胡匯源,毛 駿

(中國計量大學 機電工程學院,浙江 杭州 310018)

眾所周知,在過去的幾十年里,非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設計一直是一個活躍的問題,文獻[1,2]中給出了許多有趣的結果。在這一領域中已經(jīng)得到了很多有效的控制方法,包括自適應反步法、容錯控制以及模糊控制。其中自適應反步法控制的主要特點是它可以在處理非線性系統(tǒng)的控制問題時,無需考慮匹配條件。

在實際工業(yè)生產中,由于安全需求或物理限制等因素,系統(tǒng)不能傳輸無限大的控制信號,因而大部分物理系統(tǒng)都會出現(xiàn)輸入飽和約束的情況。例如在航空器控制中,輸入飽和約束可能會導致控制器輸入輸出不一致的“上卷”現(xiàn)象[3];一般的流量執(zhí)行器存在物理限制,使用中不會使流量趨于無限大[4]。當系統(tǒng)發(fā)生飽和時,系統(tǒng)性能將顯著下降。因此研究具有輸入飽和約束的非線性系統(tǒng)的控制器設計具有實用和理論價值。文獻[5]使用模型預測控制方法來處理約束非線性系統(tǒng)。文獻[6]中設計抗飽和補償器用于適應系統(tǒng)中的約束。文獻[7]研究了具有輸入飽和約束的非線性系統(tǒng)的魯棒自適應控制。文獻[8]利用擴展狀態(tài)觀測器處理了混沌系統(tǒng)的輸入飽和約束問題。文獻[9]針對具有輸入非線性的非線性系統(tǒng)提出了一種自適應變結構控制方法。隨著智能控制的發(fā)展,文獻[10]引入了模糊控制方法來補償系統(tǒng)中的飽和。文獻[11]針對輸入飽和約束且部分狀態(tài)不可測的隨機非線性系統(tǒng)提出了構造一個與系統(tǒng)相同階次的輔助系統(tǒng)。文獻[12]采用微分中值定理來應對多輸入多輸出系統(tǒng)中的輸入飽和約束。文獻[13]采用了飽和度指示函數(shù)分析了非線性嚴格反饋系統(tǒng)中輸入飽和約束的影響。文獻[14]采用復合抗干擾控制技術研究了具有不確定性和輸入飽和約束的非線性系統(tǒng)的干擾抑制問題。

此外,由于測量噪聲、建模誤差、建模簡化等,未建模動態(tài)和動態(tài)干擾經(jīng)常出現(xiàn)在實際系統(tǒng)中,它們是所考慮系統(tǒng)不穩(wěn)定的來源。例如在對實際系統(tǒng)建模時,常常出現(xiàn)一些無法使用數(shù)學模型來進行描述的模型誤差,此外有時會對系統(tǒng)進行降階處理,使得系統(tǒng)的部分動態(tài)特性丟失[15]。文獻[16]通過將控制器重新設計對含有未建模動態(tài)的非線性系統(tǒng)進行控制。文獻[17]采用了自適應網(wǎng)絡模糊推理系統(tǒng)對非線性系統(tǒng)中的未建模動態(tài)進行估計和補償。文獻[18]采用輔助系統(tǒng)處理具有未建模動態(tài)的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)。文獻[19]通過構造合適的Lyapunov函數(shù)處理不確定非線性系統(tǒng)的未建模動態(tài)影響。文獻[20]采用動態(tài)信號處理一類切換非線性系統(tǒng)的未建模動態(tài)影響。文獻[21]通過雅克比線性化分解將非線性系統(tǒng)中的未建模動態(tài)分解為線性項和高階未知項。

鑒于大量實際工業(yè)系統(tǒng)需要依賴純反饋非線性系統(tǒng)進行建模表征,例如機械系統(tǒng),飛行器系統(tǒng)等,且實際系統(tǒng)在運行過程中會不可避免地受到輸入飽和約束與未建模動態(tài)影響,從而使系統(tǒng)性能下降甚至導致系統(tǒng)無法運行,因此研究系統(tǒng)的此類問題具有深遠的價值。在控制器設計過程中,引入動態(tài)信號處理未建模動態(tài),采用中值定理處理輸入飽和約束問題,采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡逼近未知非線性函數(shù),然后通過Backstepping方法系統(tǒng)地推導出自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制方案。本文的主要貢獻如下:1) 利用微分中值定理處理系統(tǒng)的輸入飽和約束,即對其進行線性化處理,以便設計自適應控制器;2) 利用動態(tài)信號處理系統(tǒng)未建模動態(tài);3) 通過估計神經(jīng)網(wǎng)絡基函數(shù)權向量的范數(shù),自適應參數(shù)的數(shù)目不超過所考慮的非線性的階數(shù),使得計算量大大減少。

1 問題描述與預備知識

1.1 系統(tǒng)描述與基本假設

考慮如下一類具有未建模動態(tài)和輸入飽和約束的純反饋非線性系統(tǒng):

(1)

(2)

其中:v(t)為所需構建的控制律,uM為未知常數(shù)。由文獻[22]可知,飽和函數(shù)可以用如下的光滑函數(shù)進行逼近:

(3)

由此飽和函數(shù)可以表示為

sat(v)=h(v)+ρ(v)。

(4)

其中ρ(v)為有界函數(shù),它滿足

(5)

根據(jù)中值定理,h(v)可以表示為

(6)

其中,vθ0=θ0v+(1-θ0)v*,0<θ0<1。選取v*=0,則(6)式可以轉化為

(7)

其中,00,h1>0為常數(shù)。

此外,再次利用中值定理,可得

(8)

注1:需要指出的是,純反饋非線性系統(tǒng)是一種結構較為普通的非線性系統(tǒng),并且許多實際工業(yè)系統(tǒng)需要依賴純反饋非線性系統(tǒng)進行建模以表征系統(tǒng)動態(tài),例如機械系統(tǒng),飛行器系統(tǒng)等。

現(xiàn)針對本文給出如下假設:

假設1:未知動態(tài)擾動Δi(i=1,…,n)滿足如下條件:

(9)

其中:φi1,φi2為未知非負光滑函數(shù)。

(10)

其中,α1(·),α2(·)和μ(·)是K∞類函數(shù),且c0>0和d0>0為已知常數(shù)。

(11)

(12)

使得當t≥T0時,有D(t)=0,當t≥0時,有

V(z(t))≤r(t)+D(t)。

(13)

(14)

其中:μ0(·)為非負光滑函數(shù)。

引理2[26]:如果滿足x∈Rn,y∈Rn,p>1,q>1并且p-1+q-1=1,則可以得到

(15)

其中:ε>0為任意常數(shù)。

特別地,若p=q=2,則有

(16)

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡逼近理論

神經(jīng)網(wǎng)絡是一種模仿動物神經(jīng)網(wǎng)絡行為特征,進行分布式并行信息處理的算法數(shù)學模型。這種網(wǎng)絡通過調整內部大量節(jié)點之間相互連接的關系達到處理信息的目的。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結構圖如圖1[27]。其中,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡由輸入層,隱含層和輸出層3層組成。

圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結構Figure 1 Topology structure of RBF neural networks

對于任意給定的未知非線性光滑函數(shù)f(X):Rq→R,在緊集ΩX上采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡對其進行逼近可得

f(X)=φ*Tξ(X)+δ(X),?X∈ΩX。

(17)

其中,X∈ΩX∈Rq為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入向量,δ(X)為逼近誤差,其滿足|δ(X)|≤ε,ε>0是未知的常數(shù)。l為神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)目,且l>1,ξ(X)=[ξ1(X),ξ2(X),…,ξl(X)]T∈Rl是已知的光滑向量函數(shù),基函數(shù)ξi(X)通常選取如下高斯函數(shù):

(18)

其中,μi=[μi1,μi2,…,μiq]T,ηi分別表示高斯函數(shù)的中心和寬度。理想權向量φ*=[φ1,φ2,…,φl]T定義為

(19)

控制目標:針對式(1)系統(tǒng)設計狀態(tài)反饋控制律實現(xiàn)實用鎮(zhèn)定。

2 控制器設計

本節(jié)將對自適應控制律進行設計,設計過程共分為n步,設計過程將基于如下的坐標變換:

zi=xi-αi-1,i=1,2,…,n。

(20)

其中,α0=0,且αi(i=1,2,…,n-1)為第i步所需設計的虛擬控制律,控制律u將會在第n步中給出。

第1步:選取如下的Lyapunov函數(shù):

(21)

(22)

基于如下關系式:

(23)

其中ε>0為任意常數(shù),由此,可得

(24)

進一步,根據(jù)式(23)以及引理2,可得

(25)

將(24)式和(25)式代入到(22)式,可得

(26)

(27)

其中,δ1(Z1)是估計誤差,ε13>0為常數(shù)。

將(27)式代入(26)式,可得:

(28)

依據(jù)引理3,可知

(29)

將(29)式代入(28)式,可得

(30)

構造如下虛擬控制律:

(31)

其中,k1>0,σ1>0和η1>0為設計參數(shù)。

將(31)式代入(30)式,依據(jù)假設3和引理2,可得

(32)

第i步(2≤i≤n-1):選取如下的Lyapunov函數(shù):

(33)

其中γi為設計參數(shù)。

基于坐標變換zi=xi-αi-1,可得

(34)

根據(jù)已得到的虛擬控制律及系統(tǒng)(1),可得

(35)

根據(jù)假設1和(23)式,可得:

(36)

(37)

(38)

將式(36)～(38)代入到式(35),可得

(39)

(40)

其中,δi(Zi)是估計誤差,εi3>0為常數(shù)。

根據(jù)引理2,可得

(41)

構造如下虛擬控制律:

(42)

其中ki>0,σi>0和ηi>0為設計參數(shù)。

將式(40)～(42)代入到式(39)中,可得

(43)

第n步:選取如下的Lyapunov函數(shù):

(44)

其中γn為設計參數(shù)。

基于坐標變換zn=xn-αn-1,可得

(45)

根據(jù)已得到的虛擬控制律及式(1)系統(tǒng),可得

(46)

根據(jù)假設1和(23)式,可得

(47)

將式(47)代入到式(46)中,可得

(48)

(49)

其中,δn(Zn)是估計誤差,εn3>0為常數(shù)。根據(jù)引理2,可得

(50)

將式(50)和式(49)代入到式(48),可得

(51)

根據(jù)引理2和假設3,可得

(52)

其中

(53)

將式(52)代入到式(51)中,可得

(54)

設計系統(tǒng)控制律為:

(55)

其中,kn>0,ηn>0,γn>0,σn>0為設計參數(shù)。

將式(55)代入到式(54),可得

(56)

3 穩(wěn)定性分析

定理1:考慮具有輸入飽和約束與未建模動態(tài)的純反饋非線性系統(tǒng)(1),若其滿足假設1～3,在合理的參數(shù)作用條件下,則可利用自適應控制律(55)實現(xiàn)該閉環(huán)系統(tǒng)的實用漸近穩(wěn)定,且閉環(huán)系統(tǒng)所有信號一致終結有界。

證明:選取Lyapunov函數(shù)V=Vn,可得

(57)

對(57)式求解,可知其滿足

(58)

即

(59)

綜上所述,為了便于工程應用,本文現(xiàn)總結如下控制算法。

控制算法第1步:選取控制參數(shù)k1>0,σ1>0,η1>0以及γ1>0以構建(31)式所示的虛擬控制律α1以及參數(shù)自適應控制律。第2步:利用坐標變換(20)式以及前述虛擬控制器α1獲取信號z2,并選取控制參數(shù)k2>0,σ2>0,η2>0以及γ2>0構建控制律α2以及參數(shù)自適應控制律。第3步:利用虛擬控制律αi(i=2,…,n-1)重復迭代坐標變換(20)式,并選取控制參數(shù)ki>0,σi>0,ηi>0以及γi>0(i=3,…,n)構建(42)式所示的虛擬控制器αi(i=3,…,n-1)以及參數(shù)自適應控制律,由此導出(55)式所示的控制律v以鎮(zhèn)定非線性系統(tǒng)(1)。

此外,本文的控制流程圖如圖2。

圖2 控制流程圖Figure 2 Control flow chart

4 系統(tǒng)仿真

為了驗證設計的可行性,考慮對滿足式(1)系統(tǒng)條件的如下系統(tǒng)進行仿真驗證:

(60)

其中:飽和輸入u為:

(61)

(62)

圖3 x1(實線),x2(點劃線)和x3(虛線)的軌跡Figure 3 Trajectories of x1 (full line), x2 (dash-dotted line) and x3 (dotted line)

圖4 實線(點劃線)和(虛線)的軌跡Figure 4 Trajectories of (dash-dotted line)

圖5 未建模動態(tài)zFigure 5 Trajectory of the unmodeled dynamics z

圖6 控制信號uFigure 6 Control input u

5 結 論

本文對于一類具有輸入飽和約束與未建模動態(tài)的純反饋非線性系統(tǒng),基于Backstepping方法設計了一種自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制方案,該方案通過引入動態(tài)信號處理系統(tǒng)的未建模動態(tài),并采用中值定理處理輸入飽和約束問題。通過選取合理的Lyapunov函數(shù)證明了閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號均為半全局一致終結有界。