楊志魁

摘 要：為確定鋼管混凝土拱橋合理成橋索力和施工階段張拉力的優(yōu)化方法，以實(shí)際工程為背景，通過(guò)借助有限元軟件Midas Civli和數(shù)值分析軟件Matlab，并利用最小彎曲能量法初步求解鋼管混凝土拱橋的成橋索力，再通過(guò)影響矩陣原理對(duì)拱橋內(nèi)力進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而求解最終成橋索力。對(duì)施工階段索力則是采取正裝迭代法，并結(jié)合施工階段的影響矩陣，進(jìn)而求解施工過(guò)程中各吊桿的索力。最后，通過(guò)觀察成橋索力下拱橋內(nèi)力、線形是否符合要求，從而確定該方法的可行性。

關(guān)鍵詞：鋼管混凝土拱橋;最小彎曲能量法;影響矩陣

中圖分類(lèi)號(hào)：U448.222 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-5168（2021）36-0070-03

Research on Optimization of Cable Force of CFST Arch Bridge During Completion and Construction

YANG Zhikui

（Shaanxi Vocational & Technical College ，Xi'an Shaanxi 710000）

Abstract：In order to study the method of cable force optimization of concrete-filled steel tube arch bridge，this article takes the actual project as the background and uses finite element software Midas Civli and numerical analysis software Matlab to solve the cable force of concrete-filled steel tube arch bridge.In this paper，at first，the minimum bending energy method is used to solve the bridge cable force and then the internal force of the arch bridge is adjusted by the influence matrix principle to solve the final cable force.In the construction stage，the cable force of each boom is solved by means of the formal installation iteration with the influence matrix of the construction stage.Finally，the feasibility of the method is determined by observing whether the internal force and line shape of the arch bridge meet the requirements.

Keywords：concrete-filled steel tube arch bridge;minimum bending energy method;influence matrix

鋼管混凝土能兼顧鋼管混凝土結(jié)構(gòu)和系桿拱橋的特點(diǎn)而被國(guó)內(nèi)外廣泛使用。鋼管混凝土拱橋設(shè)計(jì)過(guò)程中，要考慮在吊桿力作用下，系梁和拱肋受力較合理且線形平順。但是在實(shí)際工程中，由于施工過(guò)程的復(fù)雜性[1-2]，施工時(shí)會(huì)受到各種因素的影響，甚至?xí)绊懙匠蓸蛩髁?。因此，需要正確地給出不同吊桿在施工階段的索力[3-4]。

本文通過(guò)有限元軟件Madis Civil并結(jié)合Matlab軟件，以實(shí)際工程項(xiàng)目江東大橋?yàn)槔?，分析?yàn)證最小彎曲能量法和影響矩陣法對(duì)其成橋和施工階段索力求解的可行性。

1 索力優(yōu)化方法

1.1 影響矩陣法

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和施工過(guò)程中，會(huì)選擇任意階段隨機(jī)截面進(jìn)行控制，這些截面被稱(chēng)為關(guān)鍵截面，選取截面上的特性參數(shù)作為控制變量，通過(guò)這些控制變量判斷結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、線形是否合理。為了實(shí)現(xiàn)截面目標(biāo)的調(diào)整，引入了影響矩陣這一概念，即當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足線形疊加原理時(shí)，有：

[CX=D] ? ? ? （1）

其中[C]為影響矩陣，是指當(dāng)施調(diào)向量第[i]個(gè)向量[xi]發(fā)生單位變化時(shí)，引起受調(diào)向量[{D}]的變化量成為影響向量;[X]為施調(diào)向量，是指結(jié)構(gòu)中可通過(guò)調(diào)整來(lái)改變受調(diào)向量的[l]個(gè)獨(dú)立元素（[l≤n]）所組成的列向量;[D]為受調(diào)向量，是指結(jié)構(gòu)中關(guān)心截面上[n]個(gè)獨(dú)立元素所組成的列向量。這些元素一般是關(guān)心截面的內(nèi)力、位移。調(diào)整這些元素使結(jié)構(gòu)達(dá)到期望的狀態(tài)。

當(dāng)影響矩陣[C]中[n>l]時(shí)，即控制參數(shù)的個(gè)數(shù)多于施調(diào)向量中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，影響矩陣不為方陣，此時(shí)求解該線形方程可通過(guò)最小二乘理論近似計(jì)算。

令[Qx=CX-D2]，為使[Qx]最小，對(duì)[xi]求偏導(dǎo)使[?Q?xi=0]。用矩陣表示為[CTCX=CTD]，此時(shí)[CTC]為[l]階方陣，只要保證[C]的列向量線性無(wú)關(guān)即可近似解出：

[X=CTC-1CTD] ? ? （2）

1.2 最小彎曲能量法

本文中實(shí)際工程的成橋索力采用影響矩陣原理下的最小彎曲能量法進(jìn)行初步求解，其基本原理是當(dāng)結(jié)構(gòu)中的彎曲應(yīng)變能最小時(shí)，此時(shí)的索力值即成橋狀態(tài)下吊桿的合理索力。結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能公式如（3）所示：

[U=SM2S2EIdS] ? ? ? （3）

將結(jié)構(gòu)離散，離散后公式如（4）所示：

[U=i=1mLi4EiIiM2Li+M2Ri] ? ? ?（4）

式中：[m]為離散單元的數(shù)量;[Li]、[Ei]、[Ii]分別為單元的長(zhǎng)度、材料的彈性模量和截面慣性矩;[MLi]、[MRi]分別表示單元的左右端彎矩。

將式（4）寫(xiě)成矩陣形式：

[U=MLTBML+MRTBMR] ? （5）

其中，[ML]和[MR]分別表示左右端彎矩組成的向量;[B]為對(duì)角系數(shù)矩陣，且對(duì)角元素為：

[bii=Li4EiIi][i=1，2，...，m] ? ? （6）

根據(jù)影響矩陣的原理，令調(diào)索前單元的彎矩向量為[M0]，施調(diào)向量為吊桿索力向量[T]，影響矩陣[C]，則調(diào)整后的彎矩為：

[M=M0+CT] ? ? ?（7）

將式（7）代入式（5）化簡(jiǎn)得：

[U=C0+M0TBCT+TTCTBM0+TTCTBCT]

（8）

其中，[C0]是與[T]的無(wú)關(guān)常數(shù)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能最小時(shí)滿足：

[?U?Ti=0][i=1，2，3，...，l] ? ?（9）

則式（8）求導(dǎo)后并用矩陣表示為：

[CTBCT+CTBM0=0] ? （10）

至此，最小能量法索力優(yōu)化問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成線形方程組的求解問(wèn)題，對(duì)于此線形方程組的求解，可以通過(guò)數(shù)學(xué)軟件編輯計(jì)算程序。但實(shí)際求解過(guò)程可以通過(guò)有限元軟件進(jìn)行快速近似求解。由于公式（10）與力法方程表達(dá)形式類(lèi)似，區(qū)別在于力法方程考慮了彎矩、軸力和剪力的影響，而公式（10）僅考慮了彎矩的影響。假如將結(jié)構(gòu)各單元的抗彎剛度[EiIi]人為縮小[ξ1]（[ξ1]為較大的某數(shù)，如1 000），或?qū)⑤S向剛度[EiAi]擴(kuò)大[ξ2]倍（[ξ2]為較大的某數(shù)，如10 000），力法方程便可忽略軸力、剪力項(xiàng)進(jìn)而僅考慮彎矩項(xiàng)的影響。

1.3 正裝迭代法

正裝迭代是按照實(shí)際施工順序?qū)?shí)際工程進(jìn)行施工階段的仿真模擬，相比倒裝迭代，其能較好地模擬實(shí)際過(guò)程，且能考慮施工中的非線性因素。其具體步驟是先確定一組迭代初始值，然后將該初始值代入模型中循環(huán)迭代，最終與目標(biāo)索力閉合。迭代的初始值理論上可以為任意數(shù)值，但單純地利用正裝迭代計(jì)算量相對(duì)較大，且迭代次數(shù)一般較多，這在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)比較煩瑣。因此，初始值不妨先利用倒裝法初步求得，以該初始值作為第一次迭代的索力值，在每次迭代后先求出該階段的影響矩陣，然后根據(jù)影響矩陣原理微調(diào)，將調(diào)整后的結(jié)果作為下一次迭代的初始值，可極大地減少迭代次數(shù)，提高計(jì)算效率。

2 算例分析

2.1 工程概況

本文鋼管混凝土拱橋?yàn)轭A(yù)應(yīng)力混凝土系桿拱結(jié)構(gòu)，采用剛性系梁剛性拱，計(jì)算跨徑L為126.28 m，拱軸線為二次拋物線。拱肋采用啞鈴形鋼管砼，內(nèi)充C50微膨脹砼。系梁采用箱形斷面，每一系梁內(nèi)設(shè)有24束預(yù)應(yīng)力束。橋面2%橫坡通過(guò)橫梁高度的變化進(jìn)行調(diào)整，風(fēng)撐采用K型，主橋橋面設(shè)10 cm現(xiàn)澆整體化混凝土。每片拱肋設(shè)吊桿19根，由于吊桿為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，為了便于計(jì)算，將同一對(duì)稱(chēng)部位的吊桿取相同編號(hào)。

2.2 參數(shù)設(shè)置

本文拱橋?qū)嵗捎糜邢拊浖﨧idas進(jìn)行模擬，全橋共760單元。拱肋采用梁?jiǎn)卧M，并采用施工階段聯(lián)合截面模擬拱肋不同施工階段下的狀態(tài)。系梁、橋面板均采用梁?jiǎn)卧M，吊桿采用桁架單元模擬。拱腳采用簡(jiǎn)支邊界條件，施工階段吊桿力為體外力輸入方式。主要模型材料特性見(jiàn)表1。

2.3 成橋索力優(yōu)化

采用最小彎曲能量法計(jì)算成橋索力時(shí)，將結(jié)構(gòu)各單元的抗彎剛度縮小1 000，做一次落架計(jì)算。得到初始索力之后再利用影響矩陣進(jìn)行二次調(diào)索。調(diào)索時(shí)把拱腳處和各吊桿與橫梁交點(diǎn)處作為控制點(diǎn)，以該點(diǎn)處的彎矩為控制目標(biāo)，利用Madis軟件求解出影響矩陣，并結(jié)合Matlab軟件計(jì)算得到初拉力和最終索力圖，如圖1所示。圖2表示優(yōu)化前后系梁的彎矩圖。

從圖1、圖2可以看出，先利用彎曲能量法對(duì)索力進(jìn)行初步求解后，再用影響矩陣原理對(duì)求得的索力進(jìn)行二次優(yōu)化，可以使吊桿滿足由短到長(zhǎng)索力逐漸增大的特性，系梁彎矩相比于優(yōu)化前更均勻，且最終成橋索力下的結(jié)構(gòu)受力滿足連續(xù)梁受力形式。

2.4 施工階段索力優(yōu)化

對(duì)于施工階段各吊桿的索力求解方法則是先采用倒裝求出一組索力，然后以該索力作為正裝迭代的索力初始值，再根據(jù)影響矩陣原理對(duì)每次迭代后的結(jié)果微調(diào)，然后將調(diào)整后的索力作為下一次迭代的初始值，就這樣循環(huán)迭代，最終實(shí)現(xiàn)閉合。迭代結(jié)果如表2所示。

由表2可以看出，本實(shí)例采用影響矩陣下的正裝迭代計(jì)算方法，在僅迭代了5次后，吊桿索力即可接近目標(biāo)索力，且第一次迭代到第五次迭代，最大誤差由3.54%減小到0.01%。由此可得，利用此方法可以較好且較快地求得目標(biāo)索力值。

3 結(jié)語(yǔ)

本文在有限元軟件模擬試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，考慮了系桿拱橋的彎矩和線形，對(duì)結(jié)構(gòu)成橋階段和施工階段進(jìn)行索力優(yōu)化，主要結(jié)論如下。

①將彎曲最小能量法與影響矩陣原理相結(jié)合，求得成橋狀態(tài)下的索力滿足系桿拱橋內(nèi)力和線形的要求，且操作方法簡(jiǎn)便，極大減少了工作量。

②正裝迭代法輔以影響矩陣的方法求解吊桿施工階段索力，不僅能考慮到結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)效益，同時(shí)還能兼顧施工過(guò)程的非線性因素，能夠較為準(zhǔn)確、高效地得到結(jié)果。

本文使用的方法可進(jìn)一步推廣到線性或弱線性結(jié)構(gòu)，在實(shí)際工程中有較好的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李曄，李勇，李繼軍.采用斜拉扣掛法施工的大跨徑鋼管混凝土拱橋的全過(guò)程索力優(yōu)化計(jì)算方法[J].建筑鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)展，2019（2）：33-39.

[2] 朱利明，申昆，濮衛(wèi)，等.空間三索面斜吊桿非對(duì)稱(chēng)系桿鋼拱橋合理成橋索力優(yōu)化[J].世界橋梁，2020（6）：54-59.

[3] 周倩，周建庭，馬虎，等.鋼管拱肋分段吊裝扣索一次張拉索力改進(jìn)算法[J].交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2020（1）：92-101.

[4] 王祥國(guó)，鄧博，楊孟剛.考慮施工階段的高鐵系桿拱橋吊桿張拉優(yōu)化研究[J].鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2020（4）：808-814.