彭 斌, 蔣 龍

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

0 引 言

渦旋機(jī)械以其良好的結(jié)構(gòu)特性和力學(xué)特性被廣泛地應(yīng)用于制冷、增壓機(jī)、渦旋泵等領(lǐng)域。對(duì)渦旋機(jī)械的研究可以追溯到19世紀(jì)末,并且一直在不斷地發(fā)展進(jìn)步?，F(xiàn)階段,根據(jù)所用領(lǐng)域的尺寸要求和性能要求的不同,渦旋機(jī)械依舊在不斷地改進(jìn)當(dāng)中。

作為渦旋機(jī)械的核心,渦旋型線的設(shè)計(jì)優(yōu)化是渦旋機(jī)械設(shè)計(jì)研究的重點(diǎn),因此國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了廣泛深入的研究。

在圓漸開(kāi)線渦旋型線的幾何參數(shù)研究方面:文獻(xiàn)[1]提出等效缸徑的概念,把型線高度、齒寬、壁厚化為3個(gè)獨(dú)立準(zhǔn)則數(shù);文獻(xiàn)[2]提出了一種摩擦功耗和泄漏損耗較小的幾何參數(shù)設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[3]對(duì)比分析了渦旋型線幾何參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系,并計(jì)算了動(dòng)渦旋盤(pán)所受的氣體力;文獻(xiàn)[4]提出了一種用于容積分析描述的新型渦旋壓縮機(jī)幾何模型;文獻(xiàn)[5]分析了渦旋壓縮機(jī)的幾何和動(dòng)態(tài)特性,研究了幾何連續(xù)性對(duì)渦旋壓縮機(jī)性能的影響;文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]分別對(duì)幾何模型進(jìn)行了優(yōu)化分析。

通過(guò)上述文獻(xiàn)可以看出，對(duì)圓漸開(kāi)線渦旋型線幾何模型的研究主要以泄漏、氣體力、動(dòng)態(tài)特性等為目標(biāo),為變壁厚渦旋型線的研究方向提供了參考。

在變截面渦旋型線幾何參數(shù)研究方面:文獻(xiàn)[8]研究了多種漸開(kāi)線的性能特點(diǎn),提出了渦旋型線嚙合的計(jì)算方法;文獻(xiàn)[9]研究了采用三點(diǎn)弧近似法對(duì)變壁厚渦旋的加工;文獻(xiàn)[10]提出了基于泛函理論的變壁厚渦旋型線設(shè)計(jì)理論及其優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,建立了變壁厚渦旋型線優(yōu)化數(shù)學(xué)模型;文獻(xiàn)[11]提出了包括漸開(kāi)線等微分條件、基于復(fù)合網(wǎng)格劃分誤差和渦旋型線的嚙合間隙來(lái)定義型線的誤差靈敏度;文獻(xiàn)[12]提出了利用橢圓漸開(kāi)線和雙包絡(luò)法設(shè)計(jì)渦旋型線,并進(jìn)行了建模分析;文獻(xiàn)[13]建立了多種齒頭修正后的幾何模型,通過(guò)定義的幾何參數(shù)對(duì)吸氣容積進(jìn)行了計(jì)算;文獻(xiàn)[14]提出了雙圓弧加直線單元組合型線,推導(dǎo)了該組合型線的工作腔容積,研究其變化規(guī)律。

目前,關(guān)于變壁厚渦旋型線的研究主要集中在變壁厚渦旋型線幾何模型的問(wèn)題、數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建以及相關(guān)模型的模擬上，而關(guān)于幾何模型中各參數(shù)對(duì)型線的影響和對(duì)幾何模型的優(yōu)化分析涉及較少。

本文從變壁厚渦旋膨脹機(jī)的幾何特性出發(fā),以渦旋型線占積比(即型線面積所占盤(pán)的面積比)為優(yōu)化模型,對(duì)圓漸開(kāi)線、圓漸開(kāi)線-高次曲線-圓漸開(kāi)線、圓漸開(kāi)線-圓弧-圓漸開(kāi)線3種型線進(jìn)行對(duì)比分析,并運(yùn)用遺傳算法分別對(duì)高次曲線、圓弧組合型線的參數(shù)選取進(jìn)行了優(yōu)化,為今后變壁厚渦旋膨脹機(jī)的設(shè)計(jì)提供一定的參考。

組合型線示意圖如圖1所示。

圖1 組合型線示意圖

1 渦旋型線的方程

1.1 圓漸開(kāi)線-高次曲線-圓漸開(kāi)線

圓漸開(kāi)線-高次曲線-圓漸開(kāi)線組合型線的齒的開(kāi)始部分與結(jié)束部分為圓漸開(kāi)線,中間連接段為冪級(jí)數(shù)形式的高次曲線,其中齒頭采用雙圓弧加直線修正,如圖1a所示,其公式[15]描述如下。

圓漸開(kāi)線母線公式為:

(1)

其中:φ∈(0,φ1)∪(φ2,φ3);φ為型線的展角;Rg=a;Rs=aφ，a為基圓半徑。

高次曲線母線公式為:

(2)

其中

φ∈(φ1,φ4);

Rg2=c1+2c2(φ-π/2)+3c3(φ-π/2)2;

Rs2=c0+c1(φ-π/2)+c2(φ-π/2)2+

c3(φ-π/2)3。

根據(jù)渦旋型線的嚙合原理[16]可得:

(3)

1.2 圓漸開(kāi)線-圓弧-圓漸開(kāi)線

圓漸開(kāi)線-圓弧-圓漸開(kāi)線組合型線與高次曲線的組合曲線類(lèi)似,只是齒中間段由圓弧替代了圓漸開(kāi)線,如圖1b所示。但圓弧和嚙合點(diǎn)的確定與高次曲線有很大差別,圓弧欲滿足嚙合要求和連續(xù)性要求,需滿足一個(gè)必要條件,即

λ/2+nπ=tan(λ/2)

(4)

其中:λ為圓弧中心角;n為圓漸開(kāi)線被代替的圈數(shù)。

圓漸開(kāi)線的母線與高次曲線組合型線相同,不再贅述,圓弧的相關(guān)參數(shù)確定如下所述。

靜盤(pán)外壁圓弧中心O2的坐標(biāo)為:

(5)

靜盤(pán)內(nèi)壁圓弧中心O1的坐標(biāo)為:

(6)

靜盤(pán)內(nèi)、外壁圓弧半徑R、r為:

(7)

其中:a為基圓半徑;α為漸開(kāi)線發(fā)生角;φ為連接處初始展角。

1.3 渦旋型線的占積比

圓漸開(kāi)線渦旋型線在基圓一定、最終展角一定的情況下,型線的面積是定值,因此無(wú)法進(jìn)行優(yōu)化選擇,組合型線則能很好地改善這一狀況。對(duì)于組合型線的面積計(jì)算,可以以各連接段的接點(diǎn)為求解范圍,分別求出各段面積后進(jìn)行相加求得,但這樣的計(jì)算分段過(guò)多,且內(nèi)、外壁型線的類(lèi)型存在不相同的情況,導(dǎo)致計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。

本文提出一種新的幾何模型-渦旋型線占積比,即渦旋型線占有效盤(pán)面積的比值。由于在漸開(kāi)線初始條件一定的情況下,無(wú)論是高次曲線組合型線還是圓弧組合型線,其最終嚙合所需直徑都與圓漸開(kāi)線相同,在這種情況下,渦旋型線面積越小即占積比越小,有效容積越大。因此討論占積比可以間接反映各組合型線的膨脹性能。

首先整體求解外壁型線面積和內(nèi)壁型線面積;然后用外壁型線面積減去內(nèi)壁型線面積的方法,進(jìn)行型線面積的計(jì)算。

(8)

(9)

(10)

雙圓弧加直線修正面積[17]為:

Sx=0.5(R2-r2)(τ-sinτ)

(11)

其中:τ=0.5π-γ-θ,γ為修正角,θ為連接點(diǎn)展開(kāi)角;R為大圓弧半徑;r為小圓弧半徑。

內(nèi)、外壁弧長(zhǎng)示意圖如圖2所示。

圖2 內(nèi)、外壁弧長(zhǎng)示意圖

可得內(nèi)、外弧線所圍成的面積Sn、Sw和渦旋型線的面積S為:

(12)

(13)

Sw=So+Sg

(14)

Sn=So+Sw+Sx

(15)

S=Sw-Sn

(16)

(2) 圓漸開(kāi)線-圓弧-圓漸開(kāi)線組合型線。該組合型線中,圓漸開(kāi)線型線所圍成的面積的計(jì)算與高次曲線組合型線相同,圓弧的內(nèi)、外面積Sn、Sw和渦旋型線面積S計(jì)算如下:

(17)

(18)

S=Sw-Sn

(19)

(3) 型線占積比模型的建立。型線的占積比就是型線面積與有效盤(pán)面積的比值。其中,動(dòng)靜渦旋嚙合后,動(dòng)渦旋以回轉(zhuǎn)半徑Ror為運(yùn)動(dòng)半徑進(jìn)行公轉(zhuǎn)平動(dòng),有效盤(pán)面積取最終展角時(shí)弧線半徑加Ror為半徑進(jìn)行計(jì)算,即

rp=a(Be-A)+Ror,

(20)

根據(jù)(16)式、(19)式可得型線的占積比為:

(21)

2 各參數(shù)的影響分析

由(8)～(21)式可知,高次曲線組合型線和圓弧組合型線的型線面積都與基圓半徑a、回轉(zhuǎn)半徑Ror、最終展角φe有關(guān),運(yùn)用控制變量法研究以上各參數(shù)對(duì)占積比的影響。

2.1 基圓半徑對(duì)占積比的影響

基圓半徑對(duì)型線面積和占積比的影響如圖3所示,其中基圓半徑從3 mm增加至5 mm,回轉(zhuǎn)半徑與最終展角保持不變。從圖3可以看出:在相同基圓半徑下,圓漸開(kāi)線的型線面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組合型線的型線面積,而高次曲線組合型線的型線面積略低于圓弧組合型線的型線面積;圓漸開(kāi)線的占積比約為其他2種組合型線占積比的2倍,高次曲線組合型線的占積比略低于圓弧組合型線的占積比。

圖3 基圓半徑對(duì)型線面積和占積比的影響

由圖3可知：隨著基圓半徑的不斷增加,圓漸開(kāi)線的型線面積近乎于直線上升,其型線占積比也有所升高,這是因?yàn)殡S著基圓半徑的增加,型線的齒厚增加,導(dǎo)致型線面積大幅度增長(zhǎng),所以型線占積比也變大;其余2種組合型線的型線面積有小幅度增長(zhǎng),而型線占積比卻有所下降,這是因?yàn)楫?dāng)基圓半徑增加時(shí),高次曲線與圓弧的弧長(zhǎng)增長(zhǎng)幅度很小,而圓漸開(kāi)線部分齒厚雖然有所增長(zhǎng),但節(jié)距也隨之增加,在回轉(zhuǎn)半徑和最終展角保持不變的情況下,有效盤(pán)面積中的圓漸開(kāi)線面積減小,所以占積比有所下降。

從圖3b還可以看出，在基圓半徑、回轉(zhuǎn)半徑、最終展角相同時(shí),高次曲線組合型線和圓弧組合型線的占積比相差不多,且都要優(yōu)于圓漸開(kāi)線的占積比。

2.2 最終展角對(duì)渦旋型線的影響

最終展角對(duì)渦旋型線的影響如圖4所示,其中最終展角由12.56 rad增加至18.06 rad,基圓半徑和回轉(zhuǎn)半徑保持不變。

圖4 最終展角對(duì)型線面積和占積比的影響

從圖4可以看出:當(dāng)最終展角增加時(shí),圓漸開(kāi)線、高次曲線組合型線、圓弧組合型線的型線面積都有明顯的增加,且趨勢(shì)也近似;但圓漸開(kāi)線的占積比幾乎沒(méi)有增加,這是因?yàn)楫?dāng)最終展角增加時(shí),型線齒厚增加,面積增加,同時(shí)有效盤(pán)面積也增加,且增長(zhǎng)率近似,所以占積比沒(méi)有明顯增加;而高次曲線組合型線和圓弧組合型線的占積比有所增加,這是因?yàn)楫?dāng)最終展角增加時(shí),高次曲線部分和圓弧部分皆無(wú)變化,但圓漸開(kāi)線部分弧線增加,即圓漸開(kāi)線型線面積所占比例增加,所以占積比有所增加。

從上述對(duì)基圓半徑、最終展角的分析可知:在相同條件下,高次曲線組合型線和圓弧組合型線的型線面積、占積比都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圓漸開(kāi)線;而2種組合型線相差不大,且變化趨勢(shì)相近。

3 高次曲線組合型線參數(shù)的優(yōu)化選取

3.1 遺傳算法理論

遺傳算法是運(yùn)用仿生學(xué)中基因的遺傳、變異等原理,將已知邊界條件的優(yōu)化參數(shù)看作一段“基因”,通過(guò)選擇保存每一代的最小值,經(jīng)過(guò)一定概率的重組變異,產(chǎn)生新的一代“基因”,如此循環(huán),直至達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)或者遺傳代數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)而終止。

遺傳算法流程如圖5所示。

圖5 遺傳算法流程

本文主要以型線面積S和占積比δ為優(yōu)化目標(biāo),其求解方式為(16)式、(19)式和(21)式。由型線面積的定義可知,S>0且S?Sp;由占積比定義可知,0<δ<1。

3.2 連接點(diǎn)處展角優(yōu)化選取

本文以φ1、φ4為優(yōu)化變量,即2對(duì)“基因”,以高次曲線的占積比為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析。參數(shù)選取為:基圓半徑a=3.2 mm;回轉(zhuǎn)半徑Ror=5.58 mm;發(fā)生角α=2π/9;最終展角φe=16.547 8;圓漸開(kāi)線展角φ2滿足φ2=φ4+2π。

高次曲線占積比優(yōu)化如圖6所示。通過(guò)50代的“基因”優(yōu)化,得到最優(yōu)解δ=0.169 332,此時(shí)φ1=2.094 0、φ4=6.283 2。

圖6 高次曲線占積比優(yōu)化

從圖6可以看出,在基圓半徑、漸開(kāi)線起始角、最終展角等參數(shù)不變的前提下,隨著φ1、φ4的變化,組合型線高次曲線部分的弧長(zhǎng)發(fā)生了變化,從而對(duì)組合型線高次曲線的占積比產(chǎn)生了一定的影響。

因此,合理選取φ1、φ4對(duì)高次曲線組合型線的占積比有一定的優(yōu)化作用。

3.3 多初始參數(shù)優(yōu)化

初始參數(shù)基圓半徑a和最終展角φe同時(shí)變化時(shí),以占積比δ為優(yōu)化目標(biāo),尋求δ的極小值及取極值時(shí)各初始參數(shù)的取值,結(jié)果如圖7所示。

圖7 單目標(biāo)優(yōu)化時(shí)高次曲線組合型線的多初始參數(shù)優(yōu)化

由圖7可知,在優(yōu)化了約30代后,占積比取得了極小值,之后保持不變，最終取得極小值δ=0.103 180,此時(shí)的基圓半徑a=5.2 mm、最終展角φe=18.84 rad。

3.4 多優(yōu)化目標(biāo)下基圓半徑的優(yōu)化選取

根據(jù)上節(jié)對(duì)高次曲線-圓漸開(kāi)線組合型線的型線面積S和占積比δ隨基圓半徑a變化的討論可知，型線面積隨基圓半徑的增大而增大,而占積比隨著基圓半徑的增大而減小。下面討論以型線面積和占積比為共同優(yōu)化目標(biāo)下的基圓半徑取值。

多優(yōu)化目標(biāo)時(shí)高次曲線組合型線的多初始參數(shù)優(yōu)化如圖8所示。

由圖8可知,由于2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)隨基圓半徑的變化趨勢(shì)相反,無(wú)法求出極值。圖8中每個(gè)點(diǎn)都是滿足非劣條件下的基圓半徑的取值,將其中值摘選部分,見(jiàn)表1所列。

圖8 多優(yōu)化目標(biāo)時(shí)高次曲線組合型線的多初始參數(shù)優(yōu)化

表1 多優(yōu)化目標(biāo)下高次曲線組合型線基圓半徑的非劣解集

從圖8可以看出,相比于圖7中多個(gè)初始參數(shù)共同作用時(shí)占積比的極值,單個(gè)初始參數(shù)變化下占積比的極小值要小于多初始參數(shù)下的極小值,即多個(gè)初始參數(shù)共同作用時(shí)會(huì)影響優(yōu)化目標(biāo)極值的取值。

4 圓弧組合型線的優(yōu)化

4.1 以占積比為優(yōu)化目標(biāo)的多初始參數(shù)優(yōu)化

初始參數(shù)基圓半徑a和最終展角φe同時(shí)變化時(shí),以占積比δ為優(yōu)化目標(biāo),尋求其極小值以及取極值時(shí)各初始參數(shù)的取值,結(jié)果如圖9所示。

從圖9可以看出,在最初幾代優(yōu)化時(shí),占積比迅速減小,在優(yōu)化10代左右以后,變化相對(duì)平穩(wěn),在遺傳至40代左右時(shí)取得極小值δ=0.139 61,此時(shí)的基圓半徑a=3.499 3 mm、最終展角φe=12.56 rad。

圖9 單目標(biāo)優(yōu)化時(shí)圓弧組合型線的多初始參數(shù)優(yōu)化

4.2 多優(yōu)化目標(biāo)下基圓半徑的優(yōu)化選取

根據(jù)上節(jié)對(duì)圓弧-圓漸開(kāi)線組合型線的型線面積S和占積比δ隨基圓半徑a變化的討論可知,圓弧-圓漸開(kāi)線組合型線的變化趨勢(shì)與高次曲線-圓漸開(kāi)線組合型線的類(lèi)似。下面討論以型線面積和占積比為共同優(yōu)化目標(biāo)下的基圓半徑取值。

多優(yōu)化目標(biāo)時(shí)圓弧組合型線的多初始參數(shù)優(yōu)化如圖10所示。

由圖10可知:占積比的變化范圍為0.25～ 0.10,型線面積的變化范圍為1 050～1 350 mm;且在基圓半徑取值越大時(shí),占積比的減小率也越大。優(yōu)化取得一組非劣解集,摘選部分見(jiàn)表2所列。

圖10 多優(yōu)化目標(biāo)時(shí)圓弧組合型線的多初始參數(shù)優(yōu)化

表2 多優(yōu)化目標(biāo)下圓弧曲線組合型線基圓半徑的非劣解集

從圖10可以看出,相比于圖9中多個(gè)初始參數(shù)共同作用時(shí)占積比的極值,單個(gè)初始參數(shù)變化下占積比的極小值要小于多初始參數(shù)下的極小值。

5 結(jié) 論

本文以高次曲線組合型線和圓弧組合型線為優(yōu)化對(duì)象,以型線面積和占積比為優(yōu)化目標(biāo),運(yùn)用遺傳算法對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化分析。

分析得到基圓半徑與型線面積成正比、與占積比成反比,最終展角與型線面積和占積比都成正比。在單目標(biāo)遺傳算法的優(yōu)化下得到高次曲線組合型線占積比最優(yōu)解為δ=0.169 332,此時(shí)φ1=2.094 0、φ4=6.283 2;圓弧組合型線最優(yōu)解為δ=0.139 610,此時(shí)基圓半徑a=3.499 3 mm、φe=12.56 rad。以占積比和型線面積為共同優(yōu)化目標(biāo),在多目標(biāo)遺傳算法的優(yōu)化下,得到了2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的一組非劣解集以及與之對(duì)應(yīng)的基圓半徑值。

本文的研究為高次曲線組合型線和圓弧組合型線的參數(shù)選取提供了一定的參考。