王云峰

教材例題具有典型性、示范性和探索性的特點(diǎn)，有很多考題都源于教材例題，由命題專家巧妙構(gòu)思、編擬而成。同學(xué)們平時(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)立足教材，對(duì)教材例題給予足夠的重視。現(xiàn)舉一例與同學(xué)們共賞。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第138頁練習(xí)2）一只不透明的袋子中裝有2 個(gè)紅球和1 個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球，求兩次都摸到紅球的概率。

【解析】把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發(fā)生有4種可能，所以事件A 發(fā)生的概率P（A）=49，即兩次摸到紅球的概率是49。

變臉一“一只袋子”變?yōu)椤皟芍淮印?，“兩次都摸到紅球”變?yōu)椤懊龅膬蓚€(gè)球顏色相同”。

例1 （2020·黑龍江雞西）現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，另一個(gè)裝有1個(gè)黃球、2個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是（ ）。

A.13

B.49

C.35

D.23

【解析】給第一只袋子中的2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，給第二只袋子中的2個(gè)紅球編號(hào)為紅球3、紅球4，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“摸出的兩個(gè)球顏色相同”記為事件A，它的發(fā)生有4種可能，所以事件A 發(fā)生的概率P（A）=49，即摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是49。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】“從一個(gè)袋子中摸兩次球（第一次摸出的球放回袋子）”與“從兩個(gè)袋子中分別摸出一個(gè)球”所有可能出現(xiàn)的結(jié)果居然相同，但其中的不同需同學(xué)們自己研究。

變臉二“兩種顏色球的個(gè)數(shù)已知”變?yōu)椤澳撤N顏色球的個(gè)數(shù)未知”，“兩次都摸到紅球”變?yōu)椤皟纱蚊讲煌伾那颉薄?/p>

例2 （2020·湖南衡陽）一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個(gè)黑球和n 個(gè)白球，攪勻后從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為13。

（1）求n 的值;

（2）所有球放入盒中，攪勻后隨機(jī)從中摸出1個(gè)球，放回?cái)噭颍匐S機(jī)摸出第2個(gè)球，求兩次摸球摸到一個(gè)白球和一個(gè)黑球的概率，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法進(jìn)行說明。

【解析】（1）根據(jù)題意，得

。

解得n=1。

經(jīng)檢驗(yàn)，n=1是分式方程的根。

答：n 的值為1。

（2）給袋子中的2個(gè)黑球編號(hào)為黑球1、黑球2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！皟纱蚊蛎揭粋€(gè)白球和一個(gè)黑球”記為事件A，它的發(fā)生有4種可能，所以事件A 發(fā)生的概率P（A）=49，即兩次摸球摸到一個(gè)白球和一個(gè)黑球的概率是49。

【點(diǎn)評(píng)】已知概率的值，可借助等可能條件下的概率公式，利用方程思想，列方程求出某種顏色球的個(gè)數(shù)。需要注意的是，如果列出的是分式方程，別忘了分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)。

變臉三“三個(gè)球”變?yōu)椤皟蓚€(gè)球”，球的顏色變?yōu)閿?shù)字。

例3 （2020·北京）不透明的袋子中有兩個(gè)小球，上面分別寫著數(shù)字1、2，除數(shù)字外兩個(gè)小球無其他差別。從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是（ ）。

A.14

B.13

C.12

D.23

【解析】用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

由樹狀圖可知，共有4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！皟纱斡涗浀臄?shù)字之和為3”記為事件A，它的發(fā)生有2 種可能，所以事件A 發(fā)生的概率P（A）=24=12，即兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率為12。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】“三個(gè)球”變?yōu)椤皟蓚€(gè)球”，兩次摸球可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)減少。一般地，如果第一次摸球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是3種及以下，往往采用畫樹狀圖法求解。當(dāng)然也可利用列表法求解，只是沒有畫樹狀圖法方便、快捷。變臉?biāo)摹叭齻€(gè)球”變?yōu)椤八膫€(gè)球”，顏色由兩種變?yōu)槿N。

例4 （2020·陜西）小亮和小麗進(jìn)行摸球試驗(yàn)。他們?cè)谝粋€(gè)不透明的空布袋內(nèi)，放入兩個(gè)紅球、一個(gè)白球和一個(gè)黃球，共四個(gè)小球，這些小球除顏色外其他都相同。試驗(yàn)規(guī)則：先將布袋內(nèi)的小球搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后放回，稱為摸球一次。

（1）小亮隨機(jī)摸球10次，其中6次摸出的是紅球，求這10次中摸出紅球的頻率;

（2）若小麗隨機(jī)摸球兩次，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個(gè)是白球、一個(gè)是黃球的概率。

【解析】（1）∵小亮隨機(jī)摸球10次，其中6次摸出的是紅球，

∴這10次中摸出紅球的頻率= 610=35。

（2）給袋子中的2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有16 種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！皟纱蚊龅那蛑幸粋€(gè)是白球、一個(gè)是黃球”記為事件A，它的發(fā)生有2種可能，所以事件A 發(fā)生的概率P（A）= 216=18，即兩次摸出的球中一個(gè)是白球、一個(gè)是黃球的概率是18。

【點(diǎn)評(píng)】“三個(gè)球”變?yōu)椤八膫€(gè)球”，兩次摸球的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果增多。一般地，如果第一次摸球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有4種及以上，往往用列表法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。當(dāng)然也可采用畫樹狀圖法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，但由于結(jié)果較多，樹狀圖法所需書寫空間較大，且書寫沒有表格美觀，因而較少采用。

變臉五“一個(gè)口袋”變?yōu)椤叭齻€(gè)口袋”，“兩次摸球”變?yōu)椤叭蚊颉薄?/p>

例5 （2020·內(nèi)蒙古通遼）甲口袋中裝有2個(gè)相同小球，它們分別寫有數(shù)字1、2;乙口袋中裝有3個(gè)相同小球，它們分別寫有數(shù)字3、4、5;丙口袋中裝有2個(gè)相同小球，它們分別寫有數(shù)字6、7。從三個(gè)口袋各隨機(jī)取出1個(gè)小球。用畫樹狀圖或列表法求：

（1）取出的3個(gè)小球上恰好有一個(gè)偶數(shù)的概率;

（2）取出的3個(gè)小球上全是奇數(shù)的概率。

【解析】用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由樹狀圖可知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。

（1）“取出的3 個(gè)小球上恰好有一個(gè)偶數(shù)”記為事件A，它的發(fā)生有5 種可能，所以取出的3 個(gè)小球上恰好有一個(gè)偶數(shù)的概率為P（A）= 512。

（2）“取出的3個(gè)小球上全是奇數(shù)”記為事件B，它的發(fā)生有2種可能，所以取出的3個(gè)小球上全是奇數(shù)的概率為P（B）= 212=16。

【點(diǎn)評(píng)】從三個(gè)口袋中分別取出一個(gè)球，一次試驗(yàn)需“三步”才能完成，習(xí)慣上稱這類問題為“三步概率”問題。需要注意的是，“三步概率”問題只能采用畫樹狀圖法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果求解。

（作者單位：江蘇省鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)）