李志強

(1.上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444;2.呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系, 山西呂梁 033001)

近幾十年來, 分?jǐn)?shù)階微積分在科學(xué)與工程技術(shù)的各個領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用, 分?jǐn)?shù)階(偏)微分方程的理論研究也得到極大發(fā)展[1-4].本工作研究時間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程

式中:表示α階Caputo 導(dǎo)數(shù)算子,α ∈(1,2);(??)s表示分?jǐn)?shù)階Laplace 算子,s ∈(0,1);初值u0(x)、u1(x)和源項f(x,t)是已知函數(shù);d ∈N.

函數(shù)f(t)(t>0)的α階Caputo 導(dǎo)數(shù)[2]定義為

式中:n ?1<α

對于給定的函數(shù)v(x)(x ∈Rd), 積分形式的分?jǐn)?shù)階Laplace[5]定義為

式中: P.V.表示積分取主值;

2013 年Ma 等[6]研究了時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的漸近性態(tài), 其中時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是在Caputo 和Riemann-Liouville 意義下的, 其導(dǎo)數(shù)階滿足0<α <1 或1<α <2, 而空間方向是標(biāo)準(zhǔn)的Laplace 算子.隨后, Kemppainen 等[7-8]拓展了已有結(jié)果, 并進一步討論了帶有分?jǐn)?shù)階Laplace 算子的時間-空間分?jǐn)?shù)階擴散方程解的漸近行為, 其中時間導(dǎo)數(shù)是α(0<α <1)階的Caputo 導(dǎo)數(shù).最近, Li 等[9]研究了時空分?jǐn)?shù)階偏微分方程, 其中時間導(dǎo)數(shù)是Caputo-Hadamard 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 空間導(dǎo)數(shù)是分?jǐn)?shù)階Laplacian.Djida 等[10]探討了時間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的估計等.本工作主要研究時間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的梯度估計和長時間行為.

1 預(yù)備知識

1.1 Fox H-函數(shù)的定義與性質(zhì)

FoxH-函數(shù)[2,11-12]是一類重要的特殊函數(shù), 可以用來表示方程(1)的基本解.

令m、n、μ、ν是整數(shù)且滿足0 ≤m≤ν和0 ≤n≤μ.對于al,bj ∈C 和αl,βj ∈R+(l=1,2,··· ,μ;j=1,2,··· ,ν), FoxH-函數(shù)(z)定義為

式中:

且極點

和

不重合, 即

L表示Mellin-Barnes 圍道積分曲線;極點τ=bjσ和極點τ=alk分別位于曲線L左右兩邊.

H-函數(shù)具有以下兩個簡單的性質(zhì):

(1) 如果存在l(l=n+1,n+2,··· ,μ)和j(j=1,2,··· ,m)使得al=bj, 那么有

(2) 令ζ,c ∈C,θ >0,k ∈N0=N∪{0}, 則H-函數(shù)有下列微分公式

接下來給出H-函數(shù)在無窮遠處和零點的漸近展開.令

引理1[11]假設(shè)式(6)成立且式(5)表示的極點是簡單極點.如果a?>0,z ?=0且則H-函數(shù)的冪級數(shù)展開式為

式中:

引理2[11]假設(shè)引理1 的條件成立, 則有

其中系數(shù)hl=hlk(k=0),hlk見引理1.

引理3[8]假設(shè)式(6)成立且滿足a?>0,z ?=0 和|argz|<, 那么有

式中:

∑′表示Gamma 函數(shù)在bj0(j=1,2,··· ,m)處對所有簡單極點的求和;∑′′是Gamma 函數(shù)在bj0(j=1,2,··· ,m)處對所有階極點的求和.

1.2 Lp 空間和Young 不等式

令X是測度空間,ω是X上的正測度.對于0

為弱Lp(X,ω)空間, 其中和df(γ) =ω({x ∈X:|f(x)| >γ})表示f的分布函數(shù).弱Lp(X,ω)空間的Young 不等式[13]如下:

(1) 設(shè)1 ≤p, q, r≤∞滿足則有

(2) 設(shè)1 ≤p<∞, 1

(3) 設(shè)1

2 解的梯度估計

文獻[10]已經(jīng)給出了方程(1)解的表達式并討論了解的漸近行為, 因此本工作討論解的梯度估計.首先, 研究基本解在Lp(Rd)或弱Lp(Rd)范數(shù)意義下的估計;然后, 在初值和源項分別等于0 的情形下, 利用Young 不等式得到解的梯度估計.

方程(1)的解[10]為

式中:

“?”表示空間卷積;“?”表示時間和空間同時進行卷積.

由于基本解用H-函數(shù)表達, 利用前述H-函數(shù)的性質(zhì)和引理, 可求得基本解的梯度估計.令R=t?α|x|2s, 首先考慮基本解G0(x,t)的估計.

定理1已知d ∈N, 1<α<2, 0

證明 由式(8)可知

從而有

此時a?=2?α>0.

現(xiàn)在證明式(16).當(dāng)R>1 時, 由引理1 和2 可得

因為

所以

且有

于是存在常數(shù)M(?1)使得

結(jié)合式(19)和(20), 可得

下面證明式(17).

當(dāng)d>2s時, 因為b10=?1是簡單極點, 故由引理3 可知

因此, 存在常數(shù)δ0(0<δ0?1)使得

結(jié)合式(21)和(22), 可知

當(dāng)d=2s時, 由式(7)和(18)可知

因為b10=?1和b20=?2是簡單極點, 由引理3 可以得出

同理, 可得

當(dāng)d<2s時, 因為b10=?1 和是兩個簡單極點, 但

再次利用引理3, 可得

于是有

成立.進一步可以得到

綜合式(23)、(24)和(25)可知

定理證畢.

類似地, 可以證明下述定理.

定理2已知d ∈N, 1<α<2, 0

定理3已知d ∈N, 1<α <2, 0

(1) 如果R>1, 則有

(2) 如果R≤1, 則有

下面給出基本解G0(x,t)、G1(x,t)和Gf(x,t) 在Lp(Rd)和Lp,∞(Rd)意義下的梯度估計, 其證明方法可參考文獻[7-8], 故證明略.

為方便,記|

定理4已知d ∈N, 1<α<2, 0

定理5已知d ∈N, 1<α<2, 0

定理6已知d ∈N, 1<α<2, 0

(1) 設(shè)1 ≤p<λ(d,s), 則對任意的t>0, 有?Gf(x,t)∈Lp(Rd;Rd)且滿足估計

(2) 如果p=λ(d,s)和d+2>4s, 那么且成立不等式

注:若d+2<4s, 由定理3 可知, 對任意的t>0,?Gf(·,t)∈L∞(Rd;Rd) 且滿足

當(dāng)源項f ≡0 時, 下面給出方程(1)解的梯度估計.

定理7已知d ∈N, 1<α <2, 0

(i) 如果1

(ii) 如果u0(x), u1(x)∈L1(Rd), 那么有

對于(ii), 同樣利用弱類Young 不等式(式(10))、定理4 和5, 可得

定理證畢.

在初值u0和u1恒等于0 的情況下，當(dāng)源項f滿足一定條件時, 同樣可以得到解的漸近行為.

定理8已知d ∈N,1<α <2,0

那么對任意的t>0, 解u(x,t)=Gf(x,t)?f(x,t) 有估計式

證明略.

3 解的長時間行為

引理4[6]設(shè)g(x)∈L1(Rd)滿足∫Rd|x|·|g(x)|dx<∞.則存在Φ(x)∈L1(Rd;Rd)使得

其中δ是Dirac-Delta 函數(shù), div(Φ(x)) 表示函數(shù)Φ(x)的散度且有

下面討論源項f ≡0 時解的長時間行為.

定理9已知d ∈N,1<α <2,0

(1) 若|||x|u0(x)||1<∞和|||x|u1(x)||1<∞, 那么有

(2) 當(dāng)t →∞時, 有

證明 (1) 由條件u0(x)∈L1(Rd),|||x|u0(x)||1<∞和引理4, 存在函數(shù)Ψ0(x)∈L1(Rd;Rd), 使得

成立, 其中Ψ0(x)滿足||Ψ0(x)||1≤C|||x|u0(x)||1.

同理, 存在函數(shù)Ψ1(x)∈L1(Rd;Rd)使得

成立, 其中||Ψ1(x)||1≤C|||x|u1(x)||1.于是, 可得

式中:·?表示向量函數(shù)的卷積, 即

故有

(2) 選取序列{?k(x)(Rd) 使得并且滿足在L1(Rd)范數(shù)意義下?k(x)→u0(x).類似地, 可取序列{ψl(x)(Rd) 使得Rd ψl(x)dx=M1(l=1,2,···)且在L1(Rd)中ψl(x)→u1(x).由式(9)、定理(1)和文獻[10]中的引理4.4和4.5, 對于任意的k、l, 可得

因此,

令l →∞, 定理得證.

最后考察初值u0=u1≡0 時方程(1)的解在t →∞時的情況.為方便起見, 記

定理10已知d ∈N,1<α<2,01使得f(x,t)滿足條件

如果1 ≤p≤∞(d<4s)或者1 ≤p<κ(d,s)(d≥4s), 那么對于u(x,t)=Gf(x,t)?f(x,t)成立

證明略.

致謝上海大學(xué)李常品教授對本工作提出了寶貴的意見, 在此致以衷心的感謝!