可鈺，聶磊*，袁午陽,2

(1.北京交通大學(xué)，交通運輸學(xué)院，北京100044；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司，運輸及經(jīng)濟(jì)研究所，北京100081)

0 引言

高速鐵路和航空的快速發(fā)展為航空-鐵路聯(lián)合運輸提供發(fā)展契機(jī)?？砧F聯(lián)運作為比高鐵更快、比飛機(jī)更經(jīng)濟(jì)的運輸方式，可以滿足日益增長的中、長途旅客出行需求。其優(yōu)勢之一在于可以覆蓋更多的客流起訖點(Origin-Destination，OD)，為機(jī)場輻射的周邊地區(qū)提供更多的出行選擇機(jī)會，使旅客可以往返更多的目的地。如果高鐵時刻表不能與航空時刻表有效銜接，尤其當(dāng)空鐵聯(lián)運換乘樞紐的高鐵服務(wù)頻率較少時，將直接影響空鐵聯(lián)運的OD可達(dá)對數(shù)，可供旅客出行的選擇受限，進(jìn)而降低服務(wù)水平。因此，通過優(yōu)化高鐵時刻表提升空鐵聯(lián)運OD可達(dá)性的研究具備現(xiàn)實意義。

國內(nèi)外學(xué)者研究空鐵聯(lián)運的內(nèi)容主要有：LI等[1]以京廣運輸通道為背景，基于Logit模型分析空鐵聯(lián)運旅客的選擇行為，預(yù)測市場分擔(dān)率，并進(jìn)行敏感度分析，發(fā)現(xiàn)旅行時間是影響空鐵聯(lián)運分擔(dān)率的最重要因素；SOCORRO 等[2]針對機(jī)場具備能力約束和無能力約束兩種情況，通過理論模型分析空鐵聯(lián)運的社會和環(huán)境影響，為決策者提供評估空鐵聯(lián)運在不同假設(shè)場景中潛在影響的依據(jù)；CLEWLOW等[3]針對美國機(jī)場擁堵情況，研究鐵路如何作為短途支線服務(wù)為長途航空服務(wù)提供支持，并從4個角度研究航空和高鐵的連通性；KE等[4]以提高空鐵聯(lián)運服務(wù)的同質(zhì)性為目標(biāo)，對高鐵列車運行圖進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。

列車時刻表銜接優(yōu)化問題也是當(dāng)前的研究熱點。郭根材等[5]建立面向周期列車運行圖的接續(xù)約束生成模型，說明列車之間在接續(xù)時存在耦合關(guān)系，并提出消解沖突的破圈法。陳垚等[6]通過壓縮末班車區(qū)間運行時間與非換乘站停站時間、延長換乘站停站時間，建立網(wǎng)絡(luò)末班車時刻表優(yōu)化模型。溫芳等[7]通過優(yōu)化各線路末班車的發(fā)車時刻，構(gòu)建以各間隔起始時刻的關(guān)鍵OD 可達(dá)對數(shù)之和最大為目標(biāo)的優(yōu)化模型。胡倩蕓等[8]分析鐵路出站乘客轉(zhuǎn)乘地鐵的行為特征與客流規(guī)律，以銜接車站乘客總候車時間最小為目標(biāo)，建立城市軌道交通發(fā)車時刻優(yōu)化模型。

為充分發(fā)揮空鐵聯(lián)運的優(yōu)勢，本文面向空鐵聯(lián)運關(guān)鍵OD，基于固定的航空時刻表及既有高鐵時刻表的開行方案，提出空鐵聯(lián)運OD 可達(dá)性約束，量化列車在空鐵換乘樞紐的到發(fā)時刻、接續(xù)變量與可達(dá)性變量之間的關(guān)系，建立可達(dá)OD 數(shù)量最大、時刻表調(diào)整最小的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并以石家莊正定機(jī)場為背景進(jìn)行案例分析。

1 問題描述

近年來，可達(dá)性的概念被廣泛應(yīng)用于交通規(guī)劃、土地利用等領(lǐng)域.由于研究對象和研究方法不同，既有研究對可達(dá)性給出不同的定義?？梢员硎纠锰囟ǖ慕煌ㄏ到y(tǒng)從一個地點到達(dá)任何土地使用活動的便利性[9]，或是在指定時間范圍內(nèi)從一個起點到達(dá)研究城市的數(shù)量[10]，也可以描述線網(wǎng)內(nèi)可達(dá)的OD數(shù)量[7]。本文從高鐵列車時刻表編制層面，以鐵路和航空線網(wǎng)中的可達(dá)OD數(shù)量描述可達(dá)性。

空鐵聯(lián)運的OD 可達(dá)性關(guān)鍵取決于高鐵列車和航班的接續(xù)關(guān)系。由于涉及到高鐵和航空兩段行程，旅客必須通過換乘才能完成一次完整的空鐵聯(lián)運出行。高鐵和航班的接續(xù)時間既要大于旅客完成換乘的最短時間，又不能太長以免降低出行服務(wù)水平。滿足以上時間要求，列車和航班才存在接續(xù)關(guān)系，完成空鐵聯(lián)運服務(wù)。如果旅客通過某高鐵列車從出發(fā)車站到達(dá)空鐵換乘樞紐，完成換乘過程，再通過接續(xù)航班到達(dá)目的機(jī)場，則稱出發(fā)車站所在地和目的機(jī)場所在地組成的OD是“可達(dá)”的；類似地，旅客通過某航班從出發(fā)機(jī)場到達(dá)空鐵換乘樞紐，完成換乘后，再通過接續(xù)高鐵列車到達(dá)目的車站，則稱出發(fā)機(jī)場所在地和目的車站所在地組成的OD是“可達(dá)”的。

針對高鐵換乘至航空的空鐵聯(lián)運服務(wù)，考慮一條單線鐵路的空鐵聯(lián)運OD可達(dá)性問題，車站和機(jī)場分布如圖1所示。高鐵線路包括車站A、B、C，其中，車站C位于空鐵換乘樞紐；有3個機(jī)場，為機(jī)場C、M、N，機(jī)場C 位于空鐵換乘樞紐。在該線路中運行2列列車，列車1始發(fā)于車站A，終到于車站C；列車2 始發(fā)于車站A，經(jīng)停車站B，終到于車站C；有3 個離港航班，均始發(fā)于機(jī)場C，其中，航班1 和航班3 的目的地為機(jī)場M，航班2 的目的地為機(jī)場N。旅客在空鐵換乘樞紐內(nèi)可以接受的換乘時間范圍為1.5～4.0 h。圖1(a)為高鐵時刻表優(yōu)化前的空鐵聯(lián)運可達(dá)OD分布，列車1在8:00到達(dá)車站C，可以與航班1 接續(xù)，其接續(xù)時間為3.5 h，該列車與航班為OD 對AM 提供空鐵聯(lián)運服務(wù)；列車2 在12:00到達(dá)車站C，與航班3 接續(xù)，其接續(xù)時間為1.5 h，可以為OD對AM和BM提供空鐵聯(lián)運服務(wù)?；诋?dāng)前高鐵時刻表的空鐵聯(lián)運可達(dá)OD 數(shù)量為2 個，分別為AM和BM。優(yōu)化后的高鐵時刻表如圖1(b)所示，列車2 于11:30 達(dá)到車站C，額外增加列車2 和航班2 的接續(xù)，可達(dá)OD 數(shù)量為4 個，分別為AM，AN，BM和BN，較優(yōu)化前增加2個可達(dá)OD。

2 模型構(gòu)建

2.1 問題假設(shè)

為簡化模型，建立以下假設(shè)：

(1)高鐵列車的開行方案已知。

圖1 空鐵聯(lián)運可達(dá)ODFig.1 Illustration of OD accessibility AH intermodality

(2)航空的時刻表已知。

(3)僅考慮一次換乘。

(4)從接續(xù)的角度將空鐵聯(lián)運分為兩類服務(wù)，分別為“高鐵接續(xù)航空”(H-A接續(xù)服務(wù))，“航空接續(xù)高鐵”(A-H接續(xù)服務(wù))。

(5)兩類接續(xù)時間的時間窗已知。

(6)一列高鐵可以服務(wù)多個車站，并通過空鐵換乘樞紐與多架航班實現(xiàn)接續(xù)，可達(dá)性接續(xù)關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系為多車站對應(yīng)多機(jī)場。

2.2 參數(shù)定義

(1)模型中的參數(shù)

①列車和車站

I為列車集合，其中，I(T)為在空鐵換乘樞紐停站的列車集合，I(N)為在空鐵換乘樞紐不停站的列車集合，I(T)?I(N)=I；i,j分別為列車標(biāo)識；為在空鐵換乘樞紐停站，且在s站停站的列車集合。S為車站集合，s為車站標(biāo)識，h為空鐵換乘樞紐車站，Si為列車i經(jīng)過的車站集合，為列車i的始發(fā)站，為列車i的終到站，為列車i和j共同經(jīng)過的第一個車站，為列車i和j共同經(jīng)過的最后一個車站，S(H-A)為H-A 接續(xù)服務(wù)中的車站集合，S(A-H)為A-H接續(xù)服務(wù)中的車站集合。

②航班和機(jī)場

F(L)為離港航班集合，p為離港航班標(biāo)識，為航班p的離港時間，W為離港航班的終到機(jī)場集合，w為離港航班的終到機(jī)場標(biāo)識，為終到機(jī)場是w的航班集合；F(O)為進(jìn)港航班集合，q為進(jìn)港航班標(biāo)識，為航班q的進(jìn)港時間，U為進(jìn)港航班始發(fā)機(jī)場的集合，u為進(jìn)港航班始發(fā)機(jī)場標(biāo)識，為始發(fā)機(jī)場是u的航班集合。

③其他參數(shù)

ei,s表示列車i在車站s是否停車，取值為1 表示停車，取值為0 表示不停車；ri,s為列車i在區(qū)間[s,s+1] 的最小運行時間；αi,s和βi,s分別為列車i在區(qū)間[s,s+1] 的起、停附加時分；γi,s為列車i在區(qū)間[s,s+1] 的冗余運行時分；為列車i在車站s最小停站時間，為列車i在車站s最大停站時間；ψs為s站的列車最小到達(dá)追蹤時間間隔，ζs為s站的列車最小出發(fā)追蹤時間間隔；t(H-A-low)和t(H-A-up)分別為高鐵接續(xù)航空的最小換乘時間和最大換乘時間，t(A-H-low)和t(A-H-up)分別為航空接續(xù)高鐵的最小換乘時間和最大換乘時間；為原始時刻表中列車i在車站s的出發(fā)時刻，為原始時刻表中列車i在車站s的到達(dá)時刻；v為列車在始發(fā)、終到站偏移原始時刻表的時間窗。

(2)決策變量

為列車i在車站s的出發(fā)時間；為列車i在車站s的到達(dá)時間；φi,j,s為0-1 變量，當(dāng)列車i在車站s早于列車j出發(fā)時其數(shù)值為1，否則為0；對于H-A 接續(xù)服務(wù)，為0-1 變量，當(dāng)列車i與離港航班p接續(xù)成功時其數(shù)值為1，否則為0，為0-1 變量，當(dāng)車站s所在地與機(jī)場w所在地組成的OD 可達(dá)時其數(shù)值為1，否則為0；對于A-H 接續(xù)服務(wù)為0-1變量，當(dāng)進(jìn)港航班q與列車i接續(xù)成功時其數(shù)值為1，否則為0，為0-1 變量，當(dāng)機(jī)場u所在地與車站s所在地組成的OD可達(dá)時其數(shù)值為1，否則為0。

2.3 目標(biāo)函數(shù)

模型第1個目標(biāo)為最大化可達(dá)OD的數(shù)量?？砧F聯(lián)運包括兩類接續(xù)服務(wù)，故目標(biāo)函數(shù)Z1涉及到兩類OD可達(dá)性變量，即

在優(yōu)化空鐵聯(lián)運OD 可達(dá)性時，為保持運行圖的穩(wěn)定性，減少對既有時刻表的調(diào)整，以最小化時刻表調(diào)整作為第2 個目標(biāo)Z2。以優(yōu)化前和優(yōu)化后列車在經(jīng)停站的出發(fā)時間之差的絕對值之和作為調(diào)整量，即

2.4 約束條件

2.4.1 列車運行約束

每列列車i在各個區(qū)間[s,s+1]的運行時間需要考慮運行過程中的最小運行時間ri,s、起車附加時分αi,s、停車附加時分βi,s+1和冗余時間γi,s，即

每列列車i在中間站s的停站時間需要在規(guī)定的最小值和最大值之間，如果列車在車站無停車要求，相應(yīng)的停站方案ei,s取0，即可保證列車的停站時間為0。停站約束為

在既有的原始時刻表中，列車的始發(fā)時間和終到時間已知。給定調(diào)整時間窗v，每列列車i在始發(fā)站的出發(fā)時間需要在規(guī)定的時間窗之內(nèi)，同時在終到站的到達(dá)時間需要在規(guī)定的時間窗之內(nèi)，其始發(fā)、終到時間約束為

2.4.2 列車安全約束

所有列車需要滿足區(qū)間安全約束，既要滿足列車出發(fā)追蹤間隔約束和到達(dá)追蹤間隔約束，同時在運行區(qū)間不能發(fā)生越行，故安全約束為

式中：M為一個數(shù)值很大的系數(shù)。

2.4.3 邏輯約束

所有列車在每個運行區(qū)間的邏輯關(guān)系約束為

2.4.4 空鐵聯(lián)運OD可達(dá)性約束

分別從兩類空鐵聯(lián)運接續(xù)服務(wù)建立OD 可達(dá)性約束。

(1)H-A接續(xù)服務(wù)

當(dāng)列車i∈I(T)在空鐵換乘樞紐能夠與離港航班p∈F(L)接續(xù)，即接續(xù)變量1，則說明兩者的接續(xù)時間(離港航班p的出發(fā)時間與列車i在換乘站h的到達(dá)時間之差)大于等于最小的換乘時間t(H-A-low)，且小于等于旅客可容忍的最大換乘時間t(H-A-up)；否則，0。因此，存在約束為

車站s所在地與機(jī)場w所在地組成的OD若可達(dá)需要滿足3 個條件：①由在空鐵換乘樞紐停站，且在s∈S(H-A)停站的列車i∈Is(T)服務(wù)；②由終到機(jī)場是w的航班p∈Fw(L)服務(wù)；③列車i∈Is(T)與航班p∈Fw(L)的接續(xù)時間滿足式(14)。所以，同時滿足上述3 個條件的列車i和航班可以保證取值為1。OD 可達(dá)性變量與接續(xù)變量之間的關(guān)系為

因目標(biāo)函數(shù)為最大化可達(dá)OD 數(shù)量，式(15)等價于

對式(14)進(jìn)行線性化處理，得到

(2)A-H接續(xù)服務(wù)

類似于H-A接續(xù)服務(wù)，當(dāng)進(jìn)港航班q∈F(O)與列車i∈I(T)接續(xù)，即1，則說明兩者的接續(xù)時間(列車i在換乘站的出發(fā)時間與進(jìn)港航班q的到達(dá)時間之差)大于等于最小的換乘時間t(A-H-low)，且小于等于旅客可容忍的最大換乘時間t(A-H-up)；否則，0。故存在約束為

機(jī)場u所在地與車站s所在地組成的OD若可達(dá)需要滿足以下3個條件：①由始發(fā)機(jī)場是u的航班q∈服務(wù)；②由在空鐵換乘樞紐停站，且在s∈S(A-H)停站的列車i∈服務(wù)；③航班q∈與列車i∈的接續(xù)時間滿足式(19)?？蛇_(dá)變量與接續(xù)變量之間的關(guān)系為

式(20)等價于

同理，對式(19)進(jìn)行線性化得到

2.4.5 求解方法

模型為多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃模型，區(qū)別于普通時刻表優(yōu)化模型，考慮列車與航班的接續(xù)關(guān)系和可達(dá)關(guān)系，增加了問題的復(fù)雜度。求解思路是基于分層優(yōu)化思想，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，單目標(biāo)問題采用商業(yè)軟件ILOG CPLEX求解。首先，計算在空鐵換乘樞紐停站列車I(T)的時刻表，即以最大化Z1為目標(biāo)，以式(3)～式(13)，式(16)～式(18)和式(21)～式(23)為約束，使用ILOG CPLEX求解列車I(T)的時刻表；然后，計算在空鐵換乘樞紐不停站列車I(N)的時刻表，即在列車I(T)時刻表固定的前提下，以最小化Z2為目標(biāo)，以式(3)～式(13)為約束，使用ILOG CPLEX求解列車I(N)的時刻表。

3 實例分析

3.1 相關(guān)參數(shù)

以石家莊正定機(jī)場及其高鐵站作為空鐵換乘樞紐研究對象，優(yōu)化調(diào)整京廣運輸通道中北京-鄭州區(qū)段下行方向高鐵時刻表。選擇2018年7月28日7:00-21:00間112列高鐵的時刻表數(shù)據(jù)，其中，經(jīng)停正定機(jī)場高鐵站的列車數(shù)量為16 列，其他列車數(shù)量為96列。本文以關(guān)鍵OD作為研究對象，不考慮客流需求較少的車站和機(jī)場；同時，結(jié)合空鐵聯(lián)運優(yōu)勢運距，不考慮短途航班。因此，該案例中關(guān)鍵空鐵聯(lián)運OD 涉及10 個車站，96 個離港航班，36個目的機(jī)場，71個進(jìn)港航班，26個始發(fā)機(jī)場。其他相關(guān)參數(shù)如表1所示。使用MATLAB R2015b調(diào)用ILOG CPLEX 12.5 求解器在8 G 內(nèi)存、Intel i5 3.0 GHz的環(huán)境下進(jìn)行編程測試案例。

3.2 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化前，關(guān)鍵空鐵聯(lián)運可達(dá)OD 為160 個，H-A接續(xù)服務(wù)OD 數(shù)量為76 個，A-H 接續(xù)服務(wù)OD 數(shù)量為84 個。優(yōu)化后，關(guān)鍵空鐵聯(lián)運可達(dá)OD 為181個，比優(yōu)化前增加21 個可達(dá)OD，提高13.13%。其中，H-A 接續(xù)服務(wù)OD 數(shù)量為89 個，A-H 接續(xù)服務(wù)OD 數(shù)量為92 個。增加的可達(dá)OD 對如表2所示?？傉{(diào)整時間為1681 min，每列高鐵在每個經(jīng)停車站的平均調(diào)整出發(fā)時間為3.27 min。其中，列車I(T)平均調(diào)整出發(fā)時間為18.18 min，列車I(N)平均調(diào)整出發(fā)時間為0.90 min。ILOG CPLEX 總運算時間為4287 s。

3.3 靈敏度分析

對不同始發(fā)、終到時間窗進(jìn)行靈敏度分析，測試時間窗的寬度和空鐵聯(lián)運可達(dá)OD 數(shù)量之間的關(guān)系。不同時間窗寬度取值結(jié)果如圖2所示。

表1 相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters

表2 優(yōu)化后增加的可達(dá)OD 對Table 2 AH intermodality accessible OD after adjustment of timetabling

圖2 不同始發(fā)、終到時間窗寬度對應(yīng)的空鐵聯(lián)運可達(dá)OD 數(shù)量Fig.2 Number of AH intermodality accessible OD for different time window

由圖2可知，隨時間窗寬度增加，即隨著列車可偏移原時刻表的時間范圍增大，空鐵聯(lián)運可達(dá)OD的數(shù)量在不斷增加。當(dāng)時間窗寬度為0 min 時，即僅通過調(diào)整列車在不同車站的停站時間及運行時間，便可增加4個可達(dá)OD；當(dāng)始發(fā)、終到時間窗擴(kuò)大到90 min時，可達(dá)OD數(shù)量增加到190個，比優(yōu)化前的時刻表增加30個。但是，時間窗的增加意味著調(diào)整后的時刻表比原有時刻表的偏移程度增加，一方面過大的偏移可能導(dǎo)致動車交路的改變，從而增加列車運行成本；另一方面可能影響原有已經(jīng)培養(yǎng)的客流乘車習(xí)慣，進(jìn)而影響客流量。

4 結(jié)論

為提高空鐵聯(lián)運服務(wù)質(zhì)量，本文提出空鐵聯(lián)運OD 可達(dá)性約束，建立面向關(guān)鍵空鐵聯(lián)運OD 可達(dá)性的高鐵時刻表優(yōu)化模型。以石家莊正定機(jī)場為案例，利用ILOG CPLEX 在可接受的時間范圍內(nèi)求出最優(yōu)解。結(jié)果表明，在始發(fā)、終到時間窗為40 min 的前提下，關(guān)鍵可達(dá)OD 數(shù)量增加21 個，比既有時刻表提升13.13%，時刻表總調(diào)整時間為1681 min，平均每列列車在每個停站的出發(fā)調(diào)整時間為3.27 min，說明模型在保證列車穩(wěn)定性的同時能夠有效提升空鐵聯(lián)運可達(dá)性。分析不同始發(fā)、終到時間窗靈敏度發(fā)現(xiàn)，空鐵聯(lián)運可達(dá)OD數(shù)量隨著時間窗的擴(kuò)大而顯著增加，但有必要平衡增加可達(dá)OD數(shù)量與由此產(chǎn)生的運行成本之間的關(guān)系。