趙文舉，龔 俊，劉 洋

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

機(jī)械加工過(guò)程普遍存在振動(dòng)現(xiàn)象。振動(dòng)會(huì)影響被加工件的表面質(zhì)量，加劇刀具的磨損，劇烈的振動(dòng)會(huì)使切削加工不能繼續(xù)進(jìn)行，從而降低生產(chǎn)率，對(duì)機(jī)床和夾具不利。在動(dòng)態(tài)的銑削加工過(guò)程中，再生型顫振是影響銑削加工精度的重要因素。由于銑削是不連續(xù)的切削加工過(guò)程，其產(chǎn)生的周期性動(dòng)態(tài)切削力會(huì)導(dǎo)致刀具與工件之間發(fā)生振動(dòng)，在一定條件下，便會(huì)發(fā)生顫振。目前，主要有主動(dòng)和被動(dòng)兩種銑削顫振控制方法。被動(dòng)控制方法主要通過(guò)改變切削參數(shù)來(lái)擴(kuò)大穩(wěn)定性區(qū)域，但這樣并不能真正地提高加工效率[1]；主動(dòng)控制方法通過(guò)實(shí)時(shí)改變系統(tǒng)阻尼或剛度來(lái)減小系統(tǒng)的振動(dòng)，又或者設(shè)計(jì)主動(dòng)控制器來(lái)控制作動(dòng)器的輸出，直接抵消刀具或工件的位移，從而達(dá)到控制目的。隨著作動(dòng)器和控制理論的發(fā)展，顫振主動(dòng)控制研究已然成為顫振控制的主要研究方向。江浩等[2]設(shè)計(jì)了用于減小銑削振動(dòng)的主動(dòng)減振平臺(tái)，通過(guò)控制干擾信號(hào)的頻率達(dá)到抑制銑削振動(dòng)的目的，取得了良好的效果，但要預(yù)先知道干擾信號(hào)的頻率，有一定的局限性。Denkena等[3]為了抑制加工系統(tǒng)的振動(dòng)，將電磁作動(dòng)器和機(jī)床主軸結(jié)合在一起，增大加工系統(tǒng)的阻尼，該主動(dòng)控制方法結(jié)合銑削加工顫振系統(tǒng)和作動(dòng)器產(chǎn)生的力來(lái)建立閉環(huán)動(dòng)力學(xué)模型，并采用數(shù)值分析方法驗(yàn)證了所提方法的有效性。鄭平旭等[4]針對(duì)刀具和工件的相對(duì)振動(dòng)，提出了一種基于H∞的銑削加工主動(dòng)控制方法，抑制了銑削振動(dòng)。喬曉利等[5]將主動(dòng)磁軸承力學(xué)模型和銑削加工顫振動(dòng)力學(xué)模型相結(jié)合，在建立的銑削加工閉環(huán)控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用目前成熟的PID控制方法，達(dá)到了控制振動(dòng)的目的。劉曉麗[6]基于壓電驅(qū)動(dòng)器，采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法主動(dòng)控制立銑刀的振動(dòng)。本文在立式銑削動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出一種針對(duì)立式銑削加工中刀具振動(dòng)的控制方法，并對(duì)該方法的控制效果進(jìn)行了MATLAB/Simulink環(huán)境下的時(shí)域數(shù)值仿真驗(yàn)證。

1 銑削動(dòng)力學(xué)模型

1.1 動(dòng)態(tài)銑削力建模

參考楊毅青等[7]的銑削力建模方法以及竇煒等[8]的銑削力計(jì)算方法，計(jì)算考慮再生效應(yīng)的動(dòng)態(tài)銑削力，圖1 所示為立式銑刀動(dòng)態(tài)銑削力計(jì)算模型。

圖1 立式銑刀動(dòng)態(tài)銑削力計(jì)算模型

由于銑刀銑削時(shí)不止一個(gè)切削刃參與切削，因此特定的刀齒動(dòng)態(tài)切削厚度h(φj)為

h(φj)=(ftsinφj+nj-1-nj)·δ(φj)

(1)

式中：φj為銑刀的切削角度；ft為刀具每齒進(jìn)給量；nj為當(dāng)前刀齒法向振動(dòng)位移；nj-1為前一刀齒法向h(φj)振動(dòng)位移；δ(φj)為開(kāi)關(guān)函數(shù)，用來(lái)判斷刀齒是否在切入角φs與切出角φe之間。δ(φj)的表達(dá)式為：

(2)

將X和Y方向的振動(dòng)位移x，y向振動(dòng)位移方向的法向n投影：

n=-xsinφj-ycosφj

(3)

則動(dòng)態(tài)切削厚度h(φj)可以表示為：

h(φj)=(Δxsinφj+Δycosφj)δ(φj)

(4)

式中：Δx，Δy為X和Y方向的瞬時(shí)切削厚度。

將切削力的切向分量Ft,j和法向分量Fn,j向固定坐標(biāo)系X和Y方向投影可得：

(5)

式中：Ft,j=Ktaph(φj)，其中ap為軸向切削深度，Kt為切向切削力系數(shù)；Fn,j=KrFt,j，其中Kr為徑向切削力系數(shù)；Fx,j為X方向的切削分力；Fy,j為Y方向的切削分力。

對(duì)投影在X和Y方向的所有刀齒上的瞬態(tài)銑削力代數(shù)求和，得到銑刀在X和Y方向上總的動(dòng)態(tài)銑削力為：

(6)

式中：Fx和Fy分別為銑刀在X方向及Y方向上動(dòng)態(tài)銑削力。

整理得到動(dòng)態(tài)銑削力：

(7)

其中：

cos(2φj)]}

Knsin(2φj)]

式中：A為時(shí)變的動(dòng)態(tài)力方向系數(shù)；Δ為動(dòng)態(tài)切削厚度；Kn為法向切削力系數(shù)。

1.2 銑削系統(tǒng)的Simulink動(dòng)力學(xué)仿真

在銑削加工過(guò)程中，刀具-工件系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)使得動(dòng)態(tài)切削厚度發(fā)生變化，導(dǎo)致銑削力隨之發(fā)生改變，動(dòng)態(tài)的銑削力變化又會(huì)作用于銑削系統(tǒng)，使之產(chǎn)生相應(yīng)的振動(dòng)，構(gòu)成了閉環(huán)銑削加工動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，銑削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真框圖如圖2所示。刀具與工件之間的振動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)銑削力Fx，F(xiàn)y，動(dòng)態(tài)銑削力Fx，F(xiàn)y為輸入量，經(jīng)過(guò)傳遞函數(shù)Gx(s)和Gy(s)得到輸出的位移信號(hào)x(t)和y(t)；同時(shí)，銑削過(guò)程是多齒不連續(xù)切削的過(guò)程，當(dāng)前齒的位移滯后于前一刀齒的位移，從而產(chǎn)生位移差Δx和Δy,使得靜態(tài)切厚h隨之變化。

圖2 銑削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真框圖

2 控制器的設(shè)計(jì)

由于建模誤差、模型參數(shù)的變化以及外部擾動(dòng)會(huì)導(dǎo)致銑削系統(tǒng)的不確定性，因此本文采用一種基于H∞的魯棒混合靈敏度方法[4]來(lái)控制銑削時(shí)刀具的振動(dòng)。基于H∞的控制方法，其實(shí)就是設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器函數(shù)F(s)的過(guò)程，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且回路傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)最小。用基于H∞的控制方法設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí),由于系統(tǒng)本身的誤差、外部擾動(dòng)都會(huì)造成系統(tǒng)的不確定性,因此控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程其實(shí)就是求解一個(gè)閉環(huán)控制器的過(guò)程。

本文以X方向的傳遞函數(shù)Gx(s)為例，設(shè)計(jì)基于H∞魯棒混合靈敏度方法的控制器來(lái)控制X方向的振動(dòng)位移，設(shè)計(jì)流程圖如圖3所示。

圖3 控制器設(shè)計(jì)流程圖

其中，根據(jù)銑削顫振理論,銑削系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為X和Y方向兩個(gè)互相垂直方向上的二自由度振動(dòng)系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)方程為：

(8)

式中：mx和my分別為X和Y方向的等效質(zhì)量；cx和cy分別為X和Y方向的阻尼系數(shù)；kx和ky分別為X和Y方向的剛度系數(shù)。

對(duì)控制器X方向的銑削系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行拉氏變換就可以得到傳遞函數(shù)Gx(s)：

(9)

式中：ωnx為X方向的固有頻率；ζx為X方向的阻尼比。

將銑削系統(tǒng)的銑削參數(shù)代入式(9)得到X方向的傳遞函數(shù)Gx(s)如式(10)所示：

(10)

如圖4所示，基于H∞的魯棒混合靈敏度方法的核心是選擇合適的加權(quán)函數(shù)W1，W2，W3，再利用構(gòu)造好的增廣對(duì)象模型與加權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)控制器。其中，r(t)為外部參考輸入，u(t)為控制輸入，y(t)為觀測(cè)輸出，e(t)為系統(tǒng)誤差，F(xiàn)(s)為控制器傳遞函數(shù)，y1a，y1b，y1c為評(píng)價(jià)輸出。

圖4 加權(quán)函數(shù)問(wèn)題的控制結(jié)構(gòu)框圖

綜上所述，根據(jù)加權(quán)函數(shù)問(wèn)題的控制結(jié)構(gòu)框圖的結(jié)構(gòu)，選擇形式為對(duì)角真實(shí)有理函數(shù)陣[9]的加權(quán)函數(shù)W1，用來(lái)降低系統(tǒng)誤差e(t)。為了限制控制信號(hào)的大小，選擇形如W2的加權(quán)函數(shù)；為了增強(qiáng)系統(tǒng)的高頻抗干擾能力，選擇高通濾波器形式[4]的加權(quán)函數(shù)W3。加權(quán)函數(shù)W1，W2，W3的表達(dá)式如式(11)所示:

(11)

F(s)的具體求解過(guò)程[10]為，通過(guò)MATLAB魯棒控制工具箱中的augtf函數(shù)結(jié)合加權(quán)函數(shù)W1，W2，W3構(gòu)造增廣函數(shù)矩陣，在此基礎(chǔ)上，利用hinfsyn函數(shù)求解出控制器F(s)?？刂破鱂(s)的表達(dá)式如式(12)所示:

F(s)=-[5.248 5×108(s+1 200)(s2+225.4s+3.169×107)(s2+225s+3.2×107)]/[(s+1 000)(s+4 042)(s2+231.3s+3.193×107)·(s2+4.681×104s+6.43×108)]

(12)

3 仿真分析

為驗(yàn)證控制器的控制效果，本文選擇直徑為19 mm的3齒立銑刀，銑削方式為逆銑，切削參數(shù)為每齒進(jìn)給量0.022 mm、軸向切深2 mm，銑削系統(tǒng)穩(wěn)定切削時(shí)，根據(jù)表1所示的銑削仿真參數(shù)，在MATLAB/Simulnk環(huán)境下搭建基于H∞魯棒混合靈敏度方法的仿真模型，系統(tǒng)的仿真框圖及子系統(tǒng)如圖5，6所示。對(duì)基于H∞的控制方法進(jìn)行時(shí)域仿真，得到輸入銑削系統(tǒng)的銑削力，如圖7所示，X，Y方向振動(dòng)位移的控制效果仿真圖如圖8，9所示,表明在動(dòng)態(tài)銑削力激勵(lì)下，有、無(wú)控制作用時(shí)刀具的振動(dòng)位移變化。

圖5 控制系統(tǒng)仿真框圖

圖6 控制系統(tǒng)子系統(tǒng)仿真控制

表1 銑削仿真參數(shù)

圖7 輸入系統(tǒng)的銑削力信號(hào)

圖8 X方向的振動(dòng)位移信號(hào)

根據(jù)圖8和圖9的仿真結(jié)果可以看出，在未加控制的情況下，X方向穩(wěn)定銑削時(shí)的最大振幅大約為34.6 μm，在基于H∞的魯棒控制器F(s)的作用下，X方向穩(wěn)定銑削時(shí)的最大振幅大約為24.5 μm，X方向振動(dòng)位移信號(hào)的振幅約降低了29.1%；在未加控制的情況下，Y方向穩(wěn)定銑削時(shí)的最大振幅大約為59.5 μm，在基于H∞的魯棒控制器的作用下，Y方向穩(wěn)定銑削時(shí)的最大振幅大約為33.6 μm，Y方向振動(dòng)位移信號(hào)的振幅約降低了43.5%。仿真結(jié)果說(shuō)明，基于H∞魯棒混合靈敏度的控制方法可以有效抑制銑削加工系統(tǒng)X方向和Y方向的振動(dòng)位移，提高立式銑削的質(zhì)量。

圖9 Y方向的振動(dòng)位移信號(hào)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于H∞的魯棒混合靈敏度方法對(duì)刀具振動(dòng)的主動(dòng)控制具有良好的控制效果,為控制銑削加工過(guò)程中的刀具振動(dòng)提供了一種新的控制方法；同時(shí)，也為提高立式銑削的質(zhì)量以及抑制銑削加工系統(tǒng)X方向和Y方向的振動(dòng)位移給出了立式銑削閉環(huán)控制系統(tǒng)主動(dòng)控制器的設(shè)計(jì)方法。但該方法還有一定的局限性，需要相關(guān)試驗(yàn)驗(yàn)證控制方法的控制效果，以便進(jìn)一步優(yōu)化控制器參數(shù)。