江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (225009) 戚有建 石青慧

一、考題展示

題目(2020年新高考山東卷21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

點(diǎn)評(píng)：本題是2020年新高考山東卷21題，第(1)問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，學(xué)生很容易上手，第(2)問考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，有一定難度和區(qū)分度.本題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、表達(dá)流暢、靜中有動(dòng)、平中見奇、入口較寬，解法多樣，有內(nèi)涵、有思想、有新意，令人回味無窮，極具教學(xué)價(jià)值和研究?jī)r(jià)值.本文重點(diǎn)研究第(2)問.

二、解法研究

(1)當(dāng)0

綜上得a≥1.

解法2：(先從必要條件入手求出參數(shù)a的初步范圍，然后求f(x)min)

先考慮必要性：由f(x)≥1恒成立得f(1)≥1，即a+lna≥1，∵函數(shù)h(a)=a+lna在(0,+∞)上遞增且h(1)=1，∴a≥1.

再考慮充分性：當(dāng)a≥1時(shí)，aex-1≥ex-1,lna≥0，∴f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

下面證ex-1-lnx≥1，可參考上面解法1中的的(2),過程略.

綜上得a≥1.

點(diǎn)評(píng)：解法2是先從必要條件入手求出參數(shù)a的初步范圍，然后在a≥1條件下再研究f(x)min，過程中借助aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx放縮處理讓問題顯得更簡(jiǎn)單.另外，解法2中在證明ex-1-lnx≥1時(shí)也可以借助“切線不等式ex≥x+1，lnx≤x-1”來處理，過程為：由切線不等式ex≥x+1得ex-1≥x，而lnx≤x-1，所以ex-1-lnx≥1.

點(diǎn)評(píng)：主元法是處理多元問題的有效方法，當(dāng)題目中含有常量、參量及變量等多個(gè)量時(shí)，可根據(jù)解題需要，選擇一個(gè)量作為主元，并以此為線索來解決問題，以此往往能起到事半功倍、意想不到的效果.

∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，∴h(x)max=h(1)=0，∴l(xiāng)na≥0，即a≥1.

點(diǎn)評(píng)：解法4從題目的結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)建同構(gòu)不等式，借助單調(diào)性解題，非常簡(jiǎn)潔，其中改寫成同構(gòu)式的變形過程技巧性較強(qiáng)，而且變形過程中注意恒等式a=elna或a=ln(ea)的靈活運(yùn)用，借此可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)對(duì)數(shù)互化. 另外，要特別提出的是，構(gòu)建同構(gòu)式處理不等式實(shí)際上本質(zhì)還是借助函數(shù)單調(diào)性來處理不等式，所以此種方法只能處理形如“f(x1)>f(x2)”結(jié)構(gòu)的不等式.

三、命題方法

命題者是如何想到函數(shù)不等式aex-1-lnx+lna≥1的呢？其實(shí)命題者就是借助單調(diào)性和函數(shù)復(fù)合來編制本題的，過程如下：

第一步：先選定一個(gè)單調(diào)函數(shù)g(t)=et+t;

第二步：再選定一個(gè)不等式lnx≤x-1，然后引入?yún)?shù)得lnx≤x-1+m；

第三步：由g(t)=et+t的單調(diào)性得同構(gòu)式不等式g(lnx)≤g(x-1+m)，即ex-1+m-lnx+m≥1；

第四步：將em換成a即得不等式aex-1-lnx+lna≥1.

四、方法應(yīng)用

借助此命題方法，還可以命制出很多復(fù)雜的函數(shù)不等式問題，例如：

第二步：再選定一個(gè)不等式x>ln(x+1)>0；

第四步：改成整式得到問題：當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，證明(ex-1)ln(x+1)>x2.