殷興國(guó)

摘要：關(guān)節(jié)摩擦力是影響工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、碰撞檢測(cè)的靈敏性及拖拽示教的平滑性的關(guān)鍵因素，如何確定摩擦力的大小是工業(yè)機(jī)器人的控制難點(diǎn)。針對(duì)工業(yè)機(jī)器人摩擦力的計(jì)算和補(bǔ)償問題，本文在傳統(tǒng)魯棒自適應(yīng)方法的基礎(chǔ)上引入權(quán)重因子，實(shí)現(xiàn)一種基于角色切換的摩擦補(bǔ)償，進(jìn)而提出了兩種有效的自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法，并證明了其在控制器應(yīng)用中的穩(wěn)定性，最后在連桿系統(tǒng)中用仿真的方法驗(yàn)證了兩種補(bǔ)償方法的有效性，并比較了它們的優(yōu)缺點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：工業(yè)機(jī)器人摩擦補(bǔ)償自適應(yīng)連桿系統(tǒng)

Abstract： Joint friction is the key factor affecting the motion stability of industrial robot， the sensitivity of collision detection and the smoothness of drag teaching. How to determine the friction is the difficulty point of industrial robot control. Aiming at the problem of friction calculation and compensation of industrial robot， based on the traditional robust adaptive method， this paper introduces the weight factor to realize a friction compensation based on role switching， then proposes two effective adaptive friction compensation methods， and proves their stability in the application of controller， Finally， the effectiveness of the two compensation methods is verified by simulation in the connecting rod system， and their advantages and disadvantages are compared.

Key Words： Industrial robot; Friction compensation; Adaptive; Connecting rod system

隨著近些年機(jī)器人摩擦補(bǔ)償方法研究的不斷深入，機(jī)器人摩擦補(bǔ)償方法也多種多樣。實(shí)際上，機(jī)器人摩擦補(bǔ)償方案的選取受到許多因素的影響，包括可用的執(zhí)行器信息、傳感器信息等。因此，以不同的可用摩擦信息作為依據(jù)，本文詳細(xì)闡述機(jī)器人摩擦補(bǔ)償?shù)难芯窟M(jìn)展。

假設(shè)摩擦模型是已知的并且參數(shù)可以被得到，此時(shí)，人們可以通過摩擦參數(shù)辨識(shí)的方法實(shí)現(xiàn)機(jī)器人摩擦的補(bǔ)償?；诮o定的摩擦模型，人們可以采用離線的機(jī)器人摩擦參數(shù)辨識(shí)方法，并根據(jù)辨識(shí)好的參數(shù)在工程中實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的摩擦補(bǔ)償[1，2]。摩擦力模型主要經(jīng)歷了庫(kù)倫摩擦模型、靜摩擦+庫(kù)倫摩擦模型、Stribeck模型和LuGre模型等[3]，吳曉敏等在Stribeck模型基礎(chǔ)上加入了溫度項(xiàng)[4]，Johanastrom等在LuGre模型基礎(chǔ)上分析粘滑運(yùn)動(dòng)[5]，此外，針對(duì)模型參數(shù)皆已知的動(dòng)態(tài)摩擦模型[6]，Kosti等運(yùn)用觀測(cè)器的方法觀測(cè)動(dòng)態(tài)摩擦模型的內(nèi)核態(tài)，實(shí)現(xiàn)固定模型、參數(shù)的動(dòng)態(tài)摩擦補(bǔ)償[7]。不僅如此，還將魯棒方法導(dǎo)入機(jī)器人模型的獲取中，從而在已知模型的基礎(chǔ)上，令人滿意地補(bǔ)償機(jī)器人中的摩擦力[8]。

針對(duì)摩擦模型已知，但參數(shù)未知的情況，自適應(yīng)方法是補(bǔ)償摩擦的一種常見方案[9]。對(duì)于摩擦模型未知的情況，人們常常將魯棒方法應(yīng)用于機(jī)器人的摩擦補(bǔ)償。此外，一些先進(jìn)的智能工具也被使用到機(jī)器人摩擦補(bǔ)償?shù)姆桨钢?。模糊、神?jīng)網(wǎng)絡(luò)[10-12]、強(qiáng)化學(xué)習(xí)[13]等智能工具通過構(gòu)建機(jī)器人摩擦模型或者自調(diào)節(jié)控制參數(shù)等方法[14]，對(duì)機(jī)器人的摩擦進(jìn)行補(bǔ)償。

然而，對(duì)于上述的絕大部分摩擦補(bǔ)償方法而言，摩擦被視為一種有害于機(jī)器人系統(tǒng)穩(wěn)定的擾動(dòng)，對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。但實(shí)際情況下，摩擦并不一定有害于系統(tǒng)的穩(wěn)定。出于利用摩擦穩(wěn)定系統(tǒng)的考慮，本文在傳統(tǒng)魯棒自適應(yīng)方法的基礎(chǔ)上引入權(quán)重因子，實(shí)現(xiàn)一種基于角色切換的摩擦補(bǔ)償。

針對(duì)模型已知參數(shù)未知的靜摩擦，引入了權(quán)重因子，并將其運(yùn)用在基于模型的兩種機(jī)器人魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法中.通過權(quán)重因子，一方面，當(dāng)摩擦有害于機(jī)器人系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)對(duì)摩擦進(jìn)行補(bǔ)償?shù)窒?另一方面，當(dāng)摩擦有益于系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，對(duì)摩擦進(jìn)行利用。最后，通過仿真驗(yàn)證了引入權(quán)重因子后，魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法能夠減小跟蹤誤差以及控制力矩。

2系統(tǒng)建模

考慮機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，有一些常見的可用于控制律設(shè)計(jì)的性質(zhì)，主要?dú)w納為以下幾點(diǎn)。

第一，慣量矩陣的正定性。

在大多數(shù)摩擦補(bǔ)償?shù)姆椒ㄖ?，摩擦常常被?dāng)作一種有害的因素進(jìn)行抵消或者補(bǔ)償。但是在很多實(shí)際工況中，摩擦常常有利于系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，例如，機(jī)械臂可以利用摩擦進(jìn)行制動(dòng)。在機(jī)器人軌跡跟蹤中，摩擦所扮演的角色也不僅僅是有害者，有時(shí)候摩擦也能利于機(jī)器人的軌跡跟蹤。而如何判定摩擦在機(jī)器人跟蹤軌跡中是有益還是有害，并以此為依據(jù)設(shè)計(jì)控制律，從而實(shí)現(xiàn)，一方面，在摩擦有益之時(shí)利用摩擦，另一方面，在摩擦有害之時(shí)補(bǔ)償摩擦，是本部分重點(diǎn)關(guān)注的問題。而摩擦利用的判據(jù)與機(jī)器人系統(tǒng)李雅普諾夫的穩(wěn)定性緊密相關(guān)。在這里，考慮對(duì)摩擦有利或者有害的判據(jù)設(shè)定為，摩擦是否能夠保證給定擬李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)始終不大于0，并以此為依據(jù)，設(shè)計(jì)連續(xù)的權(quán)重因子，并提出魯棒自適應(yīng)框架下的基于角色切換的機(jī)器人摩擦補(bǔ)償方法。

考慮基于關(guān)節(jié)空間的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型可以描述為如下歐拉-拉格朗日方程的形式，并將摩擦力顯式表達(dá)出來，如下：

其中，是機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間中的坐標(biāo)，為機(jī)器人慣量矩陣，表示機(jī)器人柯氏力與離心力，表示機(jī)器人重力，表示機(jī)器人摩擦力，表示各關(guān)節(jié)輸入力矩，為機(jī)器人雅各比矩陣。

第四，摩擦中的權(quán)重因子設(shè)計(jì)。

在大多數(shù)情況下，摩擦阻礙物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或者相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。據(jù)此對(duì)機(jī)器人中的摩擦力方向提出如下合理假定：

下面對(duì)權(quán)重因子的設(shè)計(jì)思想進(jìn)行詳細(xì)闡述。

當(dāng)摩擦力使系統(tǒng)靠近滑模面時(shí)，摩擦力有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定，權(quán)重因子設(shè)定為0。

當(dāng)摩擦力使系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，摩擦力不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定，權(quán)重因子設(shè)定為1。也就是說，權(quán)重因子可以根據(jù)摩擦力在軌跡跟蹤中所扮演的角色，即有益者或者有害者，適時(shí)并連續(xù)地取值，從而達(dá)到，一方面，在摩擦有益于穩(wěn)定之時(shí)利用摩擦，另一方面，在摩擦有害于穩(wěn)定之時(shí)補(bǔ)償摩擦的效果，因而可以實(shí)現(xiàn)控制律利用摩擦和補(bǔ)償摩擦的角色切換。

在實(shí)際工程中，受到不同機(jī)械結(jié)構(gòu)、環(huán)境、任務(wù)等因素的影響，人們所能得到的機(jī)器人摩擦信息不盡相同。很多情況下，機(jī)器人摩擦的模型很難準(zhǔn)確得到。據(jù)此，根據(jù)摩擦模型能否準(zhǔn)確得到，本文分別設(shè)計(jì)基于摩擦模型的魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償和不基于摩擦模型的魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償。兩者均是J.J.Slotine提出的機(jī)器人自適應(yīng)補(bǔ)償框架下進(jìn)行摩擦補(bǔ)償?shù)摹?/p>

考慮庫(kù)倫-粘性的靜態(tài)摩擦模型：

與機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)可線性化類似，摩擦參數(shù)線性化的形式可以推導(dǎo)為：

雖然說摩擦模型可以得到，但是摩擦參數(shù)可能存在一定的誤差，即精確的的值很難得到。不僅如此，機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)也存在不確定性，即人們很難得到精確的的值。因而，鑒于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)和摩擦均存在一定的參數(shù)不確定性，本文提出下述定理。

2.1使用速度信息的自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法

考慮機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型和摩擦模型。假定機(jī)器人摩擦滿足假設(shè)，那么提出控制律：

即各關(guān)節(jié)軌跡誤差趨于下述滑模面：

所以跟蹤位置、速度誤差漸近收斂到0，定理證明完畢。

結(jié)合權(quán)重因子和自適應(yīng)控制律，對(duì)角色切換進(jìn)行詳盡分析。

（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)合假設(shè)，中關(guān)于摩擦的項(xiàng)可能不小于0，此時(shí)無法保證機(jī)器人跟蹤軌跡的穩(wěn)定性，需要對(duì)摩擦項(xiàng)進(jìn)行處理。因而選取。當(dāng)時(shí)，該控制律與傳統(tǒng)的基于模型的魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法相同，此時(shí)摩擦有害于機(jī)器人軌跡跟蹤的穩(wěn)定，因而采用自適應(yīng)的方法抵消摩擦。

（2）當(dāng)時(shí)，結(jié)合假設(shè)，中關(guān)于摩擦的項(xiàng)不大于0，此時(shí)即使對(duì)摩擦不做處理，機(jī)器人軌跡跟蹤的穩(wěn)定性也能得到保證。當(dāng)時(shí)，控制律中與摩擦相關(guān)的項(xiàng)將不作用于系統(tǒng)的控制力矩?？刂坡蔁o需對(duì)摩擦進(jìn)行處理，此時(shí)的摩擦將有利于機(jī)器人軌跡跟蹤的穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，對(duì)摩擦的處理介于上述兩者之間，目的是保證控制律的連續(xù)性。

注意到定理一的證明不涉及矩陣A和矩陣B。這意味著，該摩擦力補(bǔ)償方法不僅能應(yīng)用于庫(kù)倫-粘性靜態(tài)摩擦模型。只要摩擦模型滿足參數(shù)線性化性質(zhì)和假設(shè)，權(quán)重因子就可以引入到基于摩擦模型的魯棒自適應(yīng)補(bǔ)償方法中，從而實(shí)現(xiàn)基于角色切換的摩擦補(bǔ)償。例如，在Stribeck模型線性參數(shù)未知而非線性參數(shù)已知的情況下，該基于角色切換的摩擦補(bǔ)償方法同樣適用。

為了減少摩擦角色切換中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，本方法在權(quán)重因子中引入了邊界層，以保證切換過程的連續(xù)性。對(duì)于大多數(shù)引入邊界層來減少抖振的控制律，系統(tǒng)嚴(yán)格意義上的漸近穩(wěn)定性難以保證，閉環(huán)系統(tǒng)最終收斂到平衡點(diǎn)的有界鄰域內(nèi)。而在本方法中，邊界層的引入只改變了利用摩擦與不利用摩擦的作用區(qū)間，雖然會(huì)影響角色切換的效果，但是并不影響摩擦補(bǔ)償?shù)姆€(wěn)定性，機(jī)器人系統(tǒng)嚴(yán)格意義上的穩(wěn)定性仍能得到保證。

該方法針對(duì)的是機(jī)器人摩擦參數(shù)未知的情形。如果摩擦參數(shù)精確已知時(shí)，亦可以將權(quán)重因子運(yùn)用在摩擦的精確抵消上。通過權(quán)重因子的引入，我們只需要精確抵消不利于機(jī)器人軌跡跟蹤穩(wěn)定時(shí)的摩擦即可。

在實(shí)際的機(jī)器人摩擦補(bǔ)償中，權(quán)重因子的引入將帶來更多的可調(diào)節(jié)參數(shù)。本方法可以通過設(shè)計(jì)權(quán)重因子中和的值，來合理地選取不利用摩擦與摩擦利用的作用區(qū)間，從而實(shí)現(xiàn)更好的摩擦補(bǔ)償?shù)男阅堋?/p>

注意到上述摩擦補(bǔ)償?shù)姆椒ㄓ玫搅怂俣刃畔?。但是在?shí)際機(jī)器人系統(tǒng)中，相比位置信息而言，獲取的速度信息會(huì)有較大的誤差。不僅如此，速度信息會(huì)比位置信息存在更大的噪聲干擾。因而文獻(xiàn)提出了一種通過代替來實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償。而同樣地，權(quán)重因子也可以引入到該自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法中，作為定理一的補(bǔ)充和擴(kuò)展。

2.2使用參考速度信息的自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法

考慮機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型和庫(kù)倫+粘性摩擦模型。假定機(jī)器人摩擦模型滿足矩陣A與矩陣B的對(duì)角元均不小于0，那么提出如下控制律：

所以跟蹤位置、速度誤差漸近收斂到0，定理證明完畢。

定理一與定理二的控制律不同點(diǎn)在于，摩擦補(bǔ)償項(xiàng)里面的自變量由變?yōu)榱?，即定理二中關(guān)于摩擦補(bǔ)償?shù)捻?xiàng)為，而定理一中針對(duì)摩擦補(bǔ)償?shù)捻?xiàng)為。雖然如此，該自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法仍涉及了速度信息，但這種方法引入權(quán)重因子后亦能夠?qū)崿F(xiàn)基于角色切換的摩擦補(bǔ)償效果。

3連桿系統(tǒng)仿真驗(yàn)證

考慮二連桿大負(fù)載機(jī)械臂抓取模型，如圖1所示。

其他固定的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

假定二連桿機(jī)械臂受到較大的摩擦。其真實(shí)的摩擦模型設(shè)定為：

其次，本仿真給出待估計(jì)摩擦模型和機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的初始估計(jì)參數(shù)。這里待估計(jì)的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)初始參數(shù)與摩擦參數(shù)初始值為：

最后設(shè)定跟蹤軌跡及控制律參數(shù)。機(jī)械臂跟蹤的目標(biāo)曲線設(shè)定為：

魯棒自適應(yīng)參數(shù)的值設(shè)置如下：

4基于摩擦模型的魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償仿真

本部分主要描述基于模型的摩擦自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)亩B桿大負(fù)載機(jī)械臂仿真。權(quán)重因子中的參數(shù)選取為：

與之對(duì)應(yīng)的，不利用摩擦的權(quán)重因子選取為1，即對(duì)于任意的。那么

，下列圖2～7中表示了在方法一、方法二控制律下機(jī)械臂的位置、速度和力矩。顯然，權(quán)重因子的引入不影響機(jī)械臂跟蹤的穩(wěn)定性，機(jī)械臂的位置誤差和速度誤差均收斂到0。

為了能夠從數(shù)值上更好地描述引入權(quán)重因子所帶來的優(yōu)化效果，仿真取前10s，引入如下表征量：

其中：

可以表征位置和速度的跟蹤誤差，可以表征系統(tǒng)力矩的大小。也就是說，越大，一定程度上意味著機(jī)械臂跟蹤位置速度誤差越大;越大，意味著機(jī)械臂跟蹤所消耗的能量越大。那么，有無權(quán)重因子的仿真效果對(duì)比如表2所示。

上表可以清楚地表明，利用摩擦的自適應(yīng)補(bǔ)償方法所對(duì)應(yīng)的表征量將小于不利用摩擦所對(duì)應(yīng)的表征量。也就是說，從仿真效果上看，基于摩擦模型的角色切換魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法可以實(shí)現(xiàn)減小跟蹤誤差和控制力矩的效果。因而，摩擦模型已知的基于角色切換的魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償，能夠一定程度上提升跟蹤精度，減小控制的能量消耗，因而在工業(yè)上有著較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

5結(jié)語

本文提出了兩種用于工業(yè)機(jī)器人控制器中的摩擦補(bǔ)償方法，用理論和實(shí)驗(yàn)仿真的方法驗(yàn)證了所提出方法的有效性，并通過仿真對(duì)比得出魯棒自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償在工業(yè)應(yīng)用上更有優(yōu)勢(shì)。

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