祝超群, 李留洋, 金 輝

(1. 蘭州理工大學 電氣工程與信息工程學院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 蘭州理工大學 甘肅省工業(yè)過程先進控制重點實驗室, 甘肅 蘭州 730050; 3. 蘭州理工大學 電氣與控制工程國家級實驗教學示范中心, 甘肅 蘭州 730050; 4. 沈陽化工大學 信息工程學院, 遼寧 沈陽 110142)

網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)(networked control system,NCS)是通過實時網(wǎng)絡形成的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng),遠程控制器通過網(wǎng)絡與傳感器、執(zhí)行器進行信息交換,實現(xiàn)對被控對象的測量與控制[1-2].與傳統(tǒng)點對點控制系統(tǒng)相比,NCS具有結構簡單、便于安裝與維護、可

實現(xiàn)遠程操作等優(yōu)點[3-4].因此,NCS已經(jīng)成功應用到工業(yè)生產(chǎn)、遠程醫(yī)療和航空航天等領域.由于網(wǎng)絡通信帶寬有限,在NCS中存在多種通信限制,如介質訪問約束、網(wǎng)絡誘導時延、數(shù)據(jù)包丟失及信號量化誤差等,這些問題的存在使得系統(tǒng)的性能下降甚至不穩(wěn)定.

在NCS中,控制器通過網(wǎng)絡與多個傳感器和執(zhí)行器信息進行通信.由于網(wǎng)絡帶寬的限制,任意時刻僅有少數(shù)的傳感器和執(zhí)行器獲得信道訪問權參與數(shù)據(jù)的傳輸與交換,稱之為NCS的介質訪問約束.介質訪問約束已經(jīng)成為了NCS中的重要問題.為了提高通信網(wǎng)絡的利用率與網(wǎng)絡化系統(tǒng)的控制質量,必須合理地分配有限的帶寬資源.此時,NCS的控制綜合問題不僅要設計使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器,而且要設計合理的介質訪問通信策略.目前,常見的NCS通信調度策略可分為靜態(tài)調度、動態(tài)調度和隨機調度三類.針對以上問題,許多學者采用靜態(tài)調度的通信方式對NCS進行了研究[5-11].Brockett[5]首次提出采用通信序列來描述介質訪問順序,研究了通信約束下NCS的穩(wěn)定控制問題.基于上面的研究,針對存在通信約束和時延的NCS,Du等[6-9]討論了通信序列調度下NCS的狀態(tài)反饋穩(wěn)定問題.隨后,Fridman等[10]針對存在可變采樣間隔、時變時延和RR協(xié)議調度下的NCS,提出了一種新型的混合系統(tǒng)模型方法,推導出閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的條件.Pasand等[11]針對具有恒定時延的NCS,通過靜態(tài)最優(yōu)周期通信序列和最優(yōu)指針配置方法,分析了不同靜態(tài)調度方法下系統(tǒng)的穩(wěn)定性.靜態(tài)調度雖然易于實現(xiàn),但在離線狀態(tài)下設計的靜態(tài)調度策略不能反應節(jié)點的實時情況,無法在線分配帶寬資源.為了克服靜態(tài)調度的弊端,許多學者針對基于動態(tài)通信調度的NCS展開研究[12-17].Walsh和Hristu-Varsakelis等[12-13]先后提出了MEF-TOD與CLS-ε動態(tài)通信策略.Zou等[14]研究了一類TOD動態(tài)調度和均勻量化影響下NCS的最終有界控制問題.Zhang等[15]針對具有通信約束的NCS,研究了一種新的TOD調度和H∞濾波器的協(xié)同設計問題.Zhu等[17]研究了存在通信約束的NCS最優(yōu)控制問題,提出基于實時狀態(tài)的動態(tài)調度策略,并分析了在動態(tài)調度策略下NCS的穩(wěn)定性.以上研究都是基于NCS中的控制器和執(zhí)行器為時間驅動的條件,且網(wǎng)絡中的訪問約束狀態(tài)是可調度的.受網(wǎng)絡通信媒體類型、網(wǎng)絡通信協(xié)議等因素的影響,介質訪問約束往往具有復雜的隨機性.因此,一些學者[18-21]針對服從Markov過程或獨立同分布的Bernoulli隨機通信的NCS進行了研究.Zhu等[18]假設控制器和執(zhí)行器兩端的介質訪問狀態(tài)由Markov過程驅動,針對具有隨機通信約束的網(wǎng)絡控制系統(tǒng),研究了系統(tǒng)建模與魯棒H∞控制器的設計問題.Liu等[19]應用獨立同分布的Bernoulli隨機變量序列來描述隨機通信協(xié)議,研究了一類存在時變時延、可變采樣間隔和隨機調度協(xié)議的NCS,并分析了閉環(huán)系統(tǒng)均方穩(wěn)定的條件.Peng等[20]針對具有時延、丟包、通信約束的NCS,討論了隨機調度協(xié)議下NCS的穩(wěn)定問題.Long等[21]研究了一類非線性NCS的信道調度問題,基于一種傳感器/執(zhí)行器隨機調度策略,進行預測控制器與通信調度策略的聯(lián)合設計.

上述針對存在訪問約束的NCS的分析與研究,大多是進行狀態(tài)反饋控制與通信調度策略的協(xié)同設計.在許多實踐應用場合中,系統(tǒng)的狀態(tài)往往是不可測的，因此狀態(tài)反饋控制很難實現(xiàn).此外,一些文獻針對時延網(wǎng)絡化系統(tǒng)附加了理想化的假設[9-11],盡管簡化了模型的建立與分析,但具有一定的保守性.考慮到動態(tài)輸出反饋采用并行分布律,能夠實現(xiàn)系統(tǒng)全局反饋,可以顯著提高系統(tǒng)的控制性能.基于此,本文針對具有時變時延和訪問約束的NCS,在Markov隨機通信機制下設計具有動態(tài)補償功能的控制器.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和狀態(tài)增廣法得到了閉環(huán)網(wǎng)絡化系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,并給出了動態(tài)輸出反饋控制器的設計方法.最后,通過仿真驗證了本文方法的有效性.

1 系統(tǒng)描述

考慮圖1所示的具有訪問約束和時變時延的多輸入、多輸出的NCS,被控對象的狀態(tài)方程為

圖1 網(wǎng)絡控制系統(tǒng)結構Fig.1 Basic configuration for NCS

(1)

為了簡化分析,現(xiàn)對圖1中的NCS作以下假設：

1) 傳感器節(jié)點采用時間驅動,控制器節(jié)點和執(zhí)行器節(jié)點由事件驅動；

2) 采樣周期T是恒定的,數(shù)據(jù)采用單包傳輸方式；

4) 針對具有訪問約束和時變時延的情況進行分析,忽略丟包和信號量化誤差等因素影響.

1.1 網(wǎng)絡時延

由以上假設可知,被控對象的控制輸入u(t)可表示為

(2)

因此,存在時變時延的NCS中被控對象的離散化模型為

(3)

其中,Bm0(τk)、Bm1(τk)是變化的:

Am=eAT

下面對離散化的模型進行適當?shù)淖儞Q,以便于控制器的設計.根據(jù)矩陣理論知識可知,如果矩陣A包含n個互異的特征根,那么A可以化成對角陣；否則A可以化成約旦標準型.假設A可以化為對角陣,則A=Pdiag(λ1,…,λn)P-1,A的特征值是λ1,…,λn,且λ1≠λ2≠…≠λn≠0.α1,…,αn是對應的特征向量,P=[α1,…,αn].因此

其中:

而

其中:

α1,…,αn的選擇滿足

eλi(T-τk-αi)<1 (i=1,…,n)

則

Bm0(τk)=B0-EF(τk)G

同理,可以證明:

Bm1(τk)=B1+EF(τk)G

其中:

當A含有零特征根和r重根時,B0、B1、E的取值可參照文[22] .

1.2 介質訪問約束

用通信序列θ(k)來表示在第k個采樣周期內執(zhí)行器端的信道訪問狀態(tài),即

令通信序列θ(k)的隨機矩陣形式為

L(k)=diag{θ(k)}

則被控對象的輸入信號為

(4)

隨機過程的初始概率向量為

相應的各個模態(tài)在第k個采樣周期的絕對概率向量為

聯(lián)立式(3,4),則存在時變時延和訪問約束的NCS被控對象的離散化模型為

(5)

Hi=(B0+EFG)Li

Hj=(B1-EFG)Lj

其中:B0、B1、E、G為定常矩陣,且F(τk)TF(τk)≤I.為了方便書寫,記F(τk)為F.

上述推導表明,存在時變時延和訪問約束的NCS離散化模型是一類具有不確定性的Markov跳變線性模型.因此,接下來主要研究具有不確定性的Markov跳變線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題.

2 動態(tài)輸出反饋控制器的設計

本文研究的任務是對具有不確定性的線性離散系統(tǒng)(5),設計動態(tài)輸出反饋控制器:

(6)

其中:xc(k)∈Rp(p≤n)是控制器的狀態(tài);Ac、Bc、Cc是適維常陣.若p=n,對系統(tǒng)狀態(tài)進行滿階動態(tài)補償；若p

聯(lián)立式(5,6),并令增廣向量為

(7)

則增廣的閉環(huán)NCS模型為

r(k+1)=Φr(k)+Ψr(k-1)

(8)

其中:

為了便于后面推導,首先給出以下兩個引理.

1)S<0；

引理2[23]已知M、N為適維矩陣,F滿足FTF≤I,W=WT,那么

W+NTFTMT+MFN<0

當且僅當存在標量ε>0,使得

W+ε-1NTN+εMMT<0

<0

(9)

其中:

ξ42=B0LiW,ξ43=B1LjW

則稱閉環(huán)系統(tǒng)(8)是漸近穩(wěn)定的.

當矩陣不等式(9)有可行解時,動態(tài)輸出反饋控制器為

證明選取Lyapunov函數(shù)為

其中:Q、Z、X為對稱正定矩陣.對任意x(k)≠0,xc(k)≠0,xc(k-1)≠0,Vk(x)是正定的.則有

(10)

將式(5,6)帶入式(10),可得

(11)

其中:

Ω31=(HjCc)TQAm

Ω32=(HjCc)TQHiCc

Ω33=(HjCc)TQHjCc-X

根據(jù)Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論可知,閉環(huán)系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定的充分條件是

(12)

對式(12)應用引理1,可得

(13)

其中:

則式(13)可以表示為

(14)

其中:

對式(14)應用引理2,可得

(15)

其中:

對式(15)再次應用引理1,可得

(16)

(17)

其中:

則式(17)可寫成

(18)

其中:

對式(18)應用引理1,則有

(19)

其中:

對式(19)應用引理1,可得

<0

(20)

其中:

3 仿真算例

為了驗證本文采用動態(tài)輸出反饋控制器設計方法的有效性,參考文獻[22]中的算例.針對一個2輸入、2輸出NCS,被控對象的狀態(tài)方程為

假設網(wǎng)絡中的時變時延滿足0≤τk

且執(zhí)行器端通信序列的模態(tài)轉移概率矩陣為

則被控對象離散化后的參數(shù)為

為了滿足eλi(T-τk-αi)<1,取α1=-1,α2=-1.經(jīng)計算可得以下矩陣：

根據(jù)定理2,借助LMI工具箱,對矩陣不等式(21)求解,得到動態(tài)輸出反饋控制器的增益矩陣為

圖2 介質訪問序列的模態(tài)切換曲線Fig.2 Switch mode of medium access sequence

圖3 時變時延Fig.3 Time-varying delay

圖4 控制器的輸出信號Fig.4 Output signal of the controller

圖5 狀態(tài)軌跡Fig.5 State evolution

4 結論

本文針對一類同時存在介質訪問約束和時變時延的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng),研究了閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制問題.考慮到介質訪問約束和時變時延的隨機特性,建立了一類具有不確定性的離散時間Markov線性跳變系統(tǒng)模型.利用Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論和狀態(tài)增廣方法得到了網(wǎng)絡化系統(tǒng)的穩(wěn)定條件,并完成了動態(tài)輸出反饋控制器的設計.與采用狀態(tài)反饋的NCS相比較,雖然采用動態(tài)輸出反饋的NCS的模型較為復雜,但是解決了被控狀態(tài)不可測的情況下系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,并對存在時變時延和介質訪問約束的NCS系統(tǒng)具有動態(tài)補償功能,可以保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并具有良好的控制性能.

本文僅僅考慮了執(zhí)行器端的介質訪問約束,對傳感器信道和執(zhí)行器信道兩端同時存在介質訪問約束的情況并未分析,且對通信網(wǎng)絡中的數(shù)據(jù)包丟失、信號量化誤差等其他類型的通信約束并沒有設計.針對多種通信約束共存的NCS,如何進行控制器和通信調度策略的設計,需要將來進一步研究.