宋 來 福，孔 憲 京，徐 斌，龐 銳

( 大連理工大學 水利工程學院, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

土石壩工程的安全性一直是壩工界關注的焦點，其中，壩坡穩(wěn)定性是影響土石壩工程安全的主要問題之一[1]．在土石壩建設過程中存在大量的不確定性[2-4]，現(xiàn)有確定性分析方法無法解決對其不確定性認知的局限性．可靠度理論可以合理、系統(tǒng)地對各種不確定性進行定量分析，使巖土工程結(jié)構(gòu)物設計、分析符合工程實際，近年來在邊坡穩(wěn)定分析領域受到高度重視并得到廣泛應用[5-7]．目前，定量表征不確定性及減小不確定性的方法已成為巖土邊坡包括土石壩壩坡穩(wěn)定可靠度分析的研究熱點．

巖土物理力學參數(shù)的不確定性是巖土工程不確定性的主要來源，合理表征巖土體參數(shù)的不確定性是巖土工程可靠度分析的關鍵．堆石料作為主要的筑壩材料，其非線性強度參數(shù)是影響土石壩壩坡穩(wěn)定的關鍵指標[8-12]．因此，學術界將非線性強度參數(shù)作為隨機變量對土石壩壩坡穩(wěn)定可靠度進行了大量研究[13-16]．然而，目前的研究忽略了非線性強度參數(shù)間的相關性，將其作為獨立的隨機變量．大量試驗研究表明[17-21]：筑壩堆石料非線性強度參數(shù)間存在顯著的正相關性．因此，在土石壩壩坡穩(wěn)定可靠度分析過程中，忽略了非線性強度參數(shù)間的相關性顯然是不合理的，應充分考慮非線性強度參數(shù)間的相關性，建立符合非線性強度參數(shù)分布特征的聯(lián)合概率分布模型(下文簡稱聯(lián)合分布模型)，即獲取完備概率信息．但受經(jīng)濟、技術等條件的限制，土石壩工程試驗數(shù)據(jù)有限，樣本數(shù)量無法達到統(tǒng)計要求，僅可獲得非線性強度參數(shù)的邊緣分布函數(shù)與相關系數(shù)，即不完備概率信息．在不完備概率信息條件下，無法確定合理的非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)．Copula函數(shù)為不完備概率信息條件下構(gòu)造非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)提供了一種簡單有效的途徑，在巖土工程可靠度分析領域得到廣泛應用[22-27]，如Tang等[28]和Li等[29]采用Copula函數(shù)對巖土結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度進行了研究；Xu等[30]基于Copula理論對地震邊坡進行了三維可靠度分析；Pan等[31]基于Copula函數(shù)建立了隧道工程鉆進工作面可靠度分析模型．目前，尚未見到關于筑壩堆石料非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型研究，鑒于Copula函數(shù)在建立巖土體參數(shù)聯(lián)合分布模型方面的顯著優(yōu)勢，有必要采用Copula函數(shù)對筑壩堆石料非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型進行研究，為準確評估土石壩壩坡穩(wěn)定可靠度提供可靠的模型、數(shù)據(jù)支持，對于探索土石壩壩坡穩(wěn)定可靠度分析具有重要的意義．

因此，本文在考慮堆石料非線性強度參數(shù)不完備概率信息條件下，采用Copula函數(shù)建立非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型，結(jié)合徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(radial basis function network，RBFN)提出土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析智能響應面法，并通過與傳統(tǒng)獨立正態(tài)分布模型算例結(jié)果進行比較，分析基于Copula函數(shù)建立非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型開展土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析的必要性．最后，系統(tǒng)研究Copula函數(shù)類型與樣本數(shù)量對土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度的影響規(guī)律．

1 基于Copula函數(shù)建立非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型

Copula理論[32]認為可以根據(jù)N個邊緣分布函數(shù)和相關結(jié)構(gòu)精確地建立N維聯(lián)合分布函數(shù)模型．基于二維分布，Copula函數(shù)定義為[0，1]2空間中邊緣分布為區(qū)間[0，1]的均勻分布[33]，由Sklar定理[32]，非線性強度參數(shù)φ0和Δφ的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(φ0，Δφ)=C(F1(φ0)，F(xiàn)2(Δφ)；θ)=C(u1，u2；θ)

(1)

式中：u1=F1(φ0)、u2=F2(Δφ)分別為非線性強度參數(shù)φ0和Δφ的邊緣分布函數(shù)，θ為Copula 函數(shù)的參數(shù)．

非線性強度參數(shù)φ0和Δφ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

f(φ0，Δφ)=f1(φ0)f2(Δφ)D(F1(φ0)，F(xiàn)2(Δφ)；θ)

(2)

式中：f1(φ0)、f2(Δφ)分別為非線性強度參數(shù)φ0和Δφ的邊緣概率密度函數(shù)，D(F1(φ0)，F(xiàn)2(Δφ)；θ)為Copula函數(shù)的密度函數(shù)．

當已知Copula函數(shù)、非線性強度參數(shù)的邊緣分布函數(shù)和邊緣概率密度函數(shù)及Copula函數(shù)的參數(shù)，由式(1)、(2)便可求出非線性強度參數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)．

Copula函數(shù)的參數(shù)θ可由Kendall秩相關系數(shù)或Pearson線性相關系數(shù)求得[33]．Kendall秩相關系數(shù)R的表達式為

(3)

Copula函數(shù)的參數(shù)為

(4)

2 三維邊坡穩(wěn)定分析

二維邊坡穩(wěn)定分析方法概念明確、理論成熟、計算方便、應用廣泛．然而，在實際工程中邊坡失穩(wěn)破壞均呈三維狀態(tài)，三維邊坡穩(wěn)定分析能真實反映邊坡寬度、邊界條件等影響，可直接用于三維邊坡坡面三量分布規(guī)律的研究．對于土石壩工程，寬河谷、低壩應用二維分析計算簡便、保守安全．然而，隨著施工技術的進步，土石壩壩體形狀逐步向更窄、更高的方向發(fā)展，河谷三維效應明顯，二維簡化分析可能會造成分析結(jié)果不夠準確[34-36]．為避免二維模型分析存在的不足，真實反映土石壩的形狀分布，獲得更符合實際狀態(tài)的分析成果，開展三維邊坡穩(wěn)定分析是十分必要的．

因此，本文在課題組開發(fā)的有限元分析軟件GEODYNA基礎上，開發(fā)了三維邊坡穩(wěn)定程序并進行了算例驗證，為深入開展土石壩三維壩坡動力穩(wěn)定可靠度研究提供有效的技術手段．

本文通過有限元分析得到單元應力的各個分量，得到滑動面上點的應力分量，再由滑動面上的應力分量，求得滑動面上的法向與切向應力．

一般空間問題包含6個應力分量、6個變形分量和3個位移分量，且均為x、y、z坐標變量函數(shù)．已知任意一點P的應力分量σx、σy、σz、τxy=τyx、τxz=τzx、τyz=τzy，斜面上任意一點P附近取一個平面ABC，過點P與平行于坐標面的3個平面形成一個微小四面體PABC，如圖1所示，當四面體PABC無限減小而趨于點P時，平面ABC上的應力為該斜面上的應力．

圖1 四面體PABC的應力狀態(tài)

假設平面ABC外法線n′的方向余弦為cos(n′，x)=l，cos(n′，y)=m，cos(n′，z)=n.根據(jù)四面體的平衡條件∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，可得：

FP，x=lσx+mτyx+nτzx
FP，y=mσy+nτzy+lτxy
FP，z=nσz+lτxz+mτyz

平面ABC的法向應力σ和切向應力τ分別為

σ=l2σx+m2σy+n2σz+2mnτyz+2nlτzx+2lmτxy

由此可知任意斜面上安全系數(shù)的表達式為

式中：ci、φi分別為第i個單元體的黏聚力和內(nèi)摩擦角；Si為滑弧穿過第i個單元的面積；σi、τi分別為第i個單元滑弧面上的法向和切向應力；N為求和數(shù)量．

滑動面搜索采用枚舉法，即通過規(guī)定的球心空間范圍和橢球體長短軸半徑進行搜索，按規(guī)定順序逐次進行計算，在所有滑動面中選取安全系數(shù)最小值為該邊坡的安全系數(shù)最小值．詳細的分析方法及驗證過程見文獻[37]．

3 基于Copula函數(shù)的土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析

3.1 土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度定義

土石壩坡體內(nèi)可能存在大量潛在滑動面，壩坡可沿坡體內(nèi)任意滑動面滑動．因此，可將土石壩壩坡穩(wěn)定問題定義為一個由大量潛在滑動面構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)可靠度問題．串聯(lián)系統(tǒng)整體失效概率Pf可以表示為

Pf≈P(E(Fs1(X)<1))∪P(E(Fs2(X)<1))∪…∪P(E(FsM(X)<1))

(5)

式中：P(·)為邊坡失效事件的發(fā)生概率，F(xiàn)si(X)為壩坡沿滑動面i發(fā)生失穩(wěn)破壞的安全系數(shù)，E(Fsi(X)<1)為壩坡沿滑動面i發(fā)生失穩(wěn)破壞的事件，M為計算的壩坡失穩(wěn)破壞的滑動面數(shù)量．土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)失效概率的表達式為

(6)

式中：X={x1，x2，…，xD}為影響壩坡穩(wěn)定的隨機變量，D為隨機變量的數(shù)量；g(X)=Fs(X)-1.0，為功能函數(shù)，F(xiàn)s(X)為用確定性壩坡穩(wěn)定分析方法解得的安全系數(shù)；fx(X)為聯(lián)合概率密度函數(shù)．但是，聯(lián)合概率密度函數(shù)求解十分困難，只可近似求解，計算結(jié)果存在較大的誤差．因此，工程中多采用Monte-Carlo法(MCS)，其基本表達式為

(7)

3.2 土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析智能響應面法

Monte-Carlo法(MCS)概念清晰、明確，但需要進行大量的確定性計算，時間成本高、效率低．為了提高計算效率、保證計算精度，本文提出了土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析的智能響應面法．該方法適應能力強，容錯性高，且具有更大靈活性和強非線性的擬合方法，計算精度高，并在二維邊坡可靠度分析中得到了很好的驗證、應用[38-41]．

(8)

式中：A為徑向基函數(shù)的擴展常數(shù)，反映了函數(shù)圖像的寬度．

RBFN選定單元j的最終輸出可以表示為

(9)

其中wjh為輸出層的權重．

圖2 RBFN結(jié)構(gòu)

3.3 基于Copula函數(shù)的土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析框架

本文借助MATLAB程序，基于Copula函數(shù)與智能響應面法計算土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)失效概率．主要分為3個步驟：(1)建立符合原始數(shù)據(jù)分布特征的聯(lián)合分布模型；(2)確定壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析的智能響應面；(3)進行土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析．具體的分析流程如圖3所示．

圖3 土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析流程

4 算例分析

4.1 計算模型

本文將面板堆石壩作為分析對象，建立了高度為200 m的計算模型．壩頂寬16 m，上、下游壩坡系數(shù)分別為1.4、1.6，面板厚度為0.3+0.003 5H(H為壩高)，大壩分層填筑，蓄水高度為175 m，下游無水．面板和堆石料間設置接觸面單元．

計算模型共計80 573個節(jié)點，75 980個單元，包括壩體、兩側(cè)山體及基巖，在基巖底部及四周山體施加約束，分析靜力荷載作用下土石壩三維壩坡穩(wěn)定性，有限元模型如圖4所示．

4.2 建立堆石料非線性強度參數(shù)數(shù)據(jù)庫

足夠的樣本數(shù)量是進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的基礎，土石壩工程多為小樣本數(shù)據(jù)，無法達到統(tǒng)計要求．為準確表征堆石料非線性強度參數(shù)的概率分布類型與相關性特征，本文參考類似工程的試驗資料，詳細匯總了國內(nèi)外124座土石壩工程相關信息，得到767組堆石料非線性強度參數(shù)數(shù)據(jù)(如圖5所示)，為建立準確的堆石料非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型提供重要的數(shù)據(jù)支持．因試樣及試驗誤差等眾多因素的影響，統(tǒng)計的數(shù)據(jù)中可能存在異常點，本文選用3σ法則對異常點進行剔除，得到755組有效數(shù)據(jù)．其他材料參數(shù)如表1所示．

圖5 堆石料非線性強度參數(shù)數(shù)據(jù)

表1 材料參數(shù)

4.3 建立堆石料非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型

4.3.1 最優(yōu)邊緣分布函數(shù) 為了能夠合理且全面地涵蓋堆石料非線性強度參數(shù)的最優(yōu)概率分布類型，本文選取表2所示5種邊緣分布函數(shù)，結(jié)合AIC[42]與BIC[43]準則確定最優(yōu)邊緣分布函數(shù)．結(jié)果如表3所示，由表可知，堆石料非線性強度參數(shù)φ0、Δφ最優(yōu)邊緣分布類型分別為威布爾分布與截尾正態(tài)分布．圖6給出了基于原始數(shù)據(jù)擬合的5種不同邊緣分布概率密度曲線，顯然，最優(yōu)分布函數(shù)類型能夠更好地擬合數(shù)據(jù)的分布特征，結(jié)果與表3一致．

4.3.2 最優(yōu)Copula函數(shù) 數(shù)學上有多種Copula函數(shù)，鑒于堆石料非線性強度參數(shù)間存在顯著的正相關性，因此，本文選擇能夠很好表征正相關性的8種Copula函數(shù)(如表4所示)，采用AIC與BIC準則確定最優(yōu)Copula函數(shù)，結(jié)果如表5所示，由表可知，最優(yōu)Copula函數(shù)是Plackett Copula函數(shù)．圖7展示了原始數(shù)據(jù)二維頻率直方圖與二維Plackett Copula函數(shù)概率密度函數(shù)圖，顯然，圖7(a)與(b)具有相似的分布形狀，說明Plackett Copula函數(shù)能夠準確地描述堆石料非線性強度參數(shù)間的相關性．

表2 5種備選邊緣分布函數(shù)

表3 最優(yōu)邊緣分布函數(shù)識別結(jié)果

表4 8種Copula函數(shù)

表5 最優(yōu)Copula函數(shù)識別

4.3.3 堆石料非線性強度參數(shù)仿真數(shù)據(jù)模擬 確定最優(yōu)邊緣分布函數(shù)與Copula函數(shù)之后，由式(1)可得堆石料非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)．聯(lián)合分布函數(shù)的主要作用是模擬符合堆石料分布特征的仿真數(shù)據(jù)，為土石壩壩坡穩(wěn)定可靠度分析提供可靠的具有統(tǒng)計意義的參數(shù)樣本．圖8分別展示了傳統(tǒng)獨立正態(tài)分布模型與最優(yōu)Copula函數(shù)(Plackett Copula函數(shù))構(gòu)造的聯(lián)合分布模型模擬的30 000組仿真數(shù)據(jù)．顯然，傳統(tǒng)獨立正態(tài)分布模型仿真數(shù)據(jù)呈離散均勻分布，無法考慮變量間的邊緣分布與相關性．Plackett Copula函數(shù)能夠較準確地擬合實測數(shù)據(jù)的分布特征，驗證了表5結(jié)果的準確性．

4.4 結(jié)果分析

圖9給出了不同安全系數(shù)下，傳統(tǒng)獨立正態(tài)分布與最優(yōu)Copula函數(shù)建立的聯(lián)合分布模型計算的土石壩三維壩坡失效概率．由圖可知，傳統(tǒng)獨立正態(tài)分布模型忽略了非線性強度參數(shù)的相關性，計算的失效概率過小，高估了土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)的可靠度．

圖9 不同分布模型的壩坡系統(tǒng)失效概率

因此，在進行土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析時，應充分考慮非線性強度參數(shù)的相關性，基于Copula函數(shù)合理描述樣本數(shù)據(jù)的邊緣分布與相關結(jié)構(gòu)，為準確評估土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度提供模型、數(shù)據(jù)支持．

5 結(jié)果討論

不同的Copula函數(shù)具有不同的結(jié)構(gòu)類型，對壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)失效概率有顯著的影響．因此，合理選擇Copula函數(shù)是分析壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度的重要環(huán)節(jié)．同時，巖土工程中多為小樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)量可能對參數(shù)的相關性等產(chǎn)生影響．因此，本文從Copula函數(shù)類型與樣本數(shù)量兩個方面對土石壩三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度的影響進行討論．

5.1 Copula函數(shù)類型對土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度的影響

Plackett Copula函數(shù)是擬合堆石料非線性強度參數(shù)的最優(yōu)Copula函數(shù)．因此，將Plackett Copula函數(shù)作為分析標準，表6列出了不同分布模型計算的失效概率相對誤差．由表可知，不同Copula函數(shù)計算的失效概率具有明顯的差異，F(xiàn)rank Copula函數(shù)的相對誤差最小，tCopula函數(shù)的相對誤差最大．相較不同Copula函數(shù)計算的結(jié)果，傳統(tǒng)獨立正態(tài)分布模型計算的失效概率誤差遠遠大于標準值，平均相對誤差達到54.1%．

5.2 樣本數(shù)量對土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度的影響

Genest等[44]指出樣本數(shù)量對參數(shù)的相關性及置信區(qū)間影響顯著．因此，本文將堆石料非線性強度數(shù)據(jù)隨機分成8、16、32、54、100、200、400及755組共8種不同數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，采用表3、5中的最優(yōu)邊緣分布函數(shù)和Copula函數(shù)模擬30 000 組仿真數(shù)據(jù)，從模擬的非線性強度參數(shù)分布與失效概率兩個方面進行討論．

表6 不同Copula函數(shù)計算的失效概率的相對誤差

圖10展示了不同樣本數(shù)量模擬的非線性強度仿真數(shù)據(jù)的分布情況．樣本數(shù)量不同時，仿真數(shù)據(jù)形狀有顯著的差別，樣本數(shù)量低于100時，差別尤為顯著，仿真數(shù)據(jù)點更多集中分布在形狀很好的區(qū)域，這是因為樣本數(shù)量過少，統(tǒng)計特征不顯著，增加了數(shù)據(jù)采樣的不確定性；隨著樣本數(shù)量的增加，仿真數(shù)據(jù)分布形狀越來越接近，最后整體趨于穩(wěn)定．

表7列出了不同樣本數(shù)量計算的壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)失效概率及相對誤差(安全系數(shù)為1.3)．由表可知，當樣本數(shù)量低于100時，失效概率的誤差達到20%以上，樣本數(shù)量越少，誤差越大．樣本數(shù)量對于壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度有重要的影響，這主要體現(xiàn)在最優(yōu)邊緣分布函數(shù)與Copula函數(shù)的識別不夠準確，導致三維壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)失效概率計算誤差過大．

表7 不同樣本數(shù)量壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)失效概率

6 結(jié) 論

(1)在不完備概率信息條件下，Copula函數(shù)能夠合理表征堆石料非線性強度參數(shù)的相關非正態(tài)分布特征，可有效地建立堆石料非線性強度參數(shù)聯(lián)合分布模型，為土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析提供可靠的具有統(tǒng)計意義的參數(shù)樣本，對于準確評估土石壩工程安全具有重要的工程意義．

(2)傳統(tǒng)獨立正態(tài)分布模型忽略了堆石料非線性強度參數(shù)的相關非正態(tài)分布特征，計算的失效概率偏小，高估了壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)的可靠度．因此，在進行土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析時應充分考慮堆石料非線性強度參數(shù)間的相關非正態(tài)分布特性．

(3)Copula函數(shù)類型與樣本數(shù)量對土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度結(jié)果有顯著的影響，因此，在進行土石壩壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)可靠度分析時，應盡可能多地統(tǒng)計試驗數(shù)據(jù)，選擇能夠表征堆石料非線性強度參數(shù)的最優(yōu)Copula函數(shù)，提高壩坡穩(wěn)定系統(tǒng)失效概率的計算精度．