張嘉明，黃佩珍

（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210016）

在生產(chǎn)、服役過(guò)程中，內(nèi)連導(dǎo)線承受著高電流密度，其中大量的電子流做定向運(yùn)動(dòng)，形成逆電場(chǎng)方向的“電子風(fēng)”，與金屬粒子碰撞發(fā)生動(dòng)量傳遞，導(dǎo)致金屬粒子朝著逆電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)。這種現(xiàn)象被稱之為電遷移，對(duì)內(nèi)連導(dǎo)線的可靠性有顯著影響［1］。在電遷移作用下，內(nèi)連導(dǎo)線中諸如孔洞、夾雜等微缺陷會(huì)發(fā)生漂移以及形變，其形貌可能會(huì)失穩(wěn)、分裂或聚合［2］。因此，研究電遷移誘發(fā)界面擴(kuò)散下夾雜的形貌演化機(jī)理，對(duì)于了解金屬內(nèi)連導(dǎo)線的微觀特性，改善微電子器件的可靠性具有重要意義。

近年來(lái)，迅速發(fā)展的相場(chǎng)法為研究微結(jié)構(gòu)演化提供了強(qiáng)有力的工具［3］。結(jié)合動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)定律，相場(chǎng)理論中有兩類常見(jiàn)的方程，分別為Cahn-Hilliard方程［4］和Allen-Cahn方程［5］。其中，Cahn-Hilliard方程描述了滿足質(zhì)量守恒定律的原子擴(kuò)散過(guò)程，用于研究Spinodal分解、表面擴(kuò)散［6-10］等問(wèn)題。

Mahadevan等［6］最早建立了電遷移的相場(chǎng)模型并進(jìn)行了漸進(jìn)分析。Bhate等［7］采用非光滑雙阱勢(shì)構(gòu)造了相場(chǎng)模型，用于研究電遷移和應(yīng)力誘發(fā)表面擴(kuò)散、體擴(kuò)散下孔洞的演化。Barrett等［8］基于退化型遷移率模擬了孔洞的電遷移行為。Li等［9］研究了電導(dǎo)率和各向異性表面能對(duì)電場(chǎng)作用下夾雜遷移和演化的影響。Santoki等［10］研究了各向異性表面能作用下圓形夾雜的演化。

在上述相場(chǎng)研究工作中，未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道體自由能密度和退化型遷移率均采取四次雙阱勢(shì)函數(shù)的相場(chǎng)模型。本文應(yīng)用開(kāi)源框架MOOSE［11］編制有限元程序，分析了橢圓夾雜在電遷移作用下的基本演化規(guī)律，以及電場(chǎng)強(qiáng)度和初始形態(tài)比對(duì)不同電導(dǎo)率的夾雜演化規(guī)律的影響。

1 基本理論

如圖1所示，考慮基于平面應(yīng)變問(wèn)題的二維內(nèi)連導(dǎo)線單晶模型，初始夾雜存在于有限大的金屬基體中，內(nèi)連導(dǎo)線兩端施加大小為φ∞的電勢(shì)差。l、h分別為導(dǎo)線的線長(zhǎng)與線寬，a、b分別為x、y軸上微缺陷的半軸長(zhǎng)，β=a b，為形態(tài)比。序參數(shù)φ用于區(qū)分基體和夾雜的不同相，將模型分為三個(gè)區(qū)域：基體區(qū)域R+中φ=+1，夾雜區(qū)域R-中φ=-1，界面層RI內(nèi)φ由-1到+1連續(xù)變化。

圖1 內(nèi)連導(dǎo)線中夾雜的相場(chǎng)模型Fig.1 Phase field model of an inclusion in the interconnect line

在外電場(chǎng)作用下，系統(tǒng)的總自由能泛函F構(gòu)造形式為

式（1）中，γs為界面張力，ε為與界面層厚度相關(guān)的梯度能量系數(shù)，A=4 2W3為無(wú)量綱參數(shù)，其中W表示兩個(gè)平衡相之間的勢(shì)壘高度。系統(tǒng)的總自由能密度F由體自由能密度f(wàn)bk、梯度自由能密度f(wàn)gr和電勢(shì)能密度f(wàn)e組成，分別為

式（2）中的fbk采用四次雙阱勢(shì)函數(shù)。式（4）中，φ為電勢(shì)，Ω為遷移原子體積，Z*為原子的有效化合鍵，e為元電荷?；瘜W(xué)勢(shì)μ由F對(duì)φ的變分導(dǎo)數(shù)定義，即

式（5）中，因子2是由于從R-到R+中φ由-1過(guò)渡為+1所致。界面原子的質(zhì)流通量J與?μ（驅(qū)動(dòng)力）呈線性關(guān)系，即

式（6）中，B=2 3 2W為無(wú)量綱參數(shù)，D為界面擴(kuò)散的原子遷移率。M(φ)表示與φ相關(guān)的退化型遷移系數(shù)，即

式（7）確保了原子的界面擴(kuò)散只發(fā)生在RI內(nèi)。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，φ對(duì)時(shí)間t的變化率與J的散度有關(guān)，即

式（8）即為四階修正的Cahn-Hilliard方程，即

求解式（9）需要聯(lián)立φ的拉普拉斯方程，即

式（10）中，σ=σ(φ)表示與φ相關(guān)的電導(dǎo)率。

2 可靠性驗(yàn)證

基于所推導(dǎo)的相場(chǎng)控制方程，應(yīng)用MOOSE編制有限元程序。為了驗(yàn)證程序可靠性，考慮無(wú)限大且各向同性金屬材料中半徑為R的圓形夾雜，在小電場(chǎng)下保持圓形并沿電場(chǎng)方向穩(wěn)定漂移的理論解［12］，即

式（11）中，E=φ∞l表示遠(yuǎn)端電場(chǎng)強(qiáng)度。

定義特征速度Vf=DΩγs af3，相對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度χ=，采用無(wú)量綱時(shí)間t~=tDΩγs af4。將夾雜漂移速度的理論解和數(shù)值解分別無(wú)量綱化，即

下標(biāo)th和num分別表示理論解和數(shù)值解。由圖2可見(jiàn)，數(shù)值解V~num與理論解V~th吻合良好，故本文的有限元算法是可靠的。

圖2 夾雜的漂移速度V~隨著λ的變化曲線Fig.2 The variation curve of drift velocity V~of inclusion withλ

3 數(shù)值模擬與討論

下面將分析電遷移誘發(fā)界面擴(kuò)散下夾雜的形貌演化規(guī)律，討論χ和β對(duì)不同λ的夾雜形貌演化的影響，其中外電場(chǎng)的方向均為從左向右。

3.1 相對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度χ的影響

圖3-4為χ=4，12且β=3時(shí)，不同λ下夾雜的形貌演化圖。由圖3可見(jiàn)，夾雜均沿電場(chǎng)方向穩(wěn)定漂移，λ=0的夾雜前方形成刻面，而λ=0.5的夾雜僅后方完成圓柱化。由圖4可見(jiàn)，λ=0的夾雜沿x軸方向發(fā)生分裂，而λ=0.5的夾雜前方形成逐漸拉長(zhǎng)的指狀延伸。

圖3 χ=4,β=3時(shí)，不同λ下夾雜的形貌演化圖Fig.3 Morphological evolution of the inclusions under differentλforχ=4,β=3

圖4 χ=12,β=3時(shí)，不同λ下夾雜的形貌演化圖Fig.4 Morphological evolution of the inclusions under differentλforχ=12,β=3

3.2 初始形態(tài)比β的影響

圖5-6所示為β=3，5且χ=20時(shí)，不同λ下夾雜的形貌演化圖。由圖5可見(jiàn)，λ=0的夾雜沿x軸方向發(fā)生分裂，而λ=0.5的夾雜先后沿x軸方向和y軸方向發(fā)生分裂。由圖6可見(jiàn)，λ=0的夾雜分裂時(shí)間相比圖5更長(zhǎng)，且發(fā)生了多次分裂，而λ=0.5的夾雜形成了狹長(zhǎng)指狀延伸。

圖5 β=3,χ=20時(shí)，不同λ下夾雜的形貌演化圖Fig.5 Morphological evolution of the inclusions under differentλforβ=3,χ=20

圖6 β=5,χ=20時(shí)，不同λ下夾雜的形貌演化圖Fig.6 Morphological evolution of the inclusions under differentλforβ=5,χ=20

4 結(jié) 論

本文相場(chǎng)模擬了相對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度χ和初始形態(tài)比β對(duì)不同電導(dǎo)率λ的夾雜形貌演化的影響，得到主要結(jié)論如下：

（1）在電遷移作用下，夾雜沿電場(chǎng)方向發(fā)生漂移，且λ越大，夾雜的漂移速度越慢。

（2）對(duì)于一定β的夾雜，λ越大，夾雜分裂時(shí)所需的χ越大。

（3）當(dāng)χ較大、β較大時(shí)，λ小的夾雜容易分裂；β較小時(shí)，λ大的夾雜容易分裂。