沈洪興，劉偉，漆莊平?，劉海平，楊杰峰，劉會(huì)杰，張璇

（1.中科院微小衛(wèi)星創(chuàng)新研究院，上海 201210；2.北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083）

梁結(jié)構(gòu)常見于軌道交通、石油化工、起重機(jī)械等工程領(lǐng)域，且多為金屬弱阻尼結(jié)構(gòu).因此，梁結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的各類振動(dòng)波可實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳遞且向周圍環(huán)境輻射噪聲.為了有效控制彈性梁產(chǎn)生的振動(dòng)聲輻射，提高其空間振動(dòng)衰減特性意義重大.例如，通過在彈性梁上引入非連續(xù)質(zhì)量或者非連續(xù)剛度，實(shí)現(xiàn)阻抗失配可以達(dá)到減振降噪的設(shè)計(jì)目標(biāo).Brennan 等[1-2]研究了彈性梁中引入調(diào)諧振子對局部和全局梁結(jié)構(gòu)簡諧振動(dòng)的控制效果.Thompson[3]分別對無限長彈性梁中采用單層連續(xù)彈性支承，連續(xù)動(dòng)力吸振器和雙層連續(xù)彈性支承等方式對梁上彎曲波傳遞特性的影響展開理論研究，并給出不同邊界條件下實(shí)現(xiàn)彎曲波空間振動(dòng)高效衰減的最優(yōu)參數(shù).

以軌道交通為例，鋼軌作為一類典型的彈性梁結(jié)構(gòu)，是輪軌振動(dòng)輻射噪聲的重要環(huán)節(jié).為了抑制鋼軌上彎曲波的長距離傳遞，開展了多種減振降噪方法和影響因素研究，如：兩自由度軌道動(dòng)力吸振器[4]、軌下扣件剛度頻變的影響[5]、軌下支承形式的影響[6-7]、道板動(dòng)力吸振器[8]等.以上研究涉及的減振降噪方法均采用線彈性減隔振方案，其振動(dòng)抑制性能存在顯著缺陷，即：剛度和阻尼呈相反的變化規(guī)律，剛度增加阻尼降低，而阻尼增加剛度則被削弱；并且，剛度太小將顯著影響其靜態(tài)承載能力.

近年，技術(shù)人員嘗試將負(fù)剛度元件插入減隔振系統(tǒng)[9-11]中，通過正負(fù)剛度組合使用實(shí)現(xiàn)阻尼放大效果且系統(tǒng)剛度也未被削弱，由此提出高阻尼（Hyperdamping）隔振器的概念.為了保證系統(tǒng)剛度不降低，高阻尼隔振器的等效剛度與線性隔振器的剛度相同.超阻尼是指在阻尼極低的振動(dòng)系統(tǒng)中，在保證系統(tǒng)靜剛度和黏性阻尼參數(shù)不變的情況下，對系統(tǒng)采用正負(fù)剛度組合，而表現(xiàn)出比原來振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比高幾個(gè)數(shù)量級的現(xiàn)象[9].本文保證了系統(tǒng)靜剛度和黏性阻尼參數(shù)不變，通過對系統(tǒng)進(jìn)行正負(fù)剛度組合，利用其正負(fù)剛度元件所產(chǎn)生彈性恢復(fù)力之間的相位差來獲取超阻尼.已有文獻(xiàn)[9-11]重點(diǎn)研究了安裝在剛性基礎(chǔ)上單自由度高阻尼隔振器受外部力激勵(lì)，在時(shí)間域和頻率域的響應(yīng)特性和隔振器阻尼放大效果的形成機(jī)理.尚顯不足的是，彈性結(jié)構(gòu)與高阻尼隔振器的耦合作用對其減隔振性能的影響研究還未見報(bào)道.

綜上，本文嘗試將高阻尼隔振器替換彈性梁下的線彈性支承，并分別建立單層/雙層彈性支承梁的理論模型；在空間-頻率域?qū)Σ煌С袟l件下沿彈性梁垂直方向和水平方向的振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行研究；在此基礎(chǔ)上，針對高阻尼隔振器的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)安全系數(shù)ε 和剛度比α 進(jìn)行影響分析.結(jié)果表明：高阻尼隔振器可顯著提升彈性梁上彎曲波傳播的空間衰減特性，并有效抑制其振動(dòng)響應(yīng).

1 含高阻尼隔振器的單層彈性支承梁

含高阻尼隔振器的單層彈性支承梁模型，如圖1所示.模型中，高阻尼隔振器簡化為連續(xù)分布的彈性層；彈性梁表示為無限長歐拉-伯努利梁；所有剛度均為復(fù)剛度.

圖1 含高阻尼隔振器的連續(xù)彈性支承梁Fig.1 Beam on elastic foundation with continuous hyper-damping isolator

假設(shè)彈性梁在z=0 處受到簡諧力Feiωt激勵(lì)，F(xiàn)為力幅值，ω 為圓頻率，無限長彈性梁和梁下高阻尼隔振器的運(yùn)動(dòng)方程分別為：

式中：xr和xe分別為彈性梁和高阻尼隔振器隱含的垂向位移；ρr、Er、Ar和Ir分別為彈性梁的密度、楊氏模量、截面面積和慣性矩；ηr為損耗因子；kv、ke和kc分別為高阻尼隔振器的垂向支承剛度，正剛度和負(fù)剛度；ηe為損耗因子；高阻尼隔振器中其他部分的阻尼影響暫不考慮；δ 為Dirac-delta 函數(shù).

設(shè)彈性梁穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)xr（z，t）=Xr（z）eiωt，Xe（z，t）=Xe（z）eiωt，其中Xr、Xe分別為彈性梁和高阻尼隔振器隱含的垂向位移幅值.代入式（1）和式（2）整理后得到頻域運(yùn)動(dòng)方程為：

式（3）和式（4）兩端進(jìn)行拉普拉斯變換合并后，得到：

式中，Kf為彈性梁下超阻尼隔振器的組合動(dòng)剛度.

式（5）中Xr（s）進(jìn)行逆拉普拉斯變換可得到空間-頻率域彈性梁位移，即：

利用留數(shù)法求解式（8）可得到：

假設(shè)s1和s2的實(shí)部為負(fù)，用于z≥0 的情況，見式（9）；而s3和s4的實(shí)部為正，用于z＜0 的情況，此處不作討論.如果k 為方程（10）的一個(gè)根，則其余3 個(gè)根可分別表示為ik、-k 和-ik；且k 的實(shí)部和虛部均為正，即：

則s1和s2分別為ik 和-k，將其代入式（9）后得到：

定義傳遞到彈性梁基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的總力為高阻尼隔振器中力平方和的開平方，即：

式中：Δz 為離散化后彈性梁微元段長度，zn=nΔz 為第n 個(gè)微元段中心的縱向位置.為了保證計(jì)算精度，在所選取總長度為2L=（2N+1）z 的彈性梁中，應(yīng)保證高阻尼隔振器在z=±L 處的力相對于激勵(lì)點(diǎn)處（z=0）的力有足夠程度的衰減.

力傳遞率用于評價(jià)梁下支承結(jié)構(gòu)的隔振性能，其定義為：

將高阻尼隔振器替換為常規(guī)線性隔振器，采用相同方法，可以得到線彈性支承梁的頻域位移響應(yīng)和彈性支承梁中的總力：

式中：kp和ηp分別為線彈性支承剛度和損耗因子.將計(jì)算結(jié)果代入式（14），可以得到線彈性支承梁的力傳遞率.

關(guān)于高阻尼隔振器與線性隔振器關(guān)系及性能對比在文獻(xiàn)[9-10]中已有詳細(xì)介紹，為了便于理解本文形成的結(jié)論，特給出簡單介紹.

為了保證線性隔振器和高阻尼隔振器的總剛度和承載能力不受影響，假設(shè)高阻尼隔振器的靜剛度與線性隔振器相同，即：

并且，假設(shè)損耗因子相同，即：ηp=ηe.

等式（17）右邊有三個(gè)未知的參數(shù)：kv，ke，kc；為了便于對結(jié)構(gòu)剛度進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，定義了剛度比α，kv=αkp，其中，α≥1.當(dāng)α=1 時(shí)，本文所設(shè)計(jì)的超阻尼隔振系統(tǒng)則退化為線性系統(tǒng).另外，考慮實(shí)際制造誤差，這里定義了安全系數(shù)ε，并滿足以下條件：

為保證該超阻尼隔振系統(tǒng)能夠安全穩(wěn)定的運(yùn)行，則ε ＞0；聯(lián)列以上關(guān)系式得到：

當(dāng)α＞1 時(shí)，通過式（19）和（20）可知，ke+kc＞0，這是系統(tǒng)滿足靜態(tài)穩(wěn)定所隱含的設(shè)計(jì)條件.

2 含高阻尼隔振器的雙層彈性支承梁

圖2 給出含高阻尼隔振器的雙層彈性支承梁模型.與單層彈性支承梁相比（參見圖1），高阻尼隔振器下串聯(lián)了中間質(zhì)量ms；彈性支承剛度kb和損耗因子ηb；將高阻尼隔振器替換為線彈性支承kp和損耗因子ηp，則系統(tǒng)模型變?yōu)槌Ｒ?guī)雙層線彈性支承梁.

圖2 含高阻尼隔振器的雙層彈性支承梁模型Fig.2 Beam on two-layer elastic foundation with continuous hyper-damping isolator

由圖2 給出彈性梁和高阻尼隔振器的運(yùn)動(dòng)方程為：

中間質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：xs為中間質(zhì)量的垂向位移；其他參數(shù)與第1 節(jié)相同.

應(yīng)用頻域分析，可得到雙層彈性支承梁系統(tǒng)的一階微分方程組；然后，采用拉普拉斯變換合并得到：

將計(jì)算結(jié)果代入式（14），可以得到不同支承條件下彈性梁的力傳遞率.

3 數(shù)值計(jì)算及分析

以軌道交通為例,選擇常見有砟軌道參數(shù)[4]作為初始設(shè)計(jì)參數(shù),具體如下:Er=2.1 × 1011N/m2，ρr=7 850 kg/m3，ηr=0.01，Ar=7.69×10-3m2，Ir=30.55×10-6m4；ms=270 kg/m，kb=4.93 × 106N/m2，ηb=1.0；kp=2×108N/m2，ηp=0.2；α=3，ε=0.05；其他參數(shù)可根據(jù)第1 節(jié)給出的公式導(dǎo)出.以下重點(diǎn)討論高阻尼隔振器設(shè)計(jì)參數(shù)對彈性支承梁動(dòng)力學(xué)特性的影響.

3.1 單層彈性支承梁

圖3 給出不同安全系數(shù)ε 對應(yīng)安裝高阻尼隔振器單層支承梁的力傳遞率曲線.同時(shí)，為了對比還給出線彈性支承梁的力傳遞率曲線.由圖可見，線彈性支承梁的力傳遞率在約300 Hz 呈現(xiàn)一個(gè)峰值，對應(yīng)梁-線彈性支承系統(tǒng)的固有頻率；高阻尼隔振器支承梁的力傳遞率峰值頻率均大于300 Hz，且受阻尼影響峰值隨著安全系數(shù)ε 增加而減小且小于線彈性支承梁的力傳遞率峰值；通過調(diào)整高阻尼隔振器的安全系數(shù)ε，力傳遞率峰值和頻率均發(fā)生變化，即：安全系數(shù)ε 增大，峰值頻率減小，響應(yīng)幅值也降低.

圖3 單層彈性支承梁力傳遞率（ε 變化）Fig.3 Force transmission ratio of beam on elastic foundation（for different ε）

高阻尼隔振器的另一個(gè)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)剛度比α對彈性梁力傳遞率的影響，如圖4 所示.可見，安裝高阻尼隔振器彈性梁的力傳遞率峰值頻率均小于線彈性支承梁；而且，隨著剛度比α 增加，力傳遞率峰值降低而相應(yīng)頻率增大.

此外，對比圖3 和圖4，不同支承條件和高阻尼隔振器設(shè)計(jì)參數(shù)變化，對200 Hz 以內(nèi)頻段的力傳遞率幅值的影響可忽略；在低頻段，力傳遞率呈平直段小于1 說明梁下支承結(jié)構(gòu)具備一定的隔振能力且平直段數(shù)值與梁下支承結(jié)構(gòu)的剛度相關(guān).并且，在約200～400 Hz 頻段安裝高阻尼隔振器彈性梁的力傳遞率峰值均小于線彈性支承梁.但是，在400 Hz 以上高頻段，安裝高阻尼隔振器彈性梁的力傳遞率幅值均大于線彈性支承梁.

相比于有限尺度結(jié)構(gòu)，無限長梁不存在模態(tài)特征而是表現(xiàn)為振動(dòng)波的形式，主要包括：彎曲波、壓縮波和扭轉(zhuǎn)波.本文重點(diǎn)研究可以長距離傳遞彎曲波的衰減特性，引用空間平均衰減率的概念表征沿彈性梁傳遞的彎曲波衰減特性，即：

式中，Im 表示取虛部運(yùn)算.

圖4 單層彈性支承梁力傳遞率（α 變化）Fig.4 Force transmission ratio of beam on elastic foundation（for different α）

高阻尼隔振器安全系數(shù)ε 和剛度比α 取不同值對應(yīng)無限長梁的空間平均衰減率，如圖5 和圖6 所示.由圖可見，高阻尼隔振器增加了線彈性支承梁在400 Hz 以下頻段的平均振動(dòng)衰減率；且隨著安全系數(shù)ε 或者剛度比α 增加，該頻率范圍的平均振動(dòng)衰減率減小.顯然，高阻尼隔振器更利于減小彈性梁在中低頻段的振動(dòng)聲輻射；但是，在400 Hz 以上頻段，高阻尼隔振器對彈性支承梁平均振動(dòng)衰減率的影響可忽略.

圖5 單層彈性支承梁平均振動(dòng)衰減率（ε 變化）Fig.5 Decay rate of beam on elastic foundation（for different ε）

圖6 單層彈性支承梁平均衰減率（α 變化）Fig.6 Decay rate of beam on elastic foundation（for different α）

3.2 雙層彈性支承梁

高阻尼隔振器的安全系數(shù)ε 和剛度比α 對應(yīng)雙層彈性梁的力傳遞率曲線，如圖7 和圖8 所示.可見，線彈性支承梁的力傳遞率曲線呈現(xiàn)兩個(gè)峰值，分別對應(yīng)彈性梁和中間質(zhì)量在下層彈性支承上的同相位振動(dòng)和彈性梁在上層彈性支承上的振動(dòng).由于高阻尼隔振器替換了上層線彈性支承，導(dǎo)致系統(tǒng)力傳遞率曲線主要在第二個(gè)峰值頻率附近發(fā)生變化.高阻尼隔振器支承彈性梁的力傳遞率第二個(gè)峰值均小于線彈性支承梁，且峰值頻率向高頻移動(dòng)；隨著安全系數(shù)ε 增加，峰值減小相應(yīng)頻率略向低頻移動(dòng)；剛度比α 增加，峰值減小相應(yīng)頻率向高頻移動(dòng).

圖7 雙層彈性支承梁力傳遞率（ε 變化）Fig.7 Force transmission ratio of beam on two-layer elastic foundation（for different ε）

圖8 雙層彈性支承梁力傳遞率（α 變化）Fig.8 Force transmission ratio of beam on two-layer elastic foundation（for different α）

圖9 雙層彈性支承梁平均衰減率（ε 變化）Fig.9 Decay rate of beam on two-layer elastic foundation（for different ε）

圖10 雙層彈性支承梁平均衰減率（α 變化）Fig.10 Decay rate of beam on two-layer elastic foundation（for different α）

高阻尼隔振器安全系數(shù)ε 和剛度比α 變化對沿彈性梁傳遞彎曲波的平均振動(dòng)衰減特性的影響也主要集中在第二個(gè)峰值頻率附近，如圖9 和圖10 所示.可見，高阻尼隔振器的安全系數(shù)ε 和剛度比α 變化可實(shí)現(xiàn)平均振動(dòng)衰減率最大值分別約為25 dB/m和18 dB/m 且相應(yīng)頻率向高頻移動(dòng).與單層彈性支承梁相比，高阻尼隔振器可以顯著改善彎曲波在彈性梁上的振動(dòng)衰減特性；但是，有效工作頻段比未安裝高阻尼隔振器的單層彈性梁略窄.

4 結(jié)論

本文研究了新型高阻尼隔振器控制彈性梁振動(dòng)傳遞特性的有效性.分別建立安裝高阻尼隔振器的單層和雙層彈性梁的理論模型，并定義力傳遞率和平均振動(dòng)衰減率作為評價(jià)高阻尼隔振器減隔振性能的技術(shù)指標(biāo).在此基礎(chǔ)上，選擇軌道交通工程領(lǐng)域?qū)嶋H的軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)（如：單層彈性支承梁為塊式軌道，雙層彈性支承梁為有砟軌道），相關(guān)分析結(jié)論可直接用于指導(dǎo)工程方案選型和設(shè)計(jì).本文重點(diǎn)分析了彈性梁支承方式和高阻尼隔振器的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)安全系數(shù)ε 和剛度比α 變化對其減隔振性能的影響.分析計(jì)算發(fā)現(xiàn)：

1）安裝高阻尼隔振器后單層彈性梁-支承系統(tǒng)的力傳遞率峰值得到有效抑制；安全系數(shù)ε 越大，共振峰值衰減越明顯，且高頻響應(yīng)幅值也得到一定程度降低；剛度比α 越大，共振峰值也可以得到顯著衰減且當(dāng)α>8 時(shí)近似為無諧振峰響應(yīng)，而在高頻段的響應(yīng)幅值則逐漸趨于一致.

2）從空間域振動(dòng)波衰減特性角度，安裝高阻尼隔振器可以顯著提高單層彈性梁在中低頻段的振動(dòng)衰減性能；且取過大或者過小的剛度比α 和安全系數(shù)ε 均不利于提高其空間振動(dòng)衰減率.

3）針對雙層彈性支承梁，將上層彈性支承替換為高阻尼隔振器，在彈性梁-高阻尼隔振器系統(tǒng)的固有頻率附近頻段的力傳遞率和平均振動(dòng)衰減特性均得到顯著改善；能夠帶來超阻尼的彈性梁-高阻尼隔振器系統(tǒng)，相比于彈性梁支承系統(tǒng)，在系統(tǒng)靜剛度和黏性阻尼參數(shù)一定的條件下，通過選取合適的安全系數(shù)ε 和設(shè)計(jì)參數(shù)剛度比α，可以顯著提高平均振動(dòng)衰減特性，進(jìn)而可以顯著抑制彈性梁的彎曲振動(dòng)響應(yīng).由于梁下支承結(jié)構(gòu)剛度較大，導(dǎo)致高阻尼隔振器的控制效果不明顯；在有效作用共振峰處，安全系數(shù)ε>0.1 和剛度比α>8 時(shí)，共振頻點(diǎn)處近似為無諧振峰響應(yīng).

4）相比于安裝高阻尼隔振器的單層彈性支承梁，安裝高阻尼隔振器顯著提高雙層彈性支承梁空間振動(dòng)衰減率.其中，安全系數(shù)ε 和剛度比α 取較小值時(shí)有利于提高空間振動(dòng)衰減率的峰值.但是，有效控制頻段略微變窄.