羅銀輝，鄭迦馨

（中國民用航空飛行學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣漢 618307）

0 引言

廣播式自動(dòng)相關(guān)監(jiān)視（automatic dependent surveillance-broadcast，ADS-B）系統(tǒng)是國外的設(shè)備，系統(tǒng)的衛(wèi)星信號(hào)源來自美國的GPS，一旦出現(xiàn)GPS信號(hào)精度降低甚至不可用的情況，民航飛行、訓(xùn)練保障等方面就會(huì)受到很大影響，探索研究將部分航空器的ADS-B機(jī)載設(shè)備的GPS信號(hào)源改成北斗信號(hào)源，并在實(shí)際運(yùn)行中檢驗(yàn)北斗系統(tǒng)的運(yùn)行精度、可用性、完好性和連續(xù)性。事實(shí)證明，基于北斗的ADS-B其導(dǎo)航經(jīng)度可用性、完好性和連續(xù)性并不比GPS差。衛(wèi)星定位［1］是ADS-B技術(shù)的兩大核心之一，因此，通過衛(wèi)星軌跡確定的北斗信號(hào)源十分重要。當(dāng)前，常用的獲取軌道位置的方法是通過對(duì)精密星歷進(jìn)行多種插值法，包括拉格朗日、牛頓、三角多項(xiàng)式插值方法［2-4］，但是精密星歷難以獲取，且主要用于事后處理；對(duì)于廣播星歷的插值，沙海等人［5］使用Powell法對(duì)衛(wèi)星軌跡進(jìn)行擬合，但僅針對(duì)2小時(shí)之內(nèi)的數(shù)據(jù)，時(shí)間范圍過短；F Cao等人［6］通過構(gòu)造一個(gè)等于脈沖力的恒定力來建立持續(xù)增加的加速度來對(duì)GEO衛(wèi)星進(jìn)行軌道擬合，但是結(jié)果表明操縱前的觀測結(jié)果確實(shí)會(huì)影響軌道確定和預(yù)測，且精度為米級(jí)，不夠精確。本文針對(duì)上述方法的缺點(diǎn)，提出基于最小二乘法［7］原理對(duì)三種衛(wèi)星分別進(jìn)行長時(shí)間的軌跡擬合，并就擬合值再與真實(shí)數(shù)值進(jìn)行比較，驗(yàn)證方法的有效性。

1 北斗衛(wèi)星廣播星歷及衛(wèi)星位置計(jì)算

1.1 北斗衛(wèi)星廣播星歷

北斗衛(wèi)星系統(tǒng)采用類GPS開普勒根數(shù)的廣播星歷，具有計(jì)算簡單、外推能力強(qiáng)和高精度的特點(diǎn)，具體參數(shù)包含歷元時(shí)的開普勒根數(shù)I、ω、M0、Ω），長期項(xiàng)改正參數(shù)（Δn、i0、Ω?e）以及（Cuc、Crs、Cis、Crc、Cic、Cuc）短周期改正項(xiàng)振幅3種不同類型的參數(shù)項(xiàng)［8］。

在GNSS領(lǐng)域中普遍采用與接收機(jī)獨(dú)立交換 格 式（receiver independent exchange format，RINEX）［9］進(jìn)行數(shù)據(jù)交換。RINEX格式例子解析如圖1所示，第一行“3.03”表示版本號(hào)，“N”表示廣播星歷，第二行表示創(chuàng)建此文件的程序和機(jī)構(gòu)“IONOSPHERIC CORR”表示的是電離層的校正參數(shù)，“END OF HEADER”表示表頭結(jié)束。之后的每八行記錄對(duì)應(yīng)衛(wèi)星在特定歷元下的廣播星歷參數(shù)。各個(gè)參數(shù)所在位置以及所代表的含義如表1所示。

圖1 BDS導(dǎo)航信息文件

表1 BDS衛(wèi)星星歷各個(gè)參數(shù)所在位置以及所代表的的含義

續(xù)表1

1.2 衛(wèi)星在歷元t時(shí)的位置計(jì)算

由于ADS-B主要的位置數(shù)據(jù)信息來源于北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（beidou navigation satellite system，BDS）［10］，因 此 BDS 提 供 的 定 位 信 息 精 確 度 與ADS-B的運(yùn)行能力息息相關(guān)。此時(shí)衛(wèi)星的位置計(jì)算就顯得尤為重要。在通常情況下，衛(wèi)星的位置數(shù)據(jù)是根據(jù)接收機(jī)接收到的衛(wèi)星導(dǎo)航電文中的廣播星歷參數(shù)按照直接法由固定的公式來計(jì)算，具體步驟如下：

計(jì)算衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的平均角速度：

其中，μ為地球的引力常數(shù)。

計(jì)算緯度幅角、徑向、軌道傾角攝動(dòng)改正項(xiàng)：

計(jì)算IGSO衛(wèi)星、MEO衛(wèi)星在ECEF坐標(biāo)系下的升交點(diǎn)經(jīng)度：

需要注意的是tk應(yīng)為兩個(gè)時(shí)間歷元之間的實(shí)際的全部時(shí)間差，必須對(duì)星期交接時(shí)的起始和結(jié)束進(jìn)行考慮，也就是說如果大于（或小于）302400 s，則要相應(yīng)的減去（或加上）604800 s。衛(wèi)星鐘差［11］可由下式計(jì)算（用表示衛(wèi)星的編號(hào)）：

式中，時(shí)間變量的單位是s，計(jì)算的鐘差單位為10-6s。

2 北斗衛(wèi)星廣播星歷擬合

為解決直接法過程繁瑣、效率低的問題，本文以時(shí)間為自變量，采用最小二乘法對(duì)廣播星歷進(jìn)行擬合，這樣當(dāng)接收機(jī)接收到新的參數(shù)時(shí)可以直接帶入最小二乘法進(jìn)行計(jì)算。

使用x構(gòu)造具有n+1列和以的長度為行數(shù)的Vandermonde矩陣［12］并生成線性方程組。

推導(dǎo)過程：

也就是說X*A=Y，那么A=(X′*X)-1*X′Y，得系數(shù)矩陣A。由于Vandermonde矩陣中的列是向量x的冪，因此條件數(shù)X對(duì)于高階擬合來說通常較大，生成一個(gè)奇異系數(shù)矩陣。若處于這些情況下，中心化和縮放可改善系統(tǒng)的數(shù)值屬性使得擬合更加可靠。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理

本文利用中國衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)管理辦公室測試評(píng)估中心2021年的廣播星歷（B1I/B3I）數(shù)據(jù)，選取了從2021年1月1日到2021年7月10日的數(shù)據(jù)（共172813條數(shù)據(jù)）。

由于數(shù)據(jù)包含誤差和錯(cuò)誤信息，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理［13］。首先，判斷缺失數(shù)據(jù)和錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，并進(jìn)行清洗。然后，判斷格式錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，并進(jìn)行數(shù)據(jù)校正，形成規(guī)格化數(shù)據(jù)。最后，將數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換為特征和索引格式。流程如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)預(yù)處理流程

3.2 軌跡分析

取t為當(dāng)前歷元的GPS時(shí)間，對(duì)模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到每個(gè)時(shí)刻的衛(wèi)星軌跡坐標(biāo)的曲線圖，形成衛(wèi)星軌跡圖，可以看到不同類型衛(wèi)星的軌跡大不相同。

（1）以2021年C01號(hào)衛(wèi)星為例的GEO衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系下的軌跡如圖2（a）所示?？梢钥吹?，GEO衛(wèi)星的軌跡重疊度很高，基本符合隨地球自轉(zhuǎn)而運(yùn)行的特點(diǎn)。

（2）以2021年C07號(hào)衛(wèi)星為例的IGSO衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系下的軌跡如圖2（b）所示。IGSO衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌跡垂直向下在地球表面的投影呈現(xiàn)“8”字形，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星軌跡呈螺旋上升又螺旋下降的重復(fù)運(yùn)動(dòng)，符合星下點(diǎn)［14］軌跡。

（3）以2021年C12號(hào)衛(wèi)星為例的MEO衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系下的軌跡如圖2（c）所示。MEO衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡垂直向下在地球表面的投影呈現(xiàn)波浪線，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)該衛(wèi)星運(yùn)行中僅保證了x、y方向的坐標(biāo)運(yùn)行成圓形，而z方向上呈波浪線形，符合星下點(diǎn)軌跡。

圖2 2021年衛(wèi)星運(yùn)行軌跡

3.3 擬合分析

取12小時(shí)內(nèi)時(shí)間間隔為60 min的時(shí)間序列t為橫坐標(biāo)，對(duì)模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到其對(duì)應(yīng)的實(shí)際運(yùn)行曲線和在時(shí)由最小二乘法擬合后的曲線如圖3所示，分別用星號(hào)、菱形和上三角形表示擬合后的軌跡，用黑色線條表示三條原始曲線，可以看出曲線基本能被擬合，且精度較高。

根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)行軌跡圖可以看出對(duì)于GEO衛(wèi)星三個(gè)方向上的位置變動(dòng)較大，而對(duì)于MEO和IGSO衛(wèi)星，相比較于x、y方向的坐標(biāo)變化，z方向上的變化可以忽略不計(jì)。因此在圖3（b）～（c）中z方向上的曲線相比于x、y方向幾乎呈直線。

圖3 衛(wèi)星軌跡擬合曲線圖（續(xù)）

圖3 衛(wèi)星軌跡擬合曲線

3.4 誤差分析

圖4為BDS各類衛(wèi)星在12小時(shí)內(nèi)經(jīng)最小二乘法擬合后得到的每個(gè)時(shí)刻的曲線擬合位置與實(shí)際位置之間的誤差e，在n+1時(shí)，可以看到，GEO衛(wèi)星、IGSO衛(wèi)星和MEO衛(wèi)星的擬合精度分別為10-5m、10-6m和10-4m，以星號(hào)、加號(hào)和直線表示對(duì)于x、y、z坐標(biāo)的誤差值，可以看到誤差呈現(xiàn)出中間較穩(wěn)定兩端誤差更大的情況，而相比較于x和z坐標(biāo)的變化，y的誤差變化在兩端更大，但這對(duì)于精度為米級(jí)的廣播星歷來說都可以忽略不計(jì)。

圖4 2021年衛(wèi)星坐標(biāo)誤差

圖4 2021年衛(wèi)星坐標(biāo)誤差（續(xù)）

4 結(jié)語

本文通過北斗衛(wèi)星廣播星歷計(jì)算出衛(wèi)星軌跡并可視化，通過使用最小二乘法對(duì)12小時(shí)內(nèi)的衛(wèi)星軌跡進(jìn)行擬合，擬合精度高，對(duì)于以米為精度的廣播衛(wèi)星可以忽略不計(jì)。本文提出的擬合方法可以實(shí)現(xiàn)軌道的實(shí)時(shí)運(yùn)算，并且計(jì)算簡單，提高了擬合效率，為獲取衛(wèi)星位置信息提供了可靠可行的方法和理論依據(jù)，同時(shí)也為ADS-B系統(tǒng)的運(yùn)行提供了獲取北斗衛(wèi)星信號(hào)源的方法。