曹小鴿，楊 楊

(1. 西安交通大學(xué)城市學(xué)院 電信系，陜西 西安 710018；2. 西安交通大學(xué)城市學(xué)院 物理教學(xué)部，陜西 西安 710018)

對(duì)于真空中的極板面積為S、極板間距為d的平行板電容器，教科書(shū)中給出的電容公式為

(1)

其中的ε0是真空電容率.在推導(dǎo)這個(gè)公式時(shí)，需假定兩個(gè)極板相距很近，忽略其邊緣效應(yīng)，將兩個(gè)極板近似為無(wú)限大帶電平面，兩個(gè)極板之間形成的是勻強(qiáng)電場(chǎng)，從而得到式(1).但實(shí)際的平行板電容器的大小終究是有限的，極板間的電場(chǎng)也并不是理想的勻強(qiáng)電場(chǎng)，故其電容和C0會(huì)有一定的偏差.目前計(jì)及邊緣效應(yīng)的平行板電容器的研究已有很多.文獻(xiàn)[1-3]研究了一邊有限寬、另一邊無(wú)限長(zhǎng)的長(zhǎng)方形極板的情形，文獻(xiàn)[4,5]則研究了正方形極板的情形，這些研究均基于Schwarz-Christoffel變換.文獻(xiàn)[6]用有限元仿真的方法研究了圓極板的情形，文獻(xiàn)[7]也給出了少量的數(shù)值結(jié)果.本文分別對(duì)圓形極板和矩形極板的平行板電容器做了近似計(jì)算與有限元仿真，研究其電容隨尺寸大小變化的規(guī)律，即所謂尺寸效應(yīng).

1 平行圓形板電容器的尺寸效應(yīng)

考慮一個(gè)真空中的平行圓形板電容器，極板半徑為R，極板間距為d.建立如圖1所示的坐標(biāo)系，下極板在xy平面內(nèi)，原點(diǎn)為下極板的中心，上極板在z=d平面內(nèi)，z軸為兩極板的中軸線(xiàn).

圖1 平行圓形板電容器

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帶負(fù)電的上極板在中軸線(xiàn)上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向也沿著z軸的正方向.若場(chǎng)點(diǎn)距下極板為z，則其距上極板為d-z，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，兩極板間中軸線(xiàn)上z處的總場(chǎng)強(qiáng)為

(3)

將場(chǎng)強(qiáng)沿中軸線(xiàn)積分，可得兩極板間的電勢(shì)差為

(4)

根據(jù)定義，平行圓形板電容器的電容為

(5)

將分母有理化，整理可得

(6)

圖2 平行圓形板電容器的f隨d/R變化的曲線(xiàn)

注意，式(6)是根據(jù)電荷在極板上均勻分布這一假設(shè)而導(dǎo)出的.實(shí)際上，由于邊緣效應(yīng)，電荷不可能是嚴(yán)格的均勻分布，式(6)仍然是一個(gè)近似的結(jié)果.接下來(lái)我們用Ansoft軟件進(jìn)行仿真，并將結(jié)果與式(6)比較.設(shè)定圓形極板的半徑R=50 mm，厚度為0.1 mm，材質(zhì)為銅，兩極板上所帶電荷分別為±1×10-5C，極板間為真空.給定極板間距d后，即可用有限元法算出兩極板間的場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)分布，進(jìn)而得到兩極板間的電勢(shì)差，最終根據(jù)定義求出實(shí)際電容.我們改變極板間距d，算出相應(yīng)的電容，將結(jié)果繪制到圖2中(○號(hào)).文獻(xiàn)[7]中給出了圓形板電容器的5組數(shù)據(jù)，也繪制到圖2中(△號(hào))作為參考.此外，圓形板電容器的電容還可用克希霍夫公式[4]近似描述，即

(7)

我們也將相應(yīng)結(jié)果繪制到圖2中(虛線(xiàn)).可見(jiàn)，當(dāng)d/R較小時(shí)，仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[7]的數(shù)據(jù)以及克?；舴蚬椒系煤芎?仿真結(jié)果表明，f確實(shí)隨d/R的增大而增大，其數(shù)值比均勻帶電近似的結(jié)果為大.通過(guò)比較可知，我們采用均勻帶電近似導(dǎo)出的結(jié)果能正確地反映電容隨尺寸變化的趨勢(shì)，較之C0更為精確，但與實(shí)際電容相比仍偏小.當(dāng)d/R較小時(shí)，均勻帶電近似的精度不及克希霍夫公式；當(dāng)d/R大到一定程度后，均勻帶電近似的精度會(huì)優(yōu)于克?；舴蚬?

圖3所示是d=30 mm時(shí)圓極板內(nèi)側(cè)表面附近的場(chǎng)強(qiáng)E隨極板半徑r的變化關(guān)系，而表面附近的場(chǎng)強(qiáng)和極板上的電荷面密度成正比，所以曲線(xiàn)也反映了電荷面密度的變化趨勢(shì).根據(jù)圖3所示，在r<35 mm的區(qū)域內(nèi)，電荷近似為均勻分布；在35 mm

圖3 圓極板內(nèi)側(cè)表面附近的場(chǎng)強(qiáng)隨極板半徑的變化關(guān)系

2 平行矩形板電容器的尺寸效應(yīng)

考慮一個(gè)平行矩形板電容器，矩形極板的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b，極板間距為d.建立如圖4所示的坐標(biāo)系，下極板在xy平面內(nèi)，x軸和y軸分別與下極板的兩條邊平行，原點(diǎn)在下極板的中心，上極板在z=d平面內(nèi)，z軸為兩極板的中軸線(xiàn).

圖4 平行矩形板電容器

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帶負(fù)電的上極板在中軸線(xiàn)上的場(chǎng)強(qiáng)方向也沿z軸正方向.和圓極板的情形類(lèi)似，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，兩極板間中軸線(xiàn)上z處的場(chǎng)強(qiáng)為

(9)

將場(chǎng)強(qiáng)沿中軸線(xiàn)積分，可得兩極板之間的電勢(shì)差為

(10)

根據(jù)定義，可求出平行矩形板電容器的電容為

(11)

(12)

這個(gè)積分無(wú)法求出解析形式，只得作數(shù)值計(jì)算.矩形極板的對(duì)稱(chēng)性不及圓形極板，我們定義這樣一個(gè)無(wú)量綱的相對(duì)尺寸參數(shù):

(13)

圖5 平行矩形板電容器的f隨s變化的曲線(xiàn)

注意，式(12)是一個(gè)無(wú)量綱的積分，其中的被積函數(shù)是關(guān)于x′和y′對(duì)稱(chēng)的，把參數(shù)s代入該式的兩個(gè)積分上限可得

(14)

由于邊緣效應(yīng)，電荷在極板上不可能是嚴(yán)格的均勻分布，式(11,12)只是近似的結(jié)果.接下來(lái)我們用Ansoft軟件進(jìn)行仿真，并與均勻帶電近似的結(jié)果比較.我們把矩形極板的邊長(zhǎng)分別設(shè)定為均勻帶電近似中的4組數(shù)值，極板厚度為0.1 mm，材質(zhì)為銅，兩極板上所帶電量為±1×10-5C，極板間為真空.我們改變極板間距d，求出相應(yīng)的電容，將結(jié)果繪制于圖5中.仿真結(jié)果表明，f確實(shí)隨s的增大而增大，其數(shù)值比均勻帶電近似的結(jié)果為大，而且仍然是c越大的曲線(xiàn)越低.通過(guò)比較可知，我們采用均勻帶電近似導(dǎo)出的結(jié)果能正確地反映電容隨尺寸變化的趨勢(shì)，較之C0更為精確，但與實(shí)際電容相比仍偏小.實(shí)際電容較大的原因在于極板上的電荷分布中間少、邊緣多，和圓極板的情形是類(lèi)似的.

3 結(jié)論

本文研究了平行圓形板和矩形板電容器的電容隨其尺寸變化的規(guī)律.我們一方面假設(shè)極板上的電荷均勻分布作近似計(jì)算，另一方面用Ansoft軟件作有限元仿真，并將兩種結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.均勻帶電近似的計(jì)算較簡(jiǎn)便，而且能夠正確地反映電容的變化趨勢(shì)，尤其是圓形板情形還得出了解析式.有限元仿真得到的電容更大，原因在于極板上的電荷分布中間少、邊緣多.本文的結(jié)果對(duì)靜電場(chǎng)部分的教學(xué)有參考價(jià)值，對(duì)平行板電容器的制作也有一定的理論指導(dǎo)意義.