張力文， 徐齊平， 劉錦陽(yáng)

(上海交通大學(xué) 工程力學(xué)系， 上海 200240)

不同于具有高剛度和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)剛性機(jī)器人，軟體機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、人機(jī)交互安全性強(qiáng)、靈活性高、與復(fù)雜工作環(huán)境兼容性好的優(yōu)點(diǎn)，是目前機(jī)器人行業(yè)中最具吸引力的領(lǐng)域之一.軟體機(jī)器人主要利用形狀記憶合金、橡膠材料、硅膠、介電彈性體及芳綸纖維等柔性材料制成[1-5]，能夠完成蠕動(dòng)、游動(dòng)、越障、跳躍及抓握等復(fù)雜的動(dòng)作[6-10].其驅(qū)動(dòng)方式主要包括流體驅(qū)動(dòng)、形狀記憶合金驅(qū)動(dòng)及電活性聚合物驅(qū)動(dòng)等[11-13].

目前，軟體機(jī)器人的研究還處于起步階段，研究者們通常從自然界生物的外形結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)模式獲得靈感，設(shè)計(jì)適用于特殊環(huán)境作業(yè)的仿生機(jī)器人.Rafsanjani等[5]研制出了一種由硅橡膠管組成的蛇形機(jī)器人，當(dāng)機(jī)器人充氣膨脹時(shí)，附著于機(jī)器人表面的可拉伸的塑料薄片會(huì)被迫彈出，從而錨定于地面上，整個(gè)機(jī)器人即可利用這些錨定的塑料片的拉動(dòng)前進(jìn)，這種蠕動(dòng)爬行的運(yùn)動(dòng)方式為眾多仿蠕蟲(chóng)和仿蛇的軟體爬行機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)研究提供了新思路.王江北等[14]設(shè)計(jì)了一種多氣囊軟體爬行仿生機(jī)器人，通過(guò)對(duì)其硅膠材料的本構(gòu)關(guān)系的研究，得出了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)步幅和內(nèi)部氣壓的關(guān)系，并利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該理論關(guān)系的可行性，為此類(lèi)氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)的軟體爬行機(jī)器人爬行步幅的實(shí)驗(yàn)研究提供了理論指導(dǎo).

在所有的仿生軟體爬行機(jī)器人中，尺蠖形四足軟體爬行機(jī)器人靈活性好、實(shí)用性強(qiáng)，是很多科研人員的重點(diǎn)研究對(duì)象.哈佛大學(xué)的Shepherd及其團(tuán)隊(duì)對(duì)該類(lèi)四足軟體爬行機(jī)器人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，通過(guò)對(duì)機(jī)器人四肢上簡(jiǎn)單的閥門(mén)系統(tǒng)進(jìn)行充放氣控制，可實(shí)現(xiàn)四足之間的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，從而能完成較為復(fù)雜的爬行動(dòng)作[15].隨后，他們還利用高彈性硅膠材料制造出了抗干擾性更強(qiáng)的軟體機(jī)器人，該機(jī)器人由電動(dòng)空氣壓縮機(jī)驅(qū)動(dòng)，可以在嚴(yán)寒、炎熱等惡劣條件下長(zhǎng)時(shí)間自主行進(jìn)，并能抵抗高強(qiáng)度沖擊、碾壓等不利因素的干擾[16].雖然Shepherd及其團(tuán)隊(duì)對(duì)四足軟體爬行機(jī)器人的結(jié)構(gòu)、材料、運(yùn)動(dòng)步態(tài)以及適應(yīng)能力進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，但是未對(duì)軟體機(jī)器人的建模進(jìn)行深入研究.

氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)的軟體機(jī)器人由多個(gè)氣腔構(gòu)成，對(duì)其進(jìn)行力學(xué)建模是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程.目前，對(duì)氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)的軟體機(jī)器人的建模方法主要包括兩種：基于歐拉伯努利理論的曲梁建模方法和非線(xiàn)性有限元建模方法.加州大學(xué)伯克利分校的O’Reilly等[17-18]用曲梁建模方法對(duì)四足軟體爬行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)和地面的黏附情況進(jìn)行了建模和理論分析，得出了與地面線(xiàn)接觸情況下軟體機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性條件.隨后，他們還對(duì)于該類(lèi)機(jī)器人和地面的摩擦接觸情況進(jìn)行了分析，提出了一種能夠預(yù)測(cè)其運(yùn)動(dòng)方向的基于摩擦定律的彈性桿理論模型[19].文獻(xiàn)[20]還基于已經(jīng)得出的穩(wěn)定性條件和摩擦模型，將四足軟體爬行機(jī)器人的力學(xué)模型簡(jiǎn)化為曲梁模型，對(duì)該類(lèi)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了理論上的建模和分析.然后，他們繼續(xù)通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)，得出了四足軟體爬行機(jī)器人單個(gè)氣動(dòng)致動(dòng)器的曲率、彎矩以及內(nèi)部壓強(qiáng)之間的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了理論模型的正確性[21].此外，Majidi等[19]基于歐拉伯努利曲梁模型和庫(kù)倫摩擦理論建立了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向和接觸面上摩擦力之間的理論關(guān)系.Matia等[22]采用基于歐拉伯努利梁模型估算了驅(qū)動(dòng)的氣壓和變形之間的函數(shù)關(guān)系.Suzumori等[7,23]采用非線(xiàn)性有限元方法進(jìn)行仿真計(jì)算，能夠得到相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果，但是計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，仿真效率較低.

以上學(xué)者對(duì)尺蠖四足軟體爬行機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)提出了較為完善的理論模型，但是他們?cè)谘芯窟^(guò)程中未考慮軟體機(jī)器人在不同運(yùn)動(dòng)階段之間的聯(lián)系，因此也未能反映機(jī)器人在整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的連續(xù)變化情況.

本文針對(duì)軟體尺蠖爬行機(jī)器人建立了滑塊-曲梁的簡(jiǎn)化模型，并對(duì)運(yùn)動(dòng)控制方程進(jìn)行離散和無(wú)量綱化，利用牛頓迭代法求解準(zhǔn)靜態(tài)條件的邊值問(wèn)題.首先對(duì)軟體機(jī)器人在氣壓作用下的彎曲變形進(jìn)行仿真，通過(guò)靜力學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的可行性，在此基礎(chǔ)上分析了軟體機(jī)器人在整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期全過(guò)程中的姿態(tài)變化、行進(jìn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律情況.通過(guò)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的討論和分析，得到軟體尺蠖機(jī)器人爬行運(yùn)動(dòng)的一般性規(guī)律，對(duì)于仿生爬行機(jī)器人的設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)分析具有一定的指導(dǎo)意義和價(jià)值.

1 軟體尺蠖爬行機(jī)器人的簡(jiǎn)化力學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)過(guò)程的描述

在初始狀態(tài)下對(duì)軟體尺蠖機(jī)器人充氣，可使其獲得一定大小的初始曲率，如圖1所示.本文利用具有初始曲率的曲梁表示機(jī)器人的彎曲構(gòu)型，從而把整個(gè)軟體機(jī)器人簡(jiǎn)化為由剛性滑塊和曲梁構(gòu)成的簡(jiǎn)化模型，稱(chēng)之為軟體尺蠖機(jī)器人的滑塊-曲梁模型[8]，如圖2所示.圖中曲梁的線(xiàn)密度為ρ，滑塊的質(zhì)量為ms，重力加速度為g，假設(shè)水平向右為E1方向，豎直向上為E2方向，建立整體坐標(biāo)系OE1E2，原點(diǎn)O位于初始條件下滑塊與曲梁的連接處，且假設(shè)曲梁中線(xiàn)上任意一點(diǎn)沿E1方向和E2方向的坐標(biāo)分別為x、y.

圖1 軟體尺蠖機(jī)器人Fig.1 Soft inchworm-like robot

圖2 滑塊-曲梁模型Fig.2 Slider-curved beam model

圖3 切向量r′(s)Fig.3 Tangential vector r′(s)

設(shè)曲梁中軸線(xiàn)上某一點(diǎn)距離其最左端處的弧長(zhǎng)為s，曲梁總長(zhǎng)度為l，該點(diǎn)處曲梁中軸線(xiàn)的切向量為r′(s)，如圖3所示.假設(shè)曲梁上處于0和s之間的任意一點(diǎn)的弧長(zhǎng)為ξ，則切向量相對(duì)E1方向的姿態(tài)角θ為s的函數(shù)，其中，

(1)

設(shè)曲梁的初始曲率為κ0.根據(jù) O’Reilly 的研究發(fā)現(xiàn)，初始曲率與氣腔內(nèi)的氣壓成正比[21]，因此可通過(guò)控制κ0的變化對(duì)軟體機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制.本文采用的κ0具有如下形式：

(2)

由于未知量的個(gè)數(shù)以及邊界條件的不同，將軟體尺蠖機(jī)器人在整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期的運(yùn)動(dòng)狀況劃分為3個(gè)不同的階段，如圖4所示，圖中Δ為位移大小.

根據(jù)軟體機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀況，其在一個(gè)周期內(nèi)的3個(gè)不同階段的大致特征為：

(1) 階段C：機(jī)器人部分黏附于地面，隨著滑塊曲梁的初始曲率幅值從0逐漸開(kāi)始增大，滑塊逐漸向右滑移，曲梁和地面的黏附部分長(zhǎng)度也逐漸減少，即曲梁與地面逐漸剝離直到完全脫離，從而過(guò)渡到階段A.

(2) 階段A：機(jī)器人右端和地面點(diǎn)接觸，且該接觸點(diǎn)和滑塊都黏滯不動(dòng)，隨著曲梁的初始曲率幅值減小，曲梁右端點(diǎn)處所需的摩擦力逐漸增大，該點(diǎn)逐漸產(chǎn)生向右滑移的趨勢(shì).當(dāng)曲梁的初始曲率幅值減小到一定值時(shí)，曲梁右端點(diǎn)開(kāi)始滑移，從而過(guò)渡到階段B.

(3) 階段B：機(jī)器人右端仍然和地面點(diǎn)接觸，滑塊仍然處于黏滯狀態(tài)，但是曲梁的右端點(diǎn)會(huì)向右滑移，隨著曲梁的初始曲率幅值減小，該點(diǎn)逐漸向右移動(dòng)直到初始曲率幅值減小到0，此時(shí)曲梁右端會(huì)開(kāi)始貼附于地面，回到階段C.

可見(jiàn)，軟體尺蠖機(jī)器人完全可以通過(guò)上述3個(gè)不同階段之間的過(guò)渡和轉(zhuǎn)換，完成整個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)，并向前滑移一段位移，實(shí)現(xiàn)連續(xù)向前爬行運(yùn)動(dòng)的目的.

1.2 應(yīng)變能和重力勢(shì)能

不考慮曲梁模型的軸向變形，假設(shè)曲梁上任意一點(diǎn)的軸向應(yīng)變?yōu)棣?，軸向應(yīng)力為σ，設(shè)曲梁截面彎矩為M，相應(yīng)的抗彎剛度為EI(E為彈性模量，I為截面慣性矩).根據(jù)O’Reilly由實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論，曲梁截面彎矩M和曲率的改變量存在線(xiàn)性關(guān)系[21]，此處可表示為M=EI(θ′-κ0).假設(shè)曲梁截面上任意一點(diǎn)相對(duì)中軸線(xiàn)上投影點(diǎn)的位置矢量在中軸線(xiàn)法向上的坐標(biāo)分量為yu，以曲梁的體積V、截面積A以及弧長(zhǎng)l′為積分自變量，由線(xiàn)彈性理論可以得到應(yīng)變能為

(3)

當(dāng)曲梁右端和地面點(diǎn)接觸時(shí)，若以曲梁左端點(diǎn)所在水平線(xiàn)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)位置，在距離曲梁左端點(diǎn)長(zhǎng)度為s處的豎直高度為Y(s)，重力加速度的大小為g，則整個(gè)曲梁的重力勢(shì)能WG為

(4)

當(dāng)曲梁和地面線(xiàn)接觸時(shí)，設(shè)γ為曲梁未黏附段的長(zhǎng)度，h為慣性基原點(diǎn)相對(duì)于地面的高度，則曲梁上未黏附段的重力勢(shì)能WG1和黏附段的重力勢(shì)能WG2可分別表示為

(5)

1.3 外力勢(shì)能

當(dāng)曲梁右端和地面點(diǎn)接觸時(shí)，設(shè)接觸點(diǎn)處支持力的大小為N1，摩擦力的大小為Ff1，并以沿著曲梁在左端點(diǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，設(shè)FL=[Ff1N1]T，r(l)=[x(l)y(l)]T，此時(shí)由曲梁右端力產(chǎn)生的外力勢(shì)能為

(6)

WF1=-n(γ)·r(γ).

圖5 曲梁和地面線(xiàn)接觸時(shí)受外載荷的情況Fig.5 External force on curved beam when in line contact with the ground

1.4 控制方程的建立

當(dāng)曲梁和地面點(diǎn)接觸時(shí)，結(jié)合曲梁的應(yīng)變能、重力勢(shì)能以及外力勢(shì)能，可得到點(diǎn)接觸階段中曲梁的總勢(shì)能V1為

FL·r(l)=

(7)

當(dāng)曲梁和地面線(xiàn)接觸時(shí)，曲梁的未黏附段的勢(shì)能V2為

(8)

(9)

得到該情況下的控制方程的具體形式：

(Ff1sinθ-N1cosθ)=0,s∈[0,l]

(10)

(n1(γ)sinθ-n2(γ)cosθ)=0,s∈[0,γ]

(11)

1.5 邊界條件的建立

對(duì)于階段A，曲梁和地面點(diǎn)接觸，由于曲梁左端和剛性滑塊固接，即θ(0)=0.由于曲梁右端為自由端，并且曲梁右端截面處也無(wú)外力矩，則此處的彎矩應(yīng)該為0，可知M(l)=EI(θ′(l)-κ0(l))=0，即θ′(l)=κ0(l).

曲梁的左端點(diǎn)與滑塊固連，以該點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，該點(diǎn)相對(duì)地面的高度為-h，且h>0，從而得到系統(tǒng)在豎直方向的幾何邊界條件：

在曲梁右端點(diǎn)黏滯的階段A中，假設(shè)了曲梁右端點(diǎn)相對(duì)于滑塊黏滯，可設(shè)兩者間距離的大小始終保持為d，則有水平方向的幾何邊界條件：

綜上，可聯(lián)立曲梁右端和地面點(diǎn)接觸時(shí)的控制方程以及邊界條件，階段A用于求解的滿(mǎn)足給定邊界條件的常微分方程組為

(12)

對(duì)于階段B，曲梁右端點(diǎn)滑移.設(shè)機(jī)器人與地面接觸點(diǎn)的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μs和μk，則可設(shè)曲梁右端處的水平速度為ν(l)>0，階段B在水平方向的邊界條件可寫(xiě)為

此外，在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，設(shè)滑塊和曲梁的相互作用力沿E1和E2方向分量為n1和n2，對(duì)階段B中整個(gè)滑塊-曲梁系統(tǒng)進(jìn)行靜平衡分析，如圖6所示，可以得到相應(yīng)的靜力平衡方程N(yùn)2=msg+ρgl-N1,Ff1=Ff2.階段B用于求解的滿(mǎn)足給定邊界條件的常微分方程組為：

(13)

如果|Ff2|>μsN2，曲梁左端點(diǎn)也發(fā)生滑移，F(xiàn)f2=-μkN2.

圖6 階段B中滑塊-曲梁系統(tǒng)的靜平衡分析Fig.6 Static equilibrium analysis of slider-curved beam system in phase B

對(duì)于階段C，在曲梁和地面線(xiàn)接觸的情況下，由于其在s=γ處的未黏附段右端點(diǎn)即為曲梁和地面接觸的起始點(diǎn)，則θ(γ)=0.此外，設(shè)滑塊和曲梁的相互作用力沿E1和E2方向分量為n1(0)和n2(0)，根據(jù)靜平衡條件先對(duì)滑塊進(jìn)行力平衡分析，如圖7所示，得到如下關(guān)系式：

(14)

再對(duì)曲梁上未黏附段進(jìn)行力平衡分析，如圖7所示：

(15)

圖7 階段C中滑塊-曲梁系統(tǒng)的靜平衡分析Fig.7 Static equilibrium analysis of slider-curved beam system in phase C

由于滑塊在階段C情況下滑動(dòng)，設(shè)滑塊處的水平速度為νh，動(dòng)摩擦因數(shù)為μk，結(jié)合靜平衡方程得出的表達(dá)式，從而得到水平方向的邊界條件：

n1(γ)=μkN2sign(νh)=

μk(msg-n2(0))sign(νh)=

μk(msg+ρgγ-n2(γ))sign(νh)

(16)

式中：sign(νh)為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)νh≥0，sign(νh)=1；當(dāng)νh=0，sign(νh)=0；當(dāng)νh<0，sign(νh)=1.

當(dāng)曲梁和地面線(xiàn)接觸時(shí)，還需要考慮由黏附作用產(chǎn)生的黏附勢(shì)能.設(shè)曲梁黏附段上單位長(zhǎng)度的黏附勢(shì)能為-ω，曲梁未黏附段的黏附邊界條件為[17]

(17)

結(jié)合階段C的曲梁未黏附段的邊界條件和控制方程，則得到如下滿(mǎn)足給定邊界條件的常微分方程組：

(18)

2 軟體尺蠖爬行機(jī)器人控制方程的仿真分析

2.1 方程組的離散化和無(wú)量綱化

在曲梁和地面點(diǎn)接觸時(shí)，將連續(xù)的曲梁劃分為n段微段，如圖8所示，設(shè)其中每一微段的長(zhǎng)度為ds，則nds=l.設(shè)第i段微段的左端點(diǎn)轉(zhuǎn)角為θi，則si=s(θi)=(i-1)ds.

圖8 曲梁和地面點(diǎn)接觸時(shí)曲梁的離散構(gòu)型Fig.8 Discrete configuration of curved beam when in point contact with the ground

圖9 曲梁和地面線(xiàn)接觸時(shí)曲梁的離散構(gòu)型Fig.9 Discrete configuration of curved beam when in line contact with the ground

假設(shè)曲梁右端末尾還存在第n+1段微段，該段長(zhǎng)度仍為ds，且不納入曲梁的總長(zhǎng)之中.則此時(shí)方程組的未知量共為n+3個(gè)，分別為θ1,θ2,…,θn,θn+1,N1,Ff1.

在曲梁和地面線(xiàn)接觸時(shí)，由于曲梁黏附段的構(gòu)型已知，通過(guò)離散分析曲梁的未黏附段，完成在微段數(shù)目不變，微段長(zhǎng)度改變的條件下曲梁構(gòu)型的求解.將連續(xù)的曲梁未黏附段劃分為m段微段，每一微段的長(zhǎng)度為ds，使得mds=γ，并且其他假設(shè)和點(diǎn)接觸階段相同.此時(shí)方程組的未知量個(gè)數(shù)共為m+4個(gè)，分別為θ1,θ2, …,θm,θm+1,n2(γ),n1(γ),γ.

本文中對(duì)所有的物理量都采取了無(wú)量綱化的處理，并將無(wú)量綱化的物理量做了新的符號(hào)規(guī)定，如表1所示.表中L′、F和T分別表示長(zhǎng)度、力和時(shí)間的量綱.

從而可以寫(xiě)出階段A最終的離散化、無(wú)量綱化的非線(xiàn)性代數(shù)方程組：

fn+2=θ1=0

同理，要寫(xiě)出階段B的離散化、無(wú)量綱化的非線(xiàn)性代數(shù)方程組，只需采用如下fn+1替換上式中的水平方向邊界條件，即fn+1=Ff1+μkN1=0.

還可以寫(xiě)出階段C最終的離散化、無(wú)量綱化的非線(xiàn)性代數(shù)方程組：

表1 各物理量的無(wú)量綱化Tab.1 Dimensionalization of physical quantities

fm+1=θ1=0，fm+2=θm+1=0

2.2 方程組的求解方法

此處將對(duì)牛頓迭代法的求解思路以曲梁和地面點(diǎn)接觸的情況為例進(jìn)行說(shuō)明，而曲梁和地面線(xiàn)接觸情況的求解過(guò)程與其一致.設(shè)方程組在第k次迭代時(shí)為列向量F(k)，此時(shí)由上一次迭代求得的未知量列向量為X(k)，求導(dǎo)結(jié)果構(gòu)成維數(shù)為n+3的方陣即雅可比矩陣F′(k)，并設(shè)未知量迭代矩陣為H(k)：

H(k)=-F′(k)-1F(k)
X(k+1)=X(k)+H(k)

2.3 充氣變形的靜力學(xué)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證p和κ0之間正比關(guān)系的有效性，本文進(jìn)行了四氣腔軟體機(jī)器人充氣變形的靜力學(xué)實(shí)驗(yàn).將機(jī)器人的一端固定，研究其受不同氣壓載荷作用下的變形狀態(tài)，如圖10所示.

圖10 受不同氣壓載荷作用的軟體制動(dòng)器的變形狀態(tài)Fig.10 Deformed states of soft actuator subject to different air pressure loads

圖11 實(shí)驗(yàn)和仿真得到的軟體制動(dòng)器變形狀態(tài)的對(duì)比Fig.11 Comparisons of deformation state of soft actuator obtained by experiment and simulation

2.4 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所建立的方程組求解結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文還通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)研究了長(zhǎng)度為44 mm的單臂軟體機(jī)器人在爬行過(guò)程中某一個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，如圖12所示.單臂軟體機(jī)器人的特點(diǎn)是左端無(wú)姿態(tài)約束，滑塊的等效質(zhì)量為0.

圖12 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的軟體機(jī)器人Fig.12 Soft robot in experiment

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，隨著充放氣不斷交替變化，軟體爬行機(jī)器人逐漸向前運(yùn)動(dòng)，在不同的時(shí)刻產(chǎn)生了相應(yīng)的變形形狀曲線(xiàn)，其中在時(shí)間t=2 s處軟體機(jī)器人的形狀如圖13所示.

圖13 t=2 s時(shí)軟體機(jī)器人形狀的實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果Fig.13 Experimental and simulation results of soft robot shape at t=2 s

2.5 點(diǎn)接觸階段的計(jì)算結(jié)果分析

圖14 階段A在上的構(gòu)型圖Fig.14 Configuration diagram in phase A at

圖15 階段A中曲梁右端外力和的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.15 External force of right end of curved beam versus in phase A

圖16 階段B在上的構(gòu)型圖Fig.16 Configuration diagram in phase B at

圖17 階段B中滑塊-曲梁系統(tǒng)外力絕對(duì)值和的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.17 External force of slider-curved beam system versus in phase B

圖18 階段B中和的關(guān)系曲線(xiàn) versus in phase B

2.6 線(xiàn)接觸階段的計(jì)算結(jié)果分析

圖19 階段C在上的構(gòu)型圖Fig.19 Configuration diagram in phase C at

圖20 滑塊的位移和的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.20 Slider displacement versus in phase C

圖21 階段C中滑塊處外力絕對(duì)值和的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.21 External force at the slider versus in phase C

2.7 軟體尺蠖機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)周期分析

圖22 曲梁在整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的構(gòu)型變化Fig.22 Configuration changes of curved beams during the entire motion cycle

此外，若以階段C為起始階段，則也可以獲得初始時(shí)曲梁左右兩端點(diǎn)相對(duì)的水平位置距離.根據(jù)階段C的計(jì)算結(jié)果，曲梁的右端點(diǎn)在初始時(shí)的水平投影長(zhǎng)度為 0.980 3l.而由階段B的計(jì)算結(jié)果，曲梁的水平投影長(zhǎng)度在整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期結(jié)束時(shí)為 0.990 5l，從而得知曲梁左右端點(diǎn)的水平距離在運(yùn)動(dòng)周期前后近似相等，意味著整個(gè)軟體機(jī)器人在完成了1個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)后能大致回到運(yùn)動(dòng)前的構(gòu)型和狀態(tài)，使得每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)過(guò)程近似一致，從而保證了本文的所有計(jì)算結(jié)果和分析結(jié)論對(duì)機(jī)器人在任意周期運(yùn)動(dòng)內(nèi)的通用性、一致性.

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有軟體爬行機(jī)器人的模型在模擬整體運(yùn)動(dòng)時(shí)的不連貫性、計(jì)算效率較低以及在整個(gè)周期內(nèi)未能反映連續(xù)運(yùn)動(dòng)變化的情況，本文對(duì)軟體尺蠖爬行機(jī)器人建立了滑塊-曲梁的簡(jiǎn)化力學(xué)模型，推導(dǎo)了用于數(shù)值求解的無(wú)量綱離散化的非線(xiàn)性代數(shù)方程組，對(duì)該機(jī)器人的整體運(yùn)動(dòng)狀況進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)建模和仿真分析.