摘要：? 為求解四邊固支矩形薄板在均布載荷作用下的撓度表達(dá)式，以利維解為基礎(chǔ)利用疊加法將復(fù)雜問(wèn)題分解為多個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后進(jìn)行疊加，獲得四邊固支矩形薄板在均布載荷作用下的撓度表達(dá)式。利用有限元模擬驗(yàn)證表達(dá)式的正確性，發(fā)現(xiàn)有限元結(jié)果與公式結(jié)果吻合較好。

關(guān)鍵詞：? 疊加法; 均布荷載; 矩形薄板; 四邊固支; 撓度; 有限元

中圖分類(lèi)號(hào)：? TU392; TB115.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：? B

Deflection of rectangular thin plates fixed on four sides

under uniform load

MA Renxiang

（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）

Abstract： In order to solve the deflection expression of quadrilateral fixed rectangular plate under uniform distributed load， based on levy solution， complex problems are decomposed into several simple ones by superposition method， by superposition， the deflection expression of the rectangular plate with four sides fixedly supported under uniform load is obtained. The finite element simulation is used to verify the correctness of the expression.

Key words： superposition method; uniform load; rectangular thin plate; fixed on four sides; deflection; finite element

收稿日期： 2021-11-25修回日期： 2021-11-11

作者簡(jiǎn)介： 馬仁香（1996—），女，漢族，山東濟(jì)南人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)工程，E-mail： 1378167471@qq.com0引言薄板作為一種常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于建筑領(lǐng)域，對(duì)于薄板的研究多集中于理論。YU等[1]利用疊加法研究變平面剛度、寬徑比和不同邊界條件對(duì)撓度和彎矩的影響;FEDOSEYEV等[2]研究集中載荷作用在矩形薄板自由邊時(shí)板的撓度，并給出計(jì)算方法;鐵摩辛柯等[3]利用簡(jiǎn)單的三角級(jí)數(shù)，通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，推導(dǎo)出集中載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板的簡(jiǎn)化表達(dá)式;董文堂[4]研究均布載荷作用下四邊固支薄板的撓度計(jì)算問(wèn)題，利用實(shí)用傅里葉級(jí)數(shù)乘展法進(jìn)行簡(jiǎn)化并得出計(jì)算方法，但只有板中心精度較高且只驗(yàn)證中心點(diǎn)位置，其他位置誤差偏大;江濤等[5]應(yīng)用辛疊加方法研究相鄰兩邊固支其余邊自由矩形正交各向異性薄板在均勻載荷作用下的彎曲問(wèn)題;董文堂等[6]利用半解析法研究對(duì)邊固支對(duì)邊自由板殼大撓曲變形問(wèn)題并給出計(jì)算表達(dá)式;高俊等[7]基于平面閘門(mén)研究?jī)蓪?duì)邊簡(jiǎn)支一邊固支一邊自由以及三邊固支一邊自由矩形薄板在靜水載荷作用下的撓度、內(nèi)力、應(yīng)力的分布規(guī)律。對(duì)薄板的研究，學(xué)者們采用不同方法：吳連元[8]利用疊加法得出均布載荷作用下兩端固支薄板的撓度計(jì)算表達(dá)式;陳英杰等[9]利用修正后的功的互等法，研究一邊固定三邊簡(jiǎn)支大撓度矩形薄板在均布載荷作用下的撓曲面問(wèn)題，推導(dǎo)大撓度彎曲矩形薄板的廣義位移解;鄭妍等[10]利用伽遼金法分別計(jì)算四邊簡(jiǎn)支和夾支2種邊界條件下的等厚度和變厚薄板的撓度。目前，四邊固支矩形薄板在均布載荷作用下的研究還較少，也沒(méi)有系統(tǒng)的求解公式，納維葉解法是解決薄板小撓度問(wèn)題比較簡(jiǎn)便、有效的方法。其采用簡(jiǎn)單的三角級(jí)數(shù)表示撓度表達(dá)式，能用于多種情況的載荷，但只局限于簡(jiǎn)支邊界。在固支邊界條件下，為滿(mǎn)足邊界條件，撓曲函數(shù)通常設(shè)為復(fù)合三角函數(shù)，但其多階偏導(dǎo)數(shù)組成的彈性微分方程不能合并提取待定系數(shù)的撓度表達(dá)式。本文以利維解為基礎(chǔ)，嘗試?yán)茂B加法，獲取四邊固支矩形薄板的撓曲函數(shù)表達(dá)式。

1理論推導(dǎo)如圖1所示，四邊固支矩形薄板承受均布載荷q，撓度計(jì)算可采用疊加法，由均布載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板Ⅰ、y=±b/2端作用力矩另兩端簡(jiǎn)支板Ⅱ、x=±a/2端作用力矩另兩端簡(jiǎn)支板Ⅲ疊加。圖中：a為薄板長(zhǎng)邊，b為薄板短邊，q為均布載荷，Mx、My均為力矩。

2有限元驗(yàn)證

2.1算例1圖2（a）所示為四邊固支矩形薄板，長(zhǎng)4 800 mm，寬2 400 mm，作用有面載荷q=1 N/mm2。利用Abaqus有限元軟件，采用殼單元建立模型，材料為理想彈塑性模型，彈性模量E=206 GPa，泊松比υ=0.3。有限元計(jì)算的位移云圖見(jiàn)圖2（b），部分節(jié)點(diǎn)的位移見(jiàn)表1。表中給出由式（4）計(jì)算的撓度，二者最大偏差11.7%、平均偏差7.5%。

2.2算例2圖3（a）所示的四邊固支方形薄板長(zhǎng)4 200 mm，有限元計(jì)算的位移云圖見(jiàn)圖3（b），部分節(jié)點(diǎn)的位移見(jiàn)表2，表中給出由式（4）計(jì)算的撓度，最大偏差13.2%，平均偏差7.8%。

以上2個(gè)算例的精度較高，大部分節(jié)點(diǎn)撓度與推導(dǎo)公式計(jì)算的撓度偏差在10%以?xún)?nèi)，只有小部分偏差在10%以上但不超過(guò)14%，偏差較大可能是因?yàn)榀B加法只是簡(jiǎn)單地分解后再進(jìn)行疊加，無(wú)法計(jì)算板Ⅰ與板Ⅱ之間的相互影響。

3結(jié)論疊加法是一種建立在簡(jiǎn)單問(wèn)題基礎(chǔ)上求解復(fù)雜問(wèn)題的實(shí)用方法，盡管疊加法比較累贅，工作量較大，但可把求解的困難分解，利用已有結(jié)果解決復(fù)雜問(wèn)題。本文利用疊加法給出均布載荷作用下四邊固支矩形薄板的撓度表達(dá)式，運(yùn)用有限元軟件建立模型，獲得矩形薄板任一點(diǎn)撓度，驗(yàn)證公式的準(zhǔn)確性。從上述的理論推導(dǎo)與算例驗(yàn)證結(jié)果可知，公式具有較高的求解精度，且表達(dá)式具有良好的收斂性，可在以后的相關(guān)工程中起到一定作用，但公式比較繁瑣，更簡(jiǎn)化的公式還有待研究。參考文獻(xiàn)：

[1]YU T C， NIE G J， ZHONG Z， et al. Analytical solution of the bending problem for rectangular orthotropic plates with a variable in-plane stiffness[J]. Mechanics of Composite Materials， 2021， 57： 115-124. DOI： 10.1007/s11029-021-09938-1.

[2]FEDOSEYEV V N， YAGNYATINSKIY D A. Deflection of a thin rectangular plate with free edges under concentrated loads[J]. Mechanics of Solids， 2019， 54（5）： 750-755. DOI： 10.3103/S0025654419050078.

[3]S·鐵摩辛柯，S·沃諾斯基. 板殼理論[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1977.

[4]董文堂. 固支邊矩形薄板的納維葉解法[J]. 黃石高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)， 1999， 15（1）： 1-4.

[5]江濤， 額布日力吐. 相鄰兩邊固支其余兩邊自由矩形正交各向異性薄板彎曲的辛疊加解[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)， 2020， 37（5）： 2214-2221. DOI： 10.11776/cjam.37.05.B080.

[6]董文堂， 鄒東峰. 對(duì)邊固支對(duì)邊自由板殼大撓曲變形的半解析解法[J]. 工業(yè)建筑， 2000， 30（6）： 31-33. DOI： 10.13204/j.gyjz2000.06.007

[7]高俊， 黨發(fā)寧， 李海斌， 等. 靜水荷載作用下矩形薄板力學(xué)特性研究及其應(yīng)用[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 35（5）： 1029-1036.? DOI： 10.11776/cjam.35.05.B049.

[8]吳連元. 板殼理論[M]. 上海： 上海交通大學(xué)出版社， 1989.

[9]陳英杰， 宋小惠. 應(yīng)用修正的功的互等法求解大撓度矩形薄板彎曲問(wèn)題[J]. 塑性工程學(xué)報(bào)， 2018， 25（2）： 175-182. DOI： 10. 3969 /j. issn. 1007-2012. 2018. 02. 025.

[10]鄭妍， 謝根全. 變厚度矩形薄板的靜撓度分析[J]. 湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2019， 31（1）： 7-11. DOI： 10.3969/j.issn.1672-6146.2019.01.003.（編輯陳鋒杰）