中北大學(xué)理學(xué)院 王學(xué)斌

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料在結(jié)構(gòu)上具有多尺度特性與空間隨機(jī)性，其尺度結(jié)構(gòu)、組份材料性能參數(shù)均會影響到材料的力學(xué)性能。本文建立了一種基于PCE與Vine Copula方法的多尺度隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測方法，能夠?yàn)镃FRP材料的力學(xué)性能預(yù)測與受力、變形狀態(tài)評估提供參考價(jià)值。

1 材料特性與方法選擇

1.1 碳纖維復(fù)合材料

碳纖維復(fù)合材料又稱為碳纖維增強(qiáng)聚合物基復(fù)合材料（CFRP），是一種密度低、比模數(shù)大、比強(qiáng)度高的輕質(zhì)復(fù)合材料，具備良好的力學(xué)性能，在當(dāng)前電子產(chǎn)品輕量化趨勢下被廣泛應(yīng)用于微型電路芯片、鋰電池電極等電子產(chǎn)品的制造生產(chǎn)領(lǐng)域。CFRP材料因其制備工藝、存儲條件、組成相成分等均具有不確定性特征，這種特征反映在材料性質(zhì)上主要體現(xiàn)為多尺度力學(xué)性能的隨機(jī)性，最終將作用于材料的隨機(jī)性能，因此本文擬針對CFRP材料的隨機(jī)力學(xué)性能進(jìn)行測定，并分析影響材料宏觀力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果的主要因素。

1.2 多尺度分析方法

當(dāng)前國內(nèi)外學(xué)者在針對復(fù)合材料隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測的研究方面取得了一系列進(jìn)展：一方面從研究纖維束的尺度入手，現(xiàn)有研究成果主要通過調(diào)節(jié)纖維的角度、位移等參數(shù)，通過改變其約束條件生成所需的材料結(jié)構(gòu)。例如有學(xué)者建立了一種序列隨機(jī)擾動(dòng)算法，結(jié)合有限元分析方法判斷改變纖維的隨機(jī)分布結(jié)構(gòu)后，纖維束的力學(xué)性能將發(fā)生哪些變化；有學(xué)者采用隨機(jī)序列展開方法，以介觀尺度作為研究切入點(diǎn)，運(yùn)用圖像分析方法與數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法建立具有隨機(jī)性RVE結(jié)構(gòu)，并利用仿真軟件實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)特征的直觀分析；有學(xué)者針對影響材料結(jié)構(gòu)排列特征的參數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，運(yùn)用混合高斯隨機(jī)序列進(jìn)行算法重構(gòu)，重新生成符合隨機(jī)性特征的RVE模型。

另一方面以解析細(xì)觀力學(xué)方法作為切入點(diǎn)，結(jié)合計(jì)算細(xì)觀力學(xué)存在的計(jì)算代價(jià)高等缺陷，將解析細(xì)觀力學(xué)方法運(yùn)用在不確定性預(yù)測研究領(lǐng)域，用于提高計(jì)算效率。例如有學(xué)者選取復(fù)合材料層合板作為研究對象，利用多項(xiàng)式與函數(shù)進(jìn)行材料隨機(jī)自由振動(dòng)分析，并運(yùn)用隨機(jī)有限元方法進(jìn)行該材料微觀結(jié)構(gòu)的預(yù)測；有學(xué)者運(yùn)用Copula函數(shù)表示出材料參數(shù)對于時(shí)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)、性能的影響，采用攝動(dòng)法進(jìn)行材料微觀結(jié)構(gòu)的不確定性分析；有學(xué)者提出基于PCE的層級傳遞方法，針對材料微觀結(jié)構(gòu)的分布形態(tài)進(jìn)行分析，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對宏觀材料力學(xué)性能的預(yù)測。

然而通過將現(xiàn)有研究方法進(jìn)行歸納與分析后可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前針對CFRP材料的研究多局限于選取特定尺度的隨機(jī)參數(shù)，并利用隨機(jī)有限元法、攝動(dòng)法等不確定性方法進(jìn)行研究，研究結(jié)果缺乏全面性與普遍性；同時(shí)，未能考慮不同隨機(jī)參數(shù)之間的相關(guān)性，無法保證材料力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性?；谏鲜鰡栴}，本文擬建立一種基于混沌多項(xiàng)式展開（PCE）與Vine Copula函數(shù)的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料（CFRP）多尺度隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測方法，分別基于微觀、介觀兩種尺度建立自上而下層級傳遞的研究方法，利用非嵌入式PCE方法保證不確定性傳遞的順利實(shí)現(xiàn)，基于Vine Copula函數(shù)實(shí)現(xiàn)對隨機(jī)參數(shù)間的相關(guān)性對于材料力學(xué)性能響應(yīng)情況的分析，致力于實(shí)現(xiàn)對CFRP材料力學(xué)性能參數(shù)的精確預(yù)測。

2 基于解析細(xì)觀力學(xué)方法的材料力學(xué)性能預(yù)測

2.1 建立CFRP多尺度特征模型

2.1.1 材料多尺度特征分析

本文基于解析細(xì)觀力學(xué)方法進(jìn)行預(yù)測，將CFRP材料各組分的力學(xué)性能指標(biāo)、不同尺度上的幾何參數(shù)等因素納入考慮范圍中，其中在尺度界定上將CFRP材料劃分為微觀、介觀與宏觀三種尺度，分別對應(yīng)纖維絲、纖維束與單胞?；谶B續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型與平均場均勻化理論，建立自上而下的多尺度串行策略，用于針對CFRP材料的力學(xué)性能進(jìn)行逐級分析與預(yù)測。

2.1.2 建立纖維束模型

在介觀尺度上，CFRP材料由多根單向纖維嵌入基體內(nèi)構(gòu)成纖維束，因此可將纖維束視為單向復(fù)合材料。設(shè)纖維絲為f、基體為m，纖維絲的體積分?jǐn)?shù)為Vf，彈性模量、剪切模量分別為G，泊松比為u，由此可基于Chamis方程表示纖維絲的力學(xué)性能：

將纖維束中纖維絲的直徑設(shè)為d、數(shù)量設(shè)為Nfiber、截面積設(shè)為sf，纖維束的長、短軸長度分別為a和b，由此即可計(jì)算出纖維絲的體積分?jǐn)?shù)。鑒于將纖維束視為單向復(fù)合材料，假設(shè)纖維束均保持橫向、各向同性，由此即可建立纖維束的剛度矩陣，并獲取到矩陣中不同元素的數(shù)值。當(dāng)CFRP材料的纖維束出現(xiàn)卷曲變形情況時(shí)，基于正弦函數(shù)針對纖維束變形的構(gòu)型特征進(jìn)行描述，即表示為：

在此基礎(chǔ)上，將變形后的纖維束劃分為若干微段，以纖維主方向xL為基準(zhǔn)，將與之同向的纖維看做單向纖維復(fù)合材料。以第N個(gè)微段為基準(zhǔn)，將F用于表示纖維束的坐標(biāo)系，將T用于表示轉(zhuǎn)置，H作為轉(zhuǎn)換矩陣，即可建立該微段局部坐標(biāo)系（xL, yL）之下的剛度矩陣，表示為：

設(shè)所選微段的纖維局部坐標(biāo)系與整體纖維束坐標(biāo)系間夾角為θ1，則在纖維束坐標(biāo)系中，可針對不同微段沿主方向進(jìn)行積分，建立纖維束的等效剛度矩陣，表示為：

2.1.3 建立單胞尺度模型

從宏觀尺度針對CFRP材料的力學(xué)性能進(jìn)行研究，主要利用單胞進(jìn)行材料宏觀性能的表征，結(jié)合上述求解出的纖維束剛度矩陣即可獲得單胞的整體剛度矩陣，并完成坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，生成單胞坐標(biāo)系下的纖維束剛度矩陣和轉(zhuǎn)換矩陣。通過將各矩陣與參數(shù)進(jìn)行匯總，設(shè)單胞體積為Vunit、體積分?jǐn)?shù)為Vmunit，沿x方向進(jìn)行積分完成纖維束長度的還原與體積分?jǐn)?shù)、彈性模量、剪切模量等參數(shù)的求解，建立CFRP材料的宏觀剛度矩陣：

2.1.4 模型檢驗(yàn)

選取某型號碳纖維絲材料，其彈性模量E11=2 3 0 G P a、E22=18.6GPa，剪切模量G12=20.5GPa、G23=5.05GPa，體積分?jǐn)?shù)v12=0.255，將其以3K形式合成碳纖維束，基體材料的對應(yīng)參數(shù)分別為E11=3.08GPa、G12=1.11GPa、v12=0.35，基于真空導(dǎo)入工藝使材料成型，并且材料密度為1.47 g/cm3。從宏觀尺度上針對CFRP材料的力學(xué)性能進(jìn)行分析，利用電液伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)針對CFRP材料進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)軸向拉伸試驗(yàn)，并利用電子萬能試驗(yàn)機(jī)針對CFRP材料進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)面內(nèi)剪切試驗(yàn)，在試驗(yàn)過程中做好位移控制與加載速率調(diào)節(jié)，將工程應(yīng)變率控制在0.001 s-1以內(nèi)。通過取5次試驗(yàn)平均值，可獲得對CFRP試件的宏觀軸向拉伸彈性模量與面內(nèi)剪切模量數(shù)據(jù)，分別對應(yīng)60.90 GPa和3.65 GPa。通過觀察纖維束的截面顯微圖像與Micro-CT圖像可以發(fā)現(xiàn)，本文所選的纖維絲直徑為6.23 μm，纖維束的長軸、短軸平均長度分別為1.65 mm和0.11 mm，單層厚度平均為0.21 mm、間距為0.34 mm，將數(shù)值代入計(jì)算公式中可得出纖維絲在纖維束體積分?jǐn)?shù)中的占比為65.33%，纖維束在單胞體積分?jǐn)?shù)中的占比為67.91%。將上述平均值作為輸入?yún)?shù)代入上述模型中，即可獲得單向纖維、單胞的力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果，連同有限元仿真分析結(jié)果進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)采用解析細(xì)觀力學(xué)方法獲取到的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果的相對誤差值分別為0.83%和6.32%，由此說明預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果間具備較強(qiáng)的一致性。

2.2 纖維束隨機(jī)力學(xué)性能響應(yīng)預(yù)測

針對纖維束組份材料力學(xué)性能、幾何參數(shù)不確定性兩項(xiàng)指標(biāo)對于纖維束力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果的影響進(jìn)行分析，需從分析CFRP材料的層級結(jié)構(gòu)入手，考慮到在CFRP材料中纖維束長軸、短軸類的跨尺度共享變量，以及多個(gè)獨(dú)立的材料參數(shù)，因此可基于混沌多項(xiàng)式展開方法建立分析模型。首先面向隨機(jī)變量建立一個(gè)隨機(jī)性代理模型，隨后針對多項(xiàng)式的正交性質(zhì)進(jìn)行描述，再針對截?cái)嗉M(jìn)行定義，最后在不確定性傳遞環(huán)節(jié)利用回歸法進(jìn)行待定多項(xiàng)式系數(shù)的求解，并獲取到均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度系數(shù)和峰度系數(shù)等具體待定系數(shù)的數(shù)值，并利用留一交叉驗(yàn)證方法實(shí)現(xiàn)對PCE模型預(yù)測精度的檢驗(yàn)。

將該方法應(yīng)用于CFRP材料的力學(xué)性能預(yù)測中，將多項(xiàng)式的階數(shù)設(shè)為3，采集50個(gè)樣本獲取到單向纖維的隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果，并采用留一交叉驗(yàn)證方法進(jìn)行模型精度校驗(yàn)。觀察預(yù)測結(jié)果可知，其誤差最大值為0.47，偏度系數(shù)接近0，峰度系數(shù)基本保持在3.05左右，由此說明所選的單向纖維力學(xué)性能參數(shù)服從正態(tài)分布。

2.3 單胞尺度的隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測

由于纖維束隨機(jī)力學(xué)性能響應(yīng)預(yù)測結(jié)果屬于同一模型的不同響應(yīng)，無法避免受到變量相關(guān)性的影響，并且存在部分幾何參數(shù)同時(shí)參與到纖維絲體積分?jǐn)?shù)占比與纖維束體積分?jǐn)?shù)占比計(jì)算中，體積分?jǐn)?shù)還與等剛度矩陣存在相關(guān)性，因此倘若未將相關(guān)性納入隨機(jī)力響應(yīng)分析過程中，極有可能導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值存在較大誤差。因此，應(yīng)從宏觀尺度入手將隨機(jī)參數(shù)間的相關(guān)性納入考量范圍中，利用Vine Copula函數(shù)建立隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布模型，再通過Rosenblatt轉(zhuǎn)換獲取到獨(dú)立樣本，最后利用PCE進(jìn)行單胞拉伸彈性模量與面內(nèi)、面外剪切模量以及體積分?jǐn)?shù)的隨機(jī)預(yù)測。

利用Copula函數(shù)針對一元邊緣累積概率分布與多元聯(lián)合分布的關(guān)系進(jìn)行描述，利用Kendall系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性測度的描述，以累積概率樣本集為基準(zhǔn)建立相關(guān)性模型，將原始樣本集進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)多元相關(guān)建模要求。為克服模型構(gòu)造的局限性，可利用Vine Copula函數(shù)進(jìn)行多元Copula函數(shù)的分解，利用R-vine方法完成結(jié)構(gòu)構(gòu)造，由此獲取到最優(yōu)Copula參數(shù)與函數(shù)模型，在此基礎(chǔ)上采用Rosenblatt進(jìn)行獨(dú)立性轉(zhuǎn)換，生成單胞力學(xué)性能的隨機(jī)預(yù)測結(jié)果。采用PCE模型針對預(yù)測結(jié)果的精度進(jìn)行檢驗(yàn)，獲取到驗(yàn)證誤差值為0.081、偏度系數(shù)值約為0、峰度系數(shù)約為3，說明單胞的彈性力學(xué)性能參數(shù)服從正態(tài)分布，與纖維束分析結(jié)果保持一致。

總體來看，本文采用基于PCE與Vine Copula函數(shù)建立針對CFRP材料隨機(jī)力學(xué)性能的多尺度預(yù)測方法，該方法可圍繞微觀、介觀、宏觀等多個(gè)尺度針對力學(xué)性能參數(shù)不確定性等影響情況進(jìn)行分析，PCE模型的交叉驗(yàn)證誤差精度均符合要求，并且運(yùn)用Vine Copula方法充分考量不同隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，各系數(shù)的誤差最大值為0.03，可有效反映出其相關(guān)性特征，具備良好適用價(jià)值。