κsinφ/α (其中 v0=2λk0, α=v/v0, v 和v0分別為沿著 z 方向和x-y 平面內的有效速度), 哈密頓量(15)式可以線性化為更為簡單的形式:

對于更一般的四帶模型, 節(jié)線半金屬的哈密頓量可以進一步寫為[124,143]

其中 λ , m , 和 u 是模型參數(shù)[124,143].哈密頓量的本征值為當 u 為正時, 兩個能帶在零能處相交, 其半徑為時(對應于載流子密度較低的情況[140,141]), 費米面形成一個輪胎面, 當 EF＞u 時,費米面演化成鼓狀結構.模型(17)式具有鏡面反射對稱性[124,143], 除此之外, 節(jié)線也可由其他對稱性保護[110,113,121,123,140,141,148].

2.5 拓撲絕緣體

3D 拓撲絕緣體可以用 k·p 哈密頓量來描述[94,149,150]:

對于本征磁性拓撲絕緣體, 例如MnBi2Te3,具有面外反鐵磁序, 需要額外引入[156]

其中 m0是層內反鐵磁序的強度, d 是MnBi2Te3樣品7 元層的厚度, τ0是 2 ×2 的單位矩陣, 這一模型可以解析求解, 為理解其他的本征磁性拓撲物態(tài)提供理論基礎.

3 零磁場

3.1 非線性霍爾效應

霍爾效應由于本質上與對稱和拓撲的深刻聯(lián)系[95,157]已然成為凝聚態(tài)物理的基本研究范式.所有已知的可測霍爾效應都需要磁場或磁性摻雜來破缺時間反演對稱性[157?159].最近, 通過測量霍爾電導的零頻或倍頻分量對低頻驅動電場的響應(圖3)發(fā)現(xiàn)了一種新的霍爾效應[160], 即非線性霍爾效應, 其特別之處在于不需要破缺時間反演對稱性, 而是破缺反演對稱性.這一新現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)為探索新奇物態(tài)的對稱性和拓撲性質開辟了新的途徑.在文獻[82]中, 我們研究了非線性霍爾效應和二維(2D)系統(tǒng)能帶特征之間的關系.由于非線性霍爾響應與貝里偶極子相關[160], 通過分析傾斜有質量狄拉克費米子的一般模型, 我們發(fā)現(xiàn)傾斜能帶在反交叉和能帶反轉附近存在非常強的貝里偶極子,可以給出明顯的非線性霍爾信號.

圖3 測量非線性霍爾效應的示意圖.轉載自文獻[82]Fig.3.Schematic of how to measure the nonlinear Hall effect.Reproduced with permission from Ref.[82].

其中 e 為電子電量, τ 為動量弛豫時間, 在一般實驗條件下 ω τ ?1 可忽略.貝里偶極子定義為

其中 ε abc 為全反對稱張量, a ,b,c,d ∈{x,y,z} , feq為費米分布函數(shù),為貝里曲率.注意在時間反演下以及,即(21)式在時間反演對稱的體系中不為0.

由(21)式知, 為了給出不為0 的貝里偶極子,需要各向異性的能帶結構, 通過在2D 有質量狄拉克模型[94]中引入傾斜項來實現(xiàn)這一點,

其 中 (kx,ky) 為波矢, σx,y,z為泡利矩陣, η =±1 ,m是能隙, t 使狄拉克錐沿 x 方向傾斜即破缺了反演對稱性.如果沒有傾斜(t =0), 貝里曲率將對稱地集中在能帶邊緣, 因此沒有貝里偶極子.當?shù)依隋F傾斜時, 貝里曲率不再對稱分布, 貝里偶極子隨著傾斜的增加而增加, 并在狄拉克錐完全傾斜(t ＞v) 的 臨界點 (t=v) 附近達到最大值.利用這一模型我們計算了雙層 WTe2中的非線性霍爾響應[82], 給出的結果與最近實驗[161,162]中的非線性霍爾響應及其角度依賴性高度一致, 這將啟發(fā)更多關于非線性霍爾效應的相關實驗和理論.

除了由傾斜能帶引起的貝里偶極子導致的本征非線性霍爾效應以外, 無序在其中也起著極其重要的作用.在文獻[83]中我們系統(tǒng)地計算了由無序導致的非線性霍爾效應, 并給出了霍爾電導的表達式.不同于一般的線性霍爾效應, 由于非線性霍爾效應的機制需要費米能量切過能帶, 主要的物理發(fā)生在費米面上, 這就導致即使在領頭階無序也扮演著非常重要的角色.更重要的是, 我們提出了非線性霍爾效應的標度律, 這有助于識別不同機制的貢獻, 解釋未來實驗中溫度和厚度的依賴性.需要指出的是, 無序是如何以一種特定的形式對非線性霍爾信號做出貢獻的, 目前尚不清楚, 這也是未來研究的重點.

3.2 馬約拉納振蕩

在半導體-超導體納米線中的馬約拉納零能模[163?168]總是成對出現(xiàn), 并位于納米線的兩端.由于在真實納米線中的有限尺度效應, 馬約拉納束縛態(tài)的能量是雜化的.雜化能量 E0因為是塞曼能量、化學勢以及納米線線長的函數(shù)而出現(xiàn)振蕩[169?171],稱為馬約拉納振蕩.然而實驗中觀察到 E0作為磁場的函數(shù)[172?177]其振蕩與理論預測的截然相反[170].

我們通過假設沿納米線的自旋軌道耦合具有階梯狀分布[84](圖4(a))解釋了實驗中的振蕩模式[172?177](圖4(b)—圖(d)).這種自旋軌道耦合的階梯狀分布的假設是合理的, 因為柵極施加的是非均勻的靜電勢, 而自旋軌道耦合又取決于垂直于納米線的靜電場[178?180].此外, 由于超導體和半導體之間的屏蔽效應以及功函數(shù)的失配, 超導體的存在可以極大地改變納米線中的靜電場[181].因此, 納米線從覆蓋有超導體的部分到?jīng)]有超導體的部分(隧道勢壘區(qū)), 自旋軌道耦合的非均勻性是很好的理論假設, 但這一點被大多數(shù)理論所忽略, 導致了對馬約拉納振蕩的理論理解困難.

圖4 (a)半導體-超導體納米線結構示意圖[172?177], 兩端可能存在一對馬約拉納束縛態(tài); (b)?(d)雜化能隨著磁場變化的振蕩曲線.紅色和黑色曲線為實驗數(shù)據(jù)[172], 藍色為理論曲線.轉載自文獻[84]Fig.4.(a) Schematic of the semiconductor-superconductor nanowire structure[172?177], its two ends may host a pair of Majorana bound states; (b)?(d) oscillation curves of hybridization energy vary with magnetic field.The red and black curves are experimental data adapted from Ref.[172].The blue curves are the theoritical results.Reproduced with permission from Ref.[84].

為了驗證其中的物理圖像, 使用階梯狀自旋軌道耦合進行計算.納米線的哈密頓量為

參照GB-T14452-93標準A型試樣，將釬焊后試樣線切割為長約34 mm、寬5±0.25 mm、高5±0.25 mm的條狀小試樣進行三點彎曲試驗，測定釬焊接頭的抗彎強度。

其中 A ,α0,xL/R,λL/R為描述自旋軌道耦合隨空間分布變化的參數(shù).在實際實驗中, 當改變柵極電壓時, 參數(shù)會相互影響[181?183], 超導體的存在也會引起參數(shù)的變化[184,185].通過對角化晶格上的 H , 得到能譜和波函數(shù), 其中最低的能量即束縛態(tài)雜化能量為 E0.

圖4(b)—圖4(d)中的藍色曲線分別給出了使用三組模型參數(shù)的數(shù)值結果.數(shù)值結果與實驗保持了很高的一致性, 不僅在衰減振幅方面, 而且還包括最低能量交叉(圖4(b)和圖4(c))、反交叉(圖4(d))以及磁場中振蕩周期的增加(圖4(c)).注意到我們的結果是一般性的, 不依賴于具體的參數(shù).

文獻[84]進一步分析了這種階梯狀的自旋軌道耦合也能導致安德列夫束縛態(tài)光譜的衰減振蕩.對于由馬約拉納束縛態(tài)影響的庫侖阻塞[186?190], 預測峰間距通過 π /2 的相移與峰高相關聯(lián), 這在最近的實驗中是不明確的, 但依然可以用階梯狀自旋軌道耦合來解釋.期望這一結果將激發(fā)更多的工作來重新檢驗這種通常存在于真實實驗裝置中的非均勻自旋軌道耦合效應.

4 近零磁場

4.1 外爾半金屬中的弱(反)局域化

弱(反)局域化是存在于無序金屬[191]中由量子干涉導致的輸運現(xiàn)象.如果量子干涉的修正為正, 即產(chǎn)生弱反局域化現(xiàn)象, 如果為負則產(chǎn)生弱局域化現(xiàn)象.無論是弱局域化還是弱反局域化本質上均取決于體系的對稱性(表1).外爾費米子單一能谷的低能描述為, 只具有時間反演對稱性.拓撲半金屬中已廣泛觀察到弱反局域化現(xiàn)象[41?43,46,55,56,60,61].這一節(jié)介紹處理這一問題的基本方法[73]和主要結論, 最近的相關研究[192,193]利用相似的方法系統(tǒng)地研究了更一般的3D 狄拉克材料中的弱(反)局域化行為, 給出了與實驗非常符合的理論結果.

表1 對稱類(正交、辛和幺正)[194]與弱局域化(WL)和弱反局域化(WAL)之間的關系[195].轉載自文獻 [88]Table 1.The relation between the symmetry classes (orthogonal, symplectic and unitary) [194] and weak localization (WL) and anti-localization (WAL) [195].Reproduced with permission from Ref.[88].

圖5 總結了用于研究量子干涉和相互作用引起的弱局域化和反局域化的費曼圖[73].在計算中,對電導率有貢獻的主要有三項, 包括半經(jīng)典的電導率(圖5(a))、量子干涉修正(圖5(b))以及電子-電子相互作用修正(圖5(c)).

圖5 在無序(虛線)和電子-電子相互作用(波浪線)下,計算3D 外爾半金屬電導率的費曼圖[71,72,191,196?199], 有向直線代表格林函數(shù).轉載自文獻 [73]Fig.5.In the disorder (dashed lines) and electron-electron interaction (wavy lines), the Feynman diagram[71,72,191,196?199]of the conductivity of 3D Weyl semimetal, and the directed line represents the Green"s function.Reproduced with permission from Ref [73].

圖6 不同條件下的磁導 δ σqi(B) 對參數(shù)的依賴關系 (a) η I =η?=0 時不同的相干長度 l? ; (b) η ?=0 時不同的 ηI ; (c)有限η? 時不同的 ηI ; (d) ηI 和 η? 之間的差異, 其中 ηI 與能谷間散射相關, 而 η? 與能谷內散射相關.虛線表示兩個散射過程的相關性,ν =±是能谷指標.轉載自文獻[73]Fig.6.The dependence of magnetoconductivity δ σqi(B) on parameters under different conditions: (a) Different coherence length l? at η I =η?=0 ; (b) different ηI at η ?=0 ; (c) different ηI at finite η? ; (d) the difference between ηI and η? , where ηI is correlated with intervalley scattering and η? is correlated with intravalley scattering.The dashed lines indicate the correlation between the two scattering processes.ν =± is the valley index.Reproduced with permission from Ref.[73].

圖6 給出了理論計算得到的主要結果.可以看出, 在沒有能谷間散射的情況下, 對于較大的 l?(相位相干長度), 磁導 δ σqi(B) 為負且與成正比, 顯示了3D 外爾費米子的弱反局域化特征.這種的相關性與實驗非常符合[41,42].隨著 l?變短,從到 ? B2的變化是很明顯的, 最終 δqi(B) 在l?和平均自由程 le相等時消失, 因為該系統(tǒng)不再處于量子干涉狀態(tài)而進入半經(jīng)典擴散狀態(tài).

4.2 雙外爾半金屬中的弱局域化

對于單一能谷連接費米球上從 k 到 ? k 的背散射中間態(tài)的每條路徑(在圖7(a)中標記為 P), 均在原點處包含了單極子荷, 并且存在一個對應的時間反演 P′.量子干涉是由兩個時間反演路徑 P 和P′之間的相位差決定的, 該相位差為沿 P 和≡?P′形成的環(huán)路累積的貝里相位[95,196,200?202], 即從?k 到 k 的對應路徑:

值得注意的是, 該貝里相位僅取決于單極子荷, 而不是特定的環(huán)路形狀[75]對于雙外爾半金屬, 單極子荷 N =2 , 貝里相位為 2π.在 2π 的貝里相位下,時間反演散射態(tài)之間產(chǎn)生相長干涉, 從而導致弱局域化效應.但是, 對于單外爾半金屬, 單極子荷為N =1 且貝里相位為 π , 導致弱反局域化效應.這里對貝里相位的分析與前文提到的對稱性分類得到的結果是一致的[203].由于貝里相位是單極子荷產(chǎn)生的貝里曲率場的直接結果, 因此我們在弱(反)局域化效應與單極子荷 N 的奇偶性之間建立了直接的聯(lián)系.

通過計算最大交叉圖得到對雙外爾半金屬電導率的修正.最大交叉圖的核心計算可以表達為粒子-粒子關聯(lián), 稱為Cooperon, 對雙外爾半金屬其為[75]

其中 q =k1+k2k1k2是Cooperon 波矢, 和分別為初態(tài)和末態(tài)的波矢, φ1和 φ2為相應波矢的方位角, D1=8τEFv///(3π) 和是擴散系數(shù),NF是態(tài)密度, τ 是動量弛豫時間.

圖7 3D 拓撲半金屬動量空間中的費米球, 其中位于原點的點表示單極子荷 N (a) P 表示從波矢 k 到標記為(k1,k2,··· ,kn)的中間態(tài)的背散射, P ′ 表示 P 的時間反演;(b) P 和 P ′ 之間的相位差等效于在環(huán)路 周圍累計的貝里相位.轉載自文獻 [75]Fig.7.The Fermi sphere in 3D topological semimetal momentum space, where the dot at the origin represents monopole charge N : (a) P is the backscattering from the wave vector k to ? k via intermediate states labeled as (k1,k2,··· ,kn), P ′ represents the time-reversal of P ; (b) the phase difference between P and P ′ is equivalent to the Berry phase accumulated around loop .Reproduced with permission from Ref.[75].

當 q →0 , 即 k1=?k2時, Cooperon 發(fā)散, 成為背散射的最主要貢獻.在此極限下, φ2=φ1+π (其中k cos θ , 并通過設置 φ →φ+π 和 θ →π?θ 得到 ? k):

注意(27)式前的正號, 其對應于弱局域化效應, 即產(chǎn)生正的磁導, 這是雙外爾半金屬弱局域化的另一個特征.在低溫極限下 l??lB?lz, 磁導(B)∝, 在極限 lB?l?以及 lB?lz時,

根據(jù)文獻[73,75]的理論結果, 我們提出了一個公式來擬合3D 弱(反)局域化引起的磁導:

存在相互作用的情況下, 對于外爾費米子的一個能谷, 電導率隨溫度的變化可以概括為

其中 cee和 cqi都是正的參數(shù).(29)式描述了由相互作用引起的弱局域化和由干涉引起的弱反局域化之間的競爭(圖8).臨界溫度 Tc=(cee/p·cqi)2/(p?1)因為 ceecqi＞0 , 這意味著只要 p ＞1 , 總有一個臨界溫度低于這個溫度, 電導率就會隨著溫度的降低而下降.對于3D 中已知的退相干機制, p 總是大于1[191].通過一組典型參數(shù)的擬合, 發(fā)現(xiàn) Tc≈0.4— 1 06K[73].

圖8 電導率 Δ σ 隨溫度 T 變化的示意圖.選擇 c ee =cqi ,Tc是電導率隨溫度降低而下降的臨界溫度.轉載自文獻 [73]Fig.8.The schematic diagram of conductivity Δ σ changes with temperature T.We choose c ee =cqi , Tc is the critical temperature at which the conductivity drops with temperature.Reproduced with permission from Ref.[73].

能谷間的散射和關聯(lián)也會導致弱局域化, 如圖6(b)所示, 隨著 ηI的增加, 負的 δ σqi被抑制.此外, 圖6(c)顯示, 當 ηI+η?=3/2 時, 磁導可以變?yōu)檎? 即局域化趨勢.因此, 強的能谷間散射和關聯(lián)的結合將增強無序外爾半金屬的局域化傾向并可能導致金屬-絕緣體相變[39].

4.3 節(jié)線半金屬中的弱(反)局域化

模型(15)具有兩個基本的對稱性[147], 即=H(?k) 和=H(?δk) , 其中T1=K , T2=iτyK 為時間反演, k 是復共軛算符,δk=κ(cos φ,sin φ/α).由表1 可知, T1和 T2分別對應于正交和辛對稱類, 分別導致弱局域化和弱反局域化(圖9(b)—圖9(c)).簡單起見, 考慮低能激發(fā)即 EF相對較小, 費米面的主半徑滿足k0?1/rsc?κ , rsc為散射勢的范圍.此時不同的散射態(tài)k之間可以用一個單一的參數(shù) θ 來描述, 即uk=u(θ)=u0fΔ(θ) , 其中 fΔ(x)=Θ(x+Δ)Θ(?x+Δ) ,Θ(x) 為階躍函數(shù).當 Δ =π 時為短程散射極限,Δ →0時為長程散射極限.

與第4.1 節(jié)類似, 在文獻[147]中我們利用費曼圖方法計算了電導率的量子干涉修正, 計算中主要包括了三個領頭階的圖[195,196].對于零溫電導率,總的量子修正為

圖9 (a)節(jié)線半金屬的輪胎狀費米面, 小半徑 κ , 主半徑k0, 極向角 φ , 環(huán)面角 θ ; (b)對于短程雜質勢導致在環(huán)形方向上產(chǎn)生從 k 到 ? k 的相干背散射; (c)在長程雜質勢作用下, 沿極向的 δ k 到 ? δk 的散射, 此過程積累一個大小為π的貝里相位.轉載自文獻[147]Fig.9.(a) Torus-shaped Fermi surface of nodal-line semimetals, with minor radius κ , major radius k0 , poloidal angle φ, and toroidal angle θ ; (b) a coherent backscattering from wave vector k to ? k around the toroidal direction for shortranged impurity potentials; (c) backscattering from wave vector δ k to ? δk along the poloidal direction under long-ranged impurity potentials.The process contributs a π Berry phase.Reproduced with permission from Ref.[147].

其中 s =2 為自旋簡并度, ηz=2 是對速 度的 頂點修正.推遲(R)和超前(A)格林函數(shù)利用一階波恩近似求解得到, 即是彈性散射的弛豫時間, 其中=是最大交叉圖的Cooperon[204].在短程散射極限下 Δ =π , 最主要的散射路徑為(k1,k2,··· ,kn) 及其時間反演(?kn,··· ,?k2,?k1)(圖9(b)), 需要指出的是, 這些路徑?jīng)]有包圍節(jié)線,即不會積累貝里相位.直流極限下(ω →0)[147]

長程極限時 Δ →0 , 量子干涉修正主要由路徑(δk1,δk2,··· ,δkn) 和 (?δkn,··· ,?δk2,?δk1) 所貢獻(圖9(c)), 此路徑由于包圍節(jié)線會積累一個大小為π的貝里相位.類似地可以得到[147]

引入磁場后, 退相干機制抑制了無序誘導的電導率量子修正[204].在短程極限下得到磁導率為

類似地在長程極限下

其中 Ψ (x) 為雙伽馬函數(shù).圖10 給出了(33)式和(34)式對磁導率的理論預測.短程極限下弱局域化效應導致正的磁導(圖10(a)), 而在長程極限下的弱反局域化效應導致了負的磁導(圖10(b)).實驗中可以通過對溫度的調節(jié)來控制相位相干長度l?的大小以匹配不同的曲線, 在低溫及 B ～0.1 —1.0 T時, 由于 l?～100 nm—1 μm, lB～10 nm, 即 l??lB.通常, 與3D 擴散相比, 2D 擴散會導致更大的弱局域化或弱反局域化效應.此外, 節(jié)線半金屬的3D 擴散行為可以視為大量的2D 有效子系統(tǒng), 導致磁導率的顯著提高[205].實際上, 在圖10 中可以觀察到,大3 個數(shù)量級, 這表明弱反局域化效應在節(jié)線半金屬的長程散射極限下是個非常強的特征.

圖10 不同相位相干長度 l? 下的磁導率, 短程極限(a)和長程極限(b)分別對應(33)式和(34)式.轉載自文獻[147]Fig.10.The magnetoconductivity in the (a) short range limit Eq.(33) and (b) long range limit Eq.(34) for different phase coherence lengths l?.Reproduced with permission from Ref.[147].

4.4 拓撲絕緣體中的弱(反)局域化

基于費曼圖方法我們計算了拓撲絕緣體磁摻雜表面態(tài)的磁導[71], 磁摻雜的引入以兩種方式影響了體系的性質, 首先磁性雜質導致的平均場在狄拉克點處打開能隙, 其次平均場的局部漲落以隨機方式散射表面態(tài)電子.經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn), 除了無能隙狄拉克費米子產(chǎn)生的弱反局域化效應, 能隙的打開導致了額外的弱局域化項, 隨著能隙的進一步增加將使體系展現(xiàn)出完全的弱局域化.

零溫磁導公式為

其中Ψ是雙伽馬函數(shù),

對非磁性摻雜的拓撲絕緣體的電子輸運實驗展現(xiàn)出非常大的矛盾[206?209], 磁導率隨磁場的增加而下降, 即展現(xiàn)出反局域化的行為(圖11(a)紅色曲線).然而, 當溫度降低時, 測得的電導率呈對數(shù)下降, 顯示出普通無序金屬中弱局域化的典型特征(圖11(b)藍色曲線).為了引入溫度的效應, 我們考慮電子-電子相互作用對電導率的修正[72]:

圖11 (a)磁導率 δ σ ≡σ(B)?σ(0) 與磁場 B 的關系; (b) 電導率 σ 與溫度 T 的關系.轉載自文獻[72]Fig.11.The magnetoconductivity δ σ ≡σ(B)?σ(0) ;(b) conductivity σ vs temperature T.Reproduced with permission from Ref.[72].

ε0是真空介電常數(shù), εr是考慮晶格離子和價電子影響的相對介電常數(shù),.電導率公式是溫度T和磁場 B 的函數(shù), 并且依賴于狄拉克模型參數(shù)Δ/(2EF) 和 γ , 以及與樣品相關的參數(shù) le,l?,F.(38)式明確闡明了由相互作用主導的電導率的溫度依賴性, 而磁導率主要由量子干涉貢獻, 解決了拓撲絕緣體輸運實驗上的矛盾.

5 弱磁場

5.1 拓撲半金屬中的負磁阻和平面霍爾效應

在拓撲半金屬中非平庸的貝里曲率可以將外部磁場與電子速度耦合, 產(chǎn)生隨著磁場的增加而增長的額外導電性[28,29].由于它與成對外爾點之間的手征電荷轉移相關, 負磁阻也被認為是手征反常的一個特征[26,210,211].許多拓撲半金屬材料中都觀察到了負磁阻現(xiàn)象[41?43,46,55?57,60,61,63,66,68].除了在縱向磁場下產(chǎn)生隨磁場增大的手征電流以外, 最近的理論發(fā)現(xiàn), 外爾半金屬中可以存在平面霍爾效應[212,213], 即磁場平行于電場時橫向有電荷積累即產(chǎn)生霍爾電導率 σyx.不同于經(jīng)典的霍爾效應, 平面霍爾效應不是由洛倫茲力導致的, 因此吸引了很多理論和實驗的關注[214?216].文獻[217]研究了普通外爾半金屬和傾斜外爾半金屬中的平面霍爾效應, 相比于前者, 傾斜外爾半金屬的縱向電導率σxx和霍爾電導率 σyx均給出了不同的磁場 B 依賴關系.

我們從電子的半經(jīng)典運動方程開始[95,218?220]:

其中 Dk=1+(e/?)B·?k是對相空間體積的修正項, 包含 ? 的各項分別導致了反常霍爾效應[221?223]、手征磁效應[36]、以及負磁阻[28,29].

由于電導率是流-流關聯(lián)(圖5(a)), 速度與B的線性相關性導致電導率的 B2相關性.在2.1 節(jié),已經(jīng)證明貝里曲率與 1 /k2成正比.考慮到電導率公式的3D 積分中存在 ?2以及 k2, 則反常電導率部分應與費米波矢成反比, 與 B2成正比, 即

(41)式與文獻[28,29]中得到的公式是一致的.電導率隨著 B2的增加而增加, 產(chǎn)生負磁阻.由于非平庸的貝里曲率在外爾點處發(fā)散, 電導率隨費米波矢和載流子密度的減小而增大.3D 時, 載流子密度n與成正比, 即

因此, 為了驗證非平庸貝里曲率的負磁阻特性, 有必要對三個性質進行檢驗, 即角度依賴性、B2的磁場依賴性以及 n?2/3的載流子密度依賴性.在實驗[61]中, 通過比較不同樣品的結果檢驗了磁阻對載流子密度的依賴性.

在半經(jīng)典區(qū)域, 電流密度矢量為[95]

括號內第一項表示電場 E 沿著 v 的分量引起的載流子分布偏離, 第二項表示手征化學勢導致的偏離.

對于由最小有效模型(7)描述的外爾半金屬,由于手征化學勢的影響, 電子通過電場和磁場的共同作用從一個外爾錐轉移到另一個手性相反的錐.如(44)式所示, 偏離平衡分布的這部分與 B ·E 成正比, 即當 B 和 E 不垂直時, 與磁場的大小成正比.在沒有傾斜的情況下, 外爾錐在空間上是均勻的,并且速度 v 的大小在費米面上沒有變化, 因此 v 在單個外爾錐的貢獻為零.而且由于電子分布的偏離, 與磁場 B 成正比的反常速度項 (?k·v)B 對兩個外爾錐的影響不能相互抵消.手征化學勢和反常速度的共同作用導致了 B2依賴的電流密度矢量(43)式, 其縱向分量導致了磁場平方依賴的縱向磁導率 σxx, 即手征反常.它的橫向分量產(chǎn)生了磁場平方依賴的霍爾電導率 σyx, 即平面霍爾效應.

對于傾斜的外爾半金屬, 其中一個外爾點上的最小有效模型可以寫為[217]

其中參數(shù) t 為描述傾斜程度的矢量, 當|t|＜v 時該模型描述Ⅰ型外爾半金屬, 以下討論主要基于此類體系.

引入傾斜項后兩個具有相反手性的外爾錐沿著相反的方向發(fā)生傾斜.假設 E 沿著傾斜的方向,(44)式括號中第一項顯示了由電場 E 導致的分布偏離.因此, 兩個外爾錐中占據(jù)態(tài)的反常速度的貢獻不會抵消.但這一項不依賴于磁場 B , 只有反常速度項 (?k·v)B 線性依賴于磁場 B , 由此導致的縱向和橫向電流分別產(chǎn)生了線性依賴于磁場的σxx和 σyx.考慮到(44)式括號中第二項手征化學勢的影響后, 不同于普通外爾半金屬, 此時 v 的大小在費米面上是變化的, 即 v 在單個外爾錐上的貢獻不會相互抵消.只要 B 和 E 不垂直, 則手征化學勢導致的載流子分布偏離正比于磁場的大小.導致除了由反常速度引起的2 次依賴于磁場的項外進一步產(chǎn)生了線性依賴于磁場的 σxx和 σyx.

文獻[217]進一步分析了磁場的角度和相空間體積的修正對電子輸運的影響, 并指出該半經(jīng)典理論可以推廣到Ⅱ型外爾半金屬, 為未來可能的實驗驗證提供指導.

5.2 拓撲絕緣體中的負磁阻

拓撲半金屬中的手征反常[26,210,211]被廣泛認為是產(chǎn)生負磁阻的原因[41?43,46,55,56,60,61,63,65,66,68,224].然而, 在無法定義手征的拓撲絕緣體中, 也可以觀察到負磁阻現(xiàn)象, 這導致了對負磁阻進行理論解釋的巨大混亂[152?155,225?228].在文獻[80]中, 我們使用具有貝里曲率和軌道磁矩修正后的半經(jīng)典玻爾茲曼方程來解釋拓撲絕緣體中的負磁阻, 并與實驗結果進行了定量的比較(圖12).

實驗中, 負磁阻存在于 T =100 K[154]的溫度以上, 因此可以排除量子干涉機制.此外, 由于拓撲絕緣體Bi2Te3和Bi2Se3[229]的遷移率較差, 當磁場達到6 T 時, 朗道能級不能很好地形成.半經(jīng)典運動方程(39)的速度項為

圖12 理論計算的負磁阻與實驗[152?154]的比較.轉載自文獻[80]Fig.12.The comparison between the theoretical negative magnetoresistance and the experiments[152?154].Reproduced with permission from Ref.[80].

在玻爾茲曼理論中, 縱向電導率 σμμ由穿過費米能級的所有能帶決定, 對于能帶 n[223],

其中 feq是平衡態(tài)的費米分布, 弛豫時間 τ 假定為常數(shù)[29].

圖12 表明了負磁阻的實驗和數(shù)值計算結果之間的一致性.在實驗[152]中, 溫度為1.8 K, 因此原始數(shù)據(jù)在零場附近具有正磁阻, 這是由弱反局域化導致的[206,208,230?233].在實驗[153,154]中負磁阻隨溫度變化不大這與理論保持一致, 顯示了負磁阻的半經(jīng)典性質.在大多數(shù)使用半經(jīng)典輸運理論研究磁阻的文獻中, 軌道磁矩均被忽略[28,223].如文獻[234,235],軌道磁矩對于外爾半金屬中磁阻的各向異性是必不可少的.文獻[80]表明, m ·B 對 ε (k) 的修正可以有效地增加負磁阻.

其他的一些工作工作[236,237]發(fā)展了一般3D 非磁性金屬的具有二階精度的半經(jīng)典理論.這些工作給出了幾個令人驚訝的結果.首先, 由于 δ σint/σ0與弛豫時間無關, 存在本征磁導 δ σint.第二, 顯著的δσint項可能導致對科勒規(guī)則的偏離.第三, δ σint可能導致正的縱向磁導.在僅占據(jù)最低朗道能帶的量子極限下, 磁阻微妙地依賴于散射機制[74,76,238], 而不是貝里曲率和軌道磁矩.最近的理論工作[227,239]為理解負磁阻提供了新的觀點.值得注意的是文獻[240]利用格林函數(shù)方法系統(tǒng)地計算了有質量狄拉克費米子在磁場下的輸運行為, 該理論給出了負的且正比于 B2的縱向磁阻, 這一結論有望澄清長久以來對拓撲物態(tài)中負磁阻解釋的困難.

6 強磁場

6.1 外爾和狄拉克半金屬中的量子振蕩

由2.1 節(jié)可知, 在 z 方向的磁場中能譜演化為一系列1D 的朗道能帶[74,76](圖2), 這導致了電阻的SdH 振蕩.一般用栗弗席茲-科塞維奇(Lifshitz–Kosevich)公式[241]來描述:

式中, ? 為相移, F 為振蕩頻率, B 為磁場大小.每個頻率分量的相移為 ? 1/2+?B/2π+?3D, 其中?3D=?1/8 為僅針對3D 的修正, ?B為貝里相位[95,242].費米面沿磁場方向的曲率決定了 ?3D的符號[243,244].拓撲物態(tài)為探索非平庸貝里相位提供了一個新的平臺[50?52,54,67,245?255].拓撲半金屬中具有額外大小為 π 的貝里相位[122,242], 因此在2D 和3D 體系中相移分別為 0[256]和 ± 1/8[257].在文獻[77]中, 我們發(fā)現(xiàn)在栗弗席茲點附近, 量子振蕩的相移可以超過一般的 ± 1/8 或 ± 5/8 , 并且非單調地向更寬范圍 ± 7/8 和 ± 9/8 之間移動.到目前為止, 在HfSiS[258?264], ZrSi(Se/Te)[265]和ZrGe(S/Se/Te)[266]中對量子振蕩都進行了實驗研究, 但它們的相移并不相同.表2 總結了具有線性和拋物線色散的 2 維和 3 維能帶的相移.

表2 對于具有不同色散和維度的系統(tǒng), (48)式中的相移 ?.B z 和 B // 是節(jié)線平面內外的磁場.α , β , γ , δ 對應于圖14 中費米面的截面.轉載自文獻[79]Table 2.For systems with different dispersion and dimensions, the phase shift φ in Eq.(48).B z and B // are magnetic fields outside and inside the nodal-line plane.α , β ,γ , and δ correspond to the cross sections of Fermi surface in Fig.14.Reproduced with permission from Ref.[79].

實驗中, 在 B 軸上的峰值位置或谷值位置給出整數(shù)朗道指數(shù) n , 進而從 n 和 1 /B 的圖中得到相移和頻率 F.盡管如此, 對于是峰值[50?52,66,67,246,257]還是谷值[54,248,251,267]應該被賦予朗道指數(shù)尚不明晰.我們的計算結果表明, 在朗道能帶邊緣出現(xiàn)了與整數(shù)朗道指數(shù)對應的電阻率 ρzz和 ρxx的峰值.利用線性響應理論[268?271]估算電阻率分量[272,273].對于縱向情況, 電阻率 ρzz= 1 /σzz.在帶邊附近, 電導率 σzz呈現(xiàn)谷值, 因此 ρzz呈現(xiàn)峰值.對于橫向情況,, 縱向電導率和場致霍爾電導率分別為

式中 δ ?1 為振蕩部分, σ0為零場電導率.通過詳細分析[74,269,274]可知, 峰的位置遵循關系式ρzz～, 因 此 ρzz和 ρxx在朗道能帶邊緣出現(xiàn)的峰及其相移是相同的.

由圖13 可見, 數(shù)值結果與理論分析預測高度一致.定義 EA=Akw和對于隨著拍頻模式的出現(xiàn), ? -EF曲線開始出現(xiàn)斷裂.在圖13(c)中, 對于 EA＜EM相移降到 ? 5/8 以下, 而不是在栗弗席茲點周圍從–1/8 單調地移到–5/8(即EF=EM), 這是因為沒有簡單的依賴關系[77].在栗弗席茲點, 可以解析地證明相移為 ? 9/8 , 這與圖13(c)中的相移一致.它相當于 ? 1/8 , 通常認為它起源于大小為 π 的貝里相位.

由(11)式描述的狄拉克半金屬具有時間反演對稱性[105,275]].對于狄拉克半金屬, 總相移可以取兩個值, α ∈[0,1/4] 和 [3/4,1] 時為 ? 1/8 , α ∈[1/4,3/4] 為 ? 5/8.在栗弗席茲點附近, 總相移可能在兩個值之間變化.

一般情況下電子載流子應該產(chǎn)生負相移, 空穴載流子應該產(chǎn)生正相移[257].然而, 在狄拉克半金屬Cd3As2的實驗中, 電子載流子的相移為正值[50,51,54].一種可能的解釋是, 對于實驗中的相移1/8—3/8,由于 2π 的周期性它們的實際值應為–7/8—–5/8.表3 列出了相移實驗值的對應項.在文獻[77]中,除了軌道量子干涉[276]、塞曼劈裂[52,247,277]和費米面嵌套[51]等機制, 我們還證明了由于能帶反轉而出現(xiàn)的拍頻模式.

表3 從Cd3As2 的實驗中得到的相移 ? exp.轉載自文獻[77]Table 3.The phase shift ? exp obtained from the experiment of Cd3As2.Reproduced with permission from Ref.[77].

6.2 節(jié)線半金屬中的量子振蕩

對于節(jié)線半金屬無論是面內還是面外, 輪胎狀費米面都具有最大截面和最小截面.其次, 貝里相位沿與節(jié)線平行的圓為0, 沿包圍節(jié)線的圓為 π.根據(jù)昂薩格關系得到, 其中 A 是費米面上垂直于磁場的極值截面面積.當節(jié)線平面垂直于磁場, 即磁場取 Bz時, kz=0 平面上有兩個極值截面(圖14(b)).通過理論分析發(fā)現(xiàn), 外圓的高頻項為, 內圓的低頻項為Fβ=m(u?EF)/(?e).這兩個頻率可能導致拍頻模式的出現(xiàn)[278].在文獻[79]中, 通過分析電阻率的計算結果得到了節(jié)線半金屬的相移和頻率.需要指出的是, 當保護節(jié)線的對稱性破缺時, 出現(xiàn)大小為Δ的能隙將導帶和價帶分開, 此時貝里相位為表4 進一步總結了隨機情況下相移的一般規(guī)則, 這些一般的規(guī)則可以幫助分析一些其他的材料, 例如ZrSiS 和Cu3PdN[259?264].

圖13 對于(1)式描述的外爾半金屬, 數(shù)值(散點)和解析(實線)得到的頻率 F 的曲線 (a)固定 M 對應不同的 A ; (b)固定A對應不同的 M.(c)固定 E M 不同的 E A 對應的相移 ? 的曲線.曲線斷裂是因為在拍頻模式出現(xiàn)時, F 和 ? 無法擬合.垂直虛線表示栗弗席茲點.轉載自文獻[77]Fig.13.For the Weyl semimetal described in Eq.(1), the frequency F obtained by numerical (scatters) and analytical (solid curves): (a) Fixed M corresponds to different A ; (b) fixed A corresponds to different M.(c) Fixed E M , for different E A corresponds to the curve of phase shift ?.The curve breaks because F and ? can not fit when beating patterns occur.The vertical dashed lines represents the Lifshitz point.Reproduced with permission from Ref.[77].

對于節(jié)線半金屬, 大多數(shù)量子振蕩實驗都是針對ZrSiS 族材料[258?266], 其中費米能處既有電子型也有空穴型口袋[140,141,259,264].文獻[79]進一步分析了Cu3PdN[120,121]的相移.

圖14 (a) (17)式中節(jié)線半金屬的節(jié)線(虛線環(huán)), 輪胎狀和鼓形費米面, E F 是費米能, u 是模型參數(shù); (b)輪胎狀費米面在節(jié)線平面內的最大(α)和最小(β)截面; (c)輪胎狀費米面在節(jié)線平面外的最大(γ)和最小(δ)截面.轉載自文獻[79]Fig.14.(a) In the model of nodal-line semimetal Eq.(17),the nodal line (dashed ring), torus and drum Fermi surface,EF is Fermi energy, u is model parameter; (b) the maximum(α) and minimum (β) cross sections of the torus Fermi surface; (c) the maximum (γ) and minimum (δ) cross sections of the Fermi surface outside the nodal-line plane.Reproduced with permission from Ref.[79].

表4 節(jié)線半金屬的相移 ?.α ,β,γ,δ 是圖14 中的極值截面.轉載自文獻[79]Table 4.The phase shift ? of the nodal-line semimetal.α ,β,γ,δ are the extremal cross sections in Fig.14.Reproduced with permission from Ref.[79].

6.3 3D 量子霍爾效應

2D 量子霍爾效應的發(fā)現(xiàn)打開了拓撲物態(tài)領域的大門[157,279].在3D 電子氣中, 由于沿磁場方向的波矢 k 是好量子數(shù), 量子霍爾效應通常只能在2D系統(tǒng)中觀察到[157,256,280?282].在文獻[78,283]中, 我們描述了拓撲半金屬中的3D 量子霍爾效應.拓撲半金屬在平行于外爾點方向的表面處有拓撲保護的表面態(tài), 即費米弧[284,285?288](圖15(a)和圖15(b)).

圖15 (a)外爾半金屬中的費米弧和體態(tài)的色散, k // 表示 (kx,ky) ; (b)在 k z-kx 平面上 y =L/2 , E F =Ew 處的費米弧; (c)寬度為 W , 厚度為 L 的外爾半金屬板; (d)在EF = 處的費米弧(實線); 波函數(shù)在 處沿 y 軸的分布; (h) 3D 量子霍爾效應中的朗道能級和邊緣態(tài);(i)單一表面的電子無法被y 方向的磁場 B 驅動完成一個完整的回旋運動.轉載自文獻[78,283]Fig.15.(a) The energy dispersions of the Fermi arc and bulk states in a Weyl semimetal, k // stands for (kx,ky) ;(b) the Fermi arc at y =L/2 and E F =Ew in the kz-kx plane; (c) a Weyl semimetal slab with width W and thickness L; (d) Fermi arc (solid) at the distribution of wave function along y -axis at k z =0 ; (h) the Landau levels and edge states in the 3D quantum Hall effect; (i) an electron in single surface could not be driven in a y-direction magnetic field B to perform a complete cyclotron motion.Reproduced with permission from Refs.[78,283].

單一表面上, 費米弧無法形成一個閉合的費米環(huán), 而這一點對量子霍爾效應至關重要.然而, 在外爾半金屬中, 來自相反表面的費米弧(圖15(c))可以形成所需的閉合費米環(huán)(圖15(d)).電子通過外爾點在相對表面的費米弧之間實現(xiàn)隧穿(圖15(e)—圖15(g)), 通過這一機制電子可以完成完整的回旋運動, 從而實現(xiàn)3D 量子霍爾效應.在實際材料中,隧穿距離受平均自由程的限制, 在高遷移率的拓撲半金屬[60,103]中, 平均自由程大約為 1 00 nm , 在一些材料中甚至可以達到 1 μm[289], 在我們的計算中塊體厚度為100 nm.為使量子霍爾效應僅來自費米弧的貢獻需將費米能級調到外爾點上來耗盡體態(tài)載流子[290].外爾半金屬TaAs 家族[291?295]和狄拉克半金屬Cd3As2和Na3Bi 具有量子霍爾效應所要求的極高遷移率[46,48,50,51,54]、低載流子密度[224]等特性.通過費米弧的3D 量子霍爾效應預計可以存在于Cd3As2[224,296?298], Na3Bi 以及TaAs家族的材料中[61,290].

根據(jù)久保(Kubo)公式, 我們計算了霍爾電導[78,299?303].當費米能遠離外爾點時, 霍爾電導服從通常的 1 /B 依賴關系.當費米能向外爾點移動時, 開始出現(xiàn)的量子化平臺.

從圖15(c)可見, 費米弧的邊界態(tài)具有獨特的3D 空間分布.具體而言, 上邊界態(tài)向左傳播(綠色箭頭), 下邊界態(tài)向右傳播(橙色箭頭).這種費米弧邊緣態(tài)的獨特3D 分布可以通過掃描隧道顯微鏡[304]或微波阻抗顯微鏡[305]來探測.與拓撲絕緣體[281,282]不同, 基于費米弧的量子霍爾效應需要兩個表面的共同作用.最近的工作[306]系統(tǒng)地探討了外爾半金屬中3D 量子霍爾效應的邊緣態(tài)圖像.外爾半金屬中不同手性外爾點處的速度相反, 強磁場使體態(tài)進入手征朗道能帶, 這一點顯著地影響了邊緣態(tài)的載流子輸運.除了上下表面的費米弧通過隧穿形成一個閉環(huán)[78]外, 在磁場作用下拓撲半金屬中還觀察到其他奇異的量子霍爾現(xiàn)象[296,307,308].在垂直磁場 B 中, 基于半經(jīng)典運動方程從理論上給出了邊緣態(tài)的閉合3D 軌道.在 x 方向, 由于手征朗道能帶的影響, 上(下)表面費米弧態(tài)的半圓軌道形成跳躍邊緣態(tài).在 z 方向, 手征朗道能帶和側面的費米弧態(tài)共同構成閉合軌道.此外, 由于手征朗道能帶沿磁場方向色散, 邊緣態(tài)的量子通道可以由傾斜的磁場控制, 導致邊緣態(tài)的分布和霍爾電導的行為發(fā)生了顯著的變化.當調整 Bz并保持 By不變時, 邊緣態(tài)的位置會從一側變化到另一側, 霍爾電導也隨之改變符號.文獻[306]利用數(shù)值方法進一步分析了局域態(tài)密度分布, 以及霍爾電導隨磁場大小和方向的變化.

3D 量子霍爾效應也可以由電荷密度波(CDW)機制[309]實現(xiàn), 最近在ZrTe5[310]的實驗中觀察到了這一機制, 并看到了清晰的量子化平臺.在文獻[87]中我們詳細地探討了這一機制, 并給出了一個完備的理論可以解釋實驗的主要特征.我們發(fā)現(xiàn)電荷密度波可以在1D 的朗道能帶上產(chǎn)生, 而且強烈依賴于磁場的大小.磁場誘導了3D 電子氣向電荷密度波相的二階相變, 導致朗道能帶打開一個能隙從而使體態(tài)絕緣, 即3D 電子氣變?yōu)橐幌盗械?D 量子霍爾態(tài), 從而實現(xiàn)3D 量子霍爾效應（圖16）.

通過沿 z 方向的電子-電子或電子-聲子相互作用, 可使 kF和 ? kF附近的電子之間產(chǎn)生耦合從而打開電荷密度波能隙(由序參量 Δ 描述).電子-電子相互作用為[311,312]

圖16 左圖: 2D 電子氣在磁場中形成量子霍爾態(tài).中間圖: 3D 時朗道能級變?yōu)橐幌盗?D 的朗道能帶.右圖:電荷密度波使朗道能帶打開能隙, 使體態(tài)絕緣, 可以觀察到3D 量子霍爾效應.轉載自文獻[87]Fig.16.Left: the quantum Hall state in 2D electron gas under magnetic field.Center: in 3D, the Landau levels turn to one dimensional Landau bands.Right: the charge density wave gap the Landau band, so that the bulk is insulating and the 3D quantum Hall effect can be observed.Reproduced with permission from Ref.[87].

在實驗中, 霍爾電阻率的平臺覆蓋了1.7—2.1 T 的較寬范圍, 以 (e2/h) 為單位的霍爾電導率由電荷密度波的層數(shù)決定.電荷密度波波長 λcdw與費米波長相關:

在1.7—2.1 T 之間觀察到的 ρxx平臺意味著存在公度的電荷密度波, 即電荷密度波波長與晶格常數(shù)a的整數(shù)倍相稱.通過比較公度和非公度的電荷密度波在2.1 T 附近的基態(tài)能量, 發(fā)現(xiàn)對于公度和非公度的電荷密度波在磁場分別在 [1.7,2.1] T 以及[2.1,3.0] T 的區(qū)間時具有較低的能量, 因此在兩種電荷密度波之間存在交叉.在 B ∈[1.7,2.1] T 范圍內固定的 λcdw表示費米能不變, 即系統(tǒng)屬于巨正則系綜載流子的數(shù)量可以改變.相比之下, 非公度電荷密度波中的載流子數(shù)量不能改變.因此, 電子能量的變化導致 B ∈[1.7,2.1] T 范圍內公度的電荷密度波基態(tài)能量降低.進一步將磁場增加到2.1 T 以上, 磁場將把費米能推得更低(最終到達帶底), 進一步說明由磁場誘導的電荷密度波存在從公度到非公度的交叉.

7 極強磁場

7.1 量子極限下的負磁阻

選擇隨機高斯勢來探討量子極限下無序散射對磁阻的影響

式中, ui表示隨機分布雜質在 Ri處的散射強度, d是確定散射勢范圍的參數(shù).雜質勢范圍 d 和磁長度lB定義了兩個區(qū)域, 長程勢區(qū)域 d ?lB和短程勢極限 d ?lB.在強磁場極限下, 如果 B ＞10 T, 磁長度 lB小于 1 0 nm.

通過考慮散射時間對磁場的依賴性, 我們發(fā)現(xiàn)在強場極限(B →∞)下, 即對于第0 個朗道能帶,費米面上的態(tài)間散射的弛豫時間為得到強場極限下的電導率

當磁場為零時, 磁長度發(fā)散, d /lB→0 , 給出最小電導率[76]

注意外爾點處態(tài)密度在零磁場時趨于0, 類似的結果在沒有朗道能級的情況下也曾被發(fā)現(xiàn)過[316].通過進一步的計算得到磁導[76]

圖17 給出了不同極限下的縱向和橫向磁導.特別地, 圖17(f)中長程勢極限下的 σxx∝1/B.垂直于 x -y 平面的場中, 還存在霍爾電導率σyx=sgn(M)(kw/π)e2/h+en0/B, 其中第一項是反常霍爾電導率, 第二項是經(jīng)典電導率.在弱場中, 經(jīng)典霍爾效應占主導地位, σxx和 σyx都與 1 /B 成 正比,在磁場 B 中電阻是線性的.注意, 這里垂直場中的線性磁阻與以前的機制并不相同[274,317].

7.2 量子極限下的背散射禁止

拓撲絕緣體作為拓撲物態(tài)中最先被關注的體系, 為探索奇異的拓撲物態(tài)[318?325]提供了諸多線索.在強磁場中, 2D 拓撲絕緣體的最低朗道能級相互交叉, 該特征可以作為量子自旋霍爾相的標志[326,327].同樣在2D 情況下, 干涉效應[328]也可以用來探測量子自旋霍爾相.然而在3D 時, 如何利用最低朗道能帶來識別拓撲絕緣體卻很少被討論.在文獻[81]中, 我們研究了3D 拓撲絕緣體在強場量子極限下的磁阻(圖18(b)).在臨界磁場中, 背散射在量子極限下被完全抑制, 這一效應可以用來識別拓撲絕緣體.不過這種禁止的背散射在拓撲半金屬中是不存在的[74,76,238].這一理論與最近的實驗展現(xiàn)出驚人的一致性(圖18(c)和圖18(d)).此外, 這一機制可以很好地應用于那些能隙較小的材料, 例如ZrTe5[329,330]和Ag2Te[331].

在沿 z 方向的強磁場 B 中, 能譜量子化為一系列1D 的朗道能帶(圖18(a)和圖18(b)).最低的兩個朗道能帶分別表示為 0 + 和 0 ? , 其能量為E0±=質量項m=當費米能僅與 0 + 朗道能帶相交, 其本征態(tài)為

圖17 不同的勢范圍下, 外爾半金屬在 方向磁場B 中的縱向電導率 σ zz 和橫向電導率 σ xx.轉載自文獻[76]Fig.17.The longitudinal conductivity σ zz and transverse conductivity σ xx of the Weyl semimetal in the -direction magnetic field B under the different potential ranges.Reproduced with permission from Ref.[76].

圖18 (a) 3D 拓撲絕緣體的零場能譜(k x =ky =0); (b)在強磁場中, 費米能只穿過 0 + 朗道能帶; (c)實驗測得Pb1–xSnxSe 的磁阻[226]; (d)理論計算出的磁阻.轉載自文獻[81]Fig.18.(a) The zero field energy spectrum of 3D topological insulator (k x =ky =0); (b) in a strong magnetic field, fermi energy EF can only crosses the 0 + Landau energy band; (c) the magnetoresistance of Pb1–xSnxSe in experiment[226]; (d) the theoretical calculated magnetoresistance.Reproduced with permission from Ref.[81].

7.3 外爾費米子湮滅

當外界強磁場與外爾費米子耦合時其手性消失并獲得質量, 而這是外爾費米子最明顯的兩個特征, 在這個意義上, 外爾費米子被湮滅.在外爾半金屬TaP 中我們實現(xiàn)了這種磁耦合[64].

2.1 節(jié)給出了沿 z 方向磁場中的朗道能帶.現(xiàn)在把這種情況推廣到垂直于 y 方向B =B(sin ?,0,cos ?) 的 任意場, 其中 ? 是 z 方向和磁場之間的夾角.朗道規(guī)范可選為 A =(?Bzy,0,Bxy) ,在皮爾斯(Pierls)代換下

哈密頓量變?yōu)?/p>

圖19 給出了外爾半金屬的朗道能帶.當磁場沿 z 方向(θ =0)時, 最低的朗道能帶(紅色)穿過費米能(虛線).隨著磁場從 z 方向旋轉到 x 方向(θ =π/2), 最低朗道能帶發(fā)生了移動.當磁場沿x方向時, 朗道能帶的能譜是粒子-空穴對稱的, 并且由于外爾費米子之間的耦合存在一個能隙.這就是為什么在外爾半金屬TaP[64]的強場量子極限下,霍爾電阻出現(xiàn)明顯的符號反轉.由于能隙的存在,外爾費米子獲得質量并失去其手性.由于具有手性和無質量是外爾費米子的兩個主要特征, 因此霍爾信號表明外爾費米子被湮滅.

7.4 外爾半金屬中的不飽和磁化

強磁場中外爾費米子的第0 個朗道帶是純手征的[27,210,211].然而, 量子極限下的的磁阻復雜地依賴于雜質散射的性質, 不能確定地給出準粒子的能譜信息[74,76,77,238].相比之下, 電子的磁響應要簡單得多, 因為它們不會與雜質散射相互作用.事實上,它們僅由電子的熱力學勢 ? 對于磁場 H 的導數(shù)決定, 而且已被證明可以用來探測費米面的性質[241,332,333].在文獻[85]中我們提出了一種在量子極限下利用磁響應探測相對論性準粒子的方法.我們證明外爾半金屬TaAs 的有效橫向磁化強度MT和有效平行磁化強度 M//是超越量子極限的準線性場依賴的, 這些非飽和磁響應明顯不同于非相對論性準粒子.該方法作為一種熱力學探測手段, 可用于識別拓撲材料中的相對論性準粒子.

圖19 外爾半金屬在垂直 y 方向的磁場 B 中的朗道能帶,其中 k // ≡kx sin ?+kz cos ? 為平行于 B 的波矢, tan ?=Bx/Bz.紅色曲線是第0 個朗道能帶, 虛線是費米能.轉載自文獻[70]Fig.19.The Landau energy band of Weyl semimetal in the magnetic field B perpendicular to the y direction, where k// ≡kx sin ?+kz cos ? is the wave vector parallel to B ,tan ?=Bx/Bz.The red curve is the 0 th Landau energy band, and the dashed line represents the Fermi energy.Reproduced with permission from Ref.[70].

磁化強度來自于導帶和價帶的共同貢獻.當磁場增加時, 朗道能帶相繼離開費米面, 在只有最低的朗道能帶被占據(jù)之前 M//在零附近振蕩 MT隨著磁場的增加而下降.在磁場較弱時有很多朗道能帶被占據(jù), 費米能 EF幾乎保持不變, 因此對于固定費米能 EF和固定載流子濃度 Nc兩種情況弱場的計算結果幾乎相同.然而, 當系統(tǒng)進入量子極限時,EF在強磁場中的變化將不再可以忽略.如果 EF固定, 零點能將使 EF之上的第0 個朗道能帶繼續(xù)升高以致超過臨界磁場, 導致 M//和 MT消失.如果Nc固定, 則無論磁場增加多少, EF都將被固定在第0 個朗道能帶的邊緣, 導致 M//出現(xiàn)飽和, MT在一個常值上保持不變.這種強場行為可以歸結為價帶和導帶的貢獻在強場下飽和, 換句話說, 由于非相對論性的能帶色散, M//和 MT在量子極限下是不變的.對于鉍、硫摻雜的Bi2Te3和InSb 這種3D 有能隙的體系, 實驗觀察到了 M//和 MT在量子極限下明顯的飽和行為[333,334].

相比之下, 由于能帶反轉和相對論性能譜, 無能隙的外爾費米子以一種不同的方式對磁化強度產(chǎn)生貢獻.在弱場中, M//和 MT都圍繞一個平均值振蕩.當除了第0 個以外的所有朗道能帶都離開EF時, 兩種手征模式都對磁響應有貢獻, 導致強磁場中不飽和的 M//和 MT.

先前的理論[335?337]只針對不同類型的能帶結構在全磁場范圍內計算了 M//, 這里為任意角度磁場下的 M//, MT建立一個更一般的磁化理論.詳細的計算參考文獻[85], 這里給出強場極限下的主要結論.由方程(2) 描述的單節(jié)點3D 無質量外爾費米子的哈密頓量可以寫為

以前的研究主要集中于弱磁場下的磁化, 如文獻[338]所指出的外爾半金屬的貝里順磁性.此外, 最近對晶格模型的理論計算表明, 軌道對磁化強度大小和符號的貢獻取決于外爾/狄拉克半金屬中費米能的精確值[339].對于模型(59)量子極限下的平行磁化強度為

橫向磁化強度為

圖20 給出了在強磁場中對TaAs 樣品進行測量得到的 M//和 MT.由圖可見實驗數(shù)據(jù)可以很好地用(60)式和(61)式進行擬合.我們對3D 外爾費米子的理論計算再現(xiàn)了弱場中的德哈斯-范阿爾芬(dHvA)振蕩以及量子極限下 M//顯著增強的行為.需要強調的是, 不同于非相對論性電子的飽和磁化, 對于固定 EF和固定 Nc兩種情況 M//和 MT在強磁場中均給出了類似的趨勢.

圖20 實驗與理論的比較 (a) M // (黑線); (b) M T (黑線).轉載自文獻[85]Fig.20.Comparison between experiments and theory for the M // and M T of TaAs: (a) M // (black line); (b) MT(black line).Reproduced with permission from Ref.[85].

7.5 反常熱電效應

熱電效應是對材料拓撲性質更敏感的一種探測手段.非平庸電子的存在導致拓撲材料呈現(xiàn)出反常的熱電行為.在較高的磁場下, 能斯特信號在熱電勢接近零的臨界磁場處出現(xiàn)符號反轉.在強場量子極限下, 熱電勢和能斯特信號都呈現(xiàn)出奇異的峰值.我們認為這些反常行為可以歸因于拓撲材料中第0 個朗道能帶的能隙閉合和能帶反轉[86].

過渡金屬五碲化物(ZrTe5, HfTe5等)作為非常接近拓撲相變臨界的拓撲材料引起了相當大的關注[43?45,340?347].近40 年來, 作為熱電材料的ZrTe5以其巨大的熱電勢而聞名[348].然而, 關于ZrTe5在磁場中的熱電性質卻很少有人研究.在存在垂直磁場和縱向熱梯度的情況下, 載流子的擴散可以產(chǎn)生縱向電場 Ex=?Sxx·|?T|(熱電勢)和橫向電場Ey=Sxy·|?T|(能斯特效應)[349].由于這些熱電效應與電導率的導數(shù)成正比, 它們對異常的載流子輸運尤為敏感, 并已被用于研究各種半金屬和拓撲材料[350?359].

我們詳細探討了ZrTe5在磁場下的熱電效應[86].圖21 給出了熱電勢 ? Sxx的溫度依賴性.高溫時,負的 ? Sxx表明主要載流子是空穴.隨著溫度的降低, ? Sxx在溫度大約為 T?=132 K 時變?yōu)檎? 并且電阻率達到峰值, 表明ZrTe5從 p 型半導體轉變?yōu)?n 型半金屬, 這一點與以前的研究相一致[346,360].由于不同遷移率的電子和空穴載流子的存在, ZrTe5在室溫下表現(xiàn)出巨大的磁熱電勢.其熱電勢在9 T 的磁場中可增加至370 μV/K, 比大多數(shù)材料的熱電勢都大, 但比外爾半金屬的熱電勢要小[361].

圖21 零磁場下ZrTe5 的電阻率 ρ (T) (黑色)和塞貝克系數(shù) - Sxx(T) (藍色)的溫度依賴曲線.插圖:實驗測量示意圖,B 是磁場, ? T 是溫度梯度, a , b 和 c 是晶軸.轉載自文獻[86]Fig.21.Temperature dependence of the electrical resistivity ρ (T) (black) and Seebeck coefficient - Sxx(T) (blue)of ZrTe 5 at zero magnetic field.Inset: the measurement setup.B is the magnetic field and ? T is the temperature gradient.a ,b and c are crystallographic axes.Reproduced with permission from Ref.[86].

在更低溫下, ? Sxx甚至隨著磁場的增加而準線性增長, 直至達到量子極限.這種線性熱電勢成為ZrTe5區(qū)別于其他材料的主要特征[353,354,356,357].在低溫下實驗樣品中的平庸電子和非平庸電子均對熱輸運有貢獻[330,360].為了區(qū)分常規(guī)和反常的能斯特信號, 使用經(jīng)驗公式來擬合弱場數(shù)據(jù)[357]

其中 μ 是載流子遷移率, B0是飽和磁場.和分別表示常規(guī)和反常能斯特信號的幅度.在弱場下, 這種經(jīng)驗表達式可以很好地擬合實驗數(shù)據(jù).根據(jù)我們的分析, 反常的能斯特信號出現(xiàn)在30 K以下, 并且隨著溫度的降低,急劇增加.在最低溫度下, 反常信號和常規(guī)能斯特信號的幅度相當.所有結果表明, 在30 K 以下, 非平庸電子開始主要支配磁熱電勢的特性, 導致了 - Sxx(B) 和Sxy(B)的反常行為.

最近的研究表明, ZrTe5的整數(shù)朗道指數(shù)可以利用電阻率的峰值位置來確定[310,330,347,362].當磁場達到5.2 T 以上時, 所有電子占據(jù)最低朗道能帶,即系統(tǒng)處于量子極限.此時隨著磁場的增加, 狄拉克半金屬或外爾半金屬的熱電勢預期會非飽和地線性增長[363].

為了進一步闡明量子極限下不尋常的熱電響應, 繼續(xù)增加磁場至33 T (圖22(a)), 此時 - Sxx開始增加.相應地, 在系統(tǒng)進入量子極限后, 能斯特信號出現(xiàn)一個峰值.另一個反常特征是能斯特信號Sxy在 B?=14 T 附近符號發(fā)生了反轉, 同時不同溫度下的熱電勢 - Sxx收斂到零.之前, 在外爾半金屬TaP 中觀察到場誘導的 ρyx符號發(fā)生變化, 其中最低朗道能帶在極強磁場下移動到化學勢之上, 電子載流子數(shù)量急劇減少[64].載流子類型的改變可能是導致能斯特或霍爾信號的符號出現(xiàn)反轉的原因.然而, 對于我們的樣品, 低溫下的電荷載流子只是電子[360].此外, 霍爾電阻 ρyx在 B?附近變化平穩(wěn).因此, 載流子類型的變化不可能解釋 Sxy的反常符號反轉.

圖22 (a)不同溫度下對 - Sxx 的強場測量; (b)不同溫度下 對 S xy 的強場測量.臨界場 B ? 附近 S xy 改變符號, -Sxx收斂到零.轉載自文獻[86]Fig.22.(a) High-field measurements of - Sxx at several temperatures; (b) high-field measurements of S xy at several temperatures.Near the critical field B ? , S xy changes its sign and - Sxx converges to zero.Reproduced with permission from Ref.[86].

使用3D 有質量狄拉克模型探討量子極限下反常 - Sxx和 Sxy的潛在機制[44].可以得到第0 個(ν =0)朗道能帶為[86]

其中 s =±1 代表電子和空穴帶, λ =±1 , v 是費米速度, m 是描述 γ 點附近小能隙的狄拉克質量[329].帶 底時

因此, 對于有限質量 m , 第0 個電子和空穴的朗道能帶之間的能隙隨磁場先減小后增大.到達臨界磁場 B?=2m/(gμB) 時體系處于無能隙狀態(tài).相反, 在普通材料中, 第0 個電子和空穴的朗道能帶之間的能隙隨磁場單調增加.由于ZrTe5的狄拉克質量小, g 因子大, 在中強磁場下很容易觀察到這種朗道能隙的閉合.此外, 對于這種低密度系統(tǒng)在強磁場下載流子密度是固定的,

其中 f (x) 是費米-狄拉克分布.由于第0 個朗道能帶能隙閉合, 這個固定的 n 導致費米能級顯著下降到量子極限之外.能斯特信號中的兩項Sxy=ρxxαxy?ρyxαxx有相反的符號,當朗道能帶無能隙時, 它們相互競爭并具有相同的絕對值, 導致 Sxy的符號反轉.當磁場大于 B?后最低朗道能帶的能隙增大, 導致了熱電勢的增長.

其他狄拉克材料也觀察到了類似的行為[226,354].我們對ZrTe5中反常熱電性質的理解為探索拓撲物態(tài)中的新奇物理開辟了一條新途徑.從這個意義上說, 磁熱電研究為我們提供了一個強大、簡單且有效的實驗工具來探索拓撲材料中的奇異行為.

8 評論和展望

量子極限中的大多數(shù)理論都采用玻恩近似, 當磁長度比無序勢的范圍短得多時, 電子可能被同一雜質多次散射.2D 和3D 時玻恩近似可能不再是好的處理手段[317,364,365], 超越玻恩近似將是3D 系統(tǒng)在極強磁場下的一個具有挑戰(zhàn)性的課題.

有關量子振蕩的理論需要進一步完善[366?369],相移規(guī)則能否推廣到Ⅱ型外爾半金屬[367,370,371]以及其他拓撲物態(tài)體系[372,373]將是一個值得探討的問題.

研究幾何相位時, 參數(shù)空間通常是實空間或動量空間[95].但費米弧和外爾點形成的外爾軌道是一種新的物理現(xiàn)象, 幾何相位在實空間和動量空間均有積累.特別是, 當電子在上表面和下表面之間隧穿時, 幾何相位沿路徑的積累具有厚度依賴性[291,374].最近, 一項新的實驗利用這種厚度相關的相移來證明外爾軌道對觀測到的量子化霍爾電阻的貢獻[298], 未來有望會有更多的工作來驗證這些理論.

在量子極限下, 我們的理論表明, 如果體系是3D 強拓撲絕緣體, 則可能出現(xiàn)最多兩次電阻下降[81].令人驚訝的是, 最近的實驗表明在量子極限下最多可以有5 次振蕩[375,376].振蕩作為磁場的函數(shù)遵循標度不變性定律, 與冷原子體系中的Efimov 束縛態(tài)非常相似, 類Efimov 束縛態(tài)可以用來理解偶然振蕩[377,378].實驗中電阻的直接擬合也證明了這一點[375,376,378].然而, 其他可能導致標度不變性振蕩的機制將是人們廣泛感興趣的話題.

固體中由空間群描述的豐富對稱性保護的能量節(jié)點, 可能導致在高能物理中沒有對應粒子的無質量費米子[379?382].文獻[383,384]提出了具有三重簡并的費米子.作為介于狄拉克費米子和外爾費米子的中間費米子, 其對應的半金屬體系具有新奇的輸運特征[385?387].

更多的課題也將引起廣泛的興趣, 包括磁性外爾半金屬的量子輸運[388?397], 籠目(Kagome)鐵磁體Fe3Sn2[398], 雙外爾半金屬[6,107], Ⅱ型外爾半金屬[294,399?408], Hopflink 節(jié)線半金屬[409?412], 超越量子極限的量子振蕩[413], 拓撲半金屬中的普適電導漲落[414], 狄拉克半金屬中的AB 效應[415], 外爾半金屬的表面準粒子干涉[416?419], Fano 效應[420].