祝超群，黨澤坤

(蘭州理工大學(xué)a.電氣工程與信息工程學(xué)院；b.甘肅省工業(yè)過程先進控制重點實驗室；c.電氣與控制工程國家級實驗教學(xué)示范中心，甘肅蘭州730050)

網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(networked control system，NCS)借助實時通信網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)控制器與傳感器/執(zhí)行器之間的數(shù)據(jù)交換。與點對點傳輸信號的傳統(tǒng)控制系統(tǒng)相比，NCS具有諸多優(yōu)點和很強的實用性，其不僅使信息傳輸更方便快速、連線更簡單，還可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)資源的共享利用，使對被控對象的遠程控制變?yōu)楝F(xiàn)實。因此，NCS普遍應(yīng)用于自動化制造、航空航天及電氣制造業(yè)等領(lǐng)域。數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)中進行傳輸，不可避免地會引起各種通信問題，如網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延、介質(zhì)訪問約束、量化誤差、由于網(wǎng)絡(luò)阻塞產(chǎn)生的丟包現(xiàn)象及通信受限問題等。其中，介質(zhì)訪問約束對系統(tǒng)控制性能影響較大，會造成系統(tǒng)性能下降甚至失穩(wěn)。介質(zhì)訪問約束是指由于通信帶寬的限制，在每個采樣周期內(nèi)僅有部分傳感器/執(zhí)行器能夠獲得網(wǎng)絡(luò)信道與控制器進行通信。介質(zhì)訪問約束主要存在于具有數(shù)量眾多的傳感器/執(zhí)行器和有限通信網(wǎng)絡(luò)的大系統(tǒng)中，如海面溢油監(jiān)測系統(tǒng)、復(fù)雜工業(yè)過程控制系統(tǒng)等。

學(xué)者們針對具有介質(zhì)訪問約束的NCS進行了廣泛研究。Brockett針對系統(tǒng)中存在的介質(zhì)訪問約束現(xiàn)象，首次提出采用通信序列對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的訪問順序進行描述，在此基礎(chǔ)上研究了系統(tǒng)穩(wěn)定控制律的存在性問題；Sreram等針對具有介質(zhì)訪問約束的NCS，提出一種隨機最優(yōu)控制方法，通過仿真實例說明采用控制方法的有效性；Tian等研究了具有通信約束的NCS魯棒控制問題，考慮傳感器和控制器以及控制器與執(zhí)行器通道的介質(zhì)訪問約束，利用Lyapunov 泛函和線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)技術(shù)設(shè)計均方穩(wěn)定控制器；祝超群等考慮控制器與執(zhí)行器之間由于網(wǎng)絡(luò)帶寬產(chǎn)生的介質(zhì)訪問約束，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論得出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，使網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)隨機穩(wěn)定?？刂坪蜏y量信號在數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò)中傳輸必然要進行信號量化，而信息量化精度對控制系統(tǒng)的性能提出了巨大挑戰(zhàn)。目前，NCS中的量化問題受到眾多學(xué)者的高度重視，Kalman考慮采樣控制系統(tǒng)中信號量化問題，指出若閉環(huán)系統(tǒng)的控制使用一種有限水平量器時，系統(tǒng)將會出現(xiàn)混沌行為；Ren等研究了離散時系統(tǒng)在數(shù)據(jù)量化和通信約束下的線性最小均方估計問題，利用正交投影原理，設(shè)計一個卡爾曼濾波器，通過算例驗證了該方法的有效性；陳剛等借助逆凸技術(shù)和自由權(quán)矩陣方法，研究一類帶有信號量化的NCS漸近穩(wěn)定性問題；Peng等研究非線性NCS的動態(tài)量化鎮(zhèn)定控制問題，通過建立網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的模糊模型，利用Lyapunov-Krasovski方法保證了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定；Cheng等研究一類具有量化和帶寬約束的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤控制問題。

由上述文獻綜述可知：多數(shù)學(xué)者將介質(zhì)訪問約束和信號量化問題獨立進行研究，這與網(wǎng)絡(luò)控制實踐具有一定差距；多數(shù)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制綜合采用基于狀態(tài)的控制方案，實際系統(tǒng)控制中，系統(tǒng)狀態(tài)很難通過直接測量獲得?；谏鲜鰡栴}，針對同時存在訪問約束和信號量化的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，提出一種動態(tài)輸出反饋控制策略，該控制策略只需系統(tǒng)的輸出信息，便可實現(xiàn)系統(tǒng)的全局反饋。

1 系統(tǒng)描述

NCS的結(jié)構(gòu)如圖1，被控對象的離散線性時不變狀態(tài)方程可描述為：

其中：x( k )∈R，u( k )∈R，y( k )∈R，分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出；A，B，C 為適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of networked control systems

針對數(shù)據(jù)傳輸過程中的量化問題，在控制器與執(zhí)行器之間引入對數(shù)量化器f(·)。假設(shè)不同模態(tài)的量化器相同，因此可記f(·) =f(·) ，將量化器f(·) 定義為

定義

其中：H表示相應(yīng)的量化級集合；σ為量化密度且是一個給定值。

因此，在同時具有訪問約束和信號量化的條件下，可得閉環(huán)控制系統(tǒng)方程為：

2 動態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計

針對具有訪問約束和信號量化的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，設(shè)計動態(tài)輸出反饋控制器，如

其中：x( k )∈R( φ ≤n )為控制器的狀態(tài)；A，B，C為適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。若φ=n，對系統(tǒng)狀態(tài)進行滿階動態(tài)補償；若φ ＜n，則對系統(tǒng)狀態(tài)進行降階動態(tài)補償。

聯(lián)立式(7)和式(8)，令增廣向量為

則增廣的閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)為

為對閉環(huán)系統(tǒng)(10)進行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計，給出以下引理：

1)S ＜0；

引理2

已知M，N 為適維矩陣，F(xiàn) 滿足FF ≤I，W=W，那么

W+NFM+MFN ＜0

當且僅當存在標量ε ＞0，使得

W+εNN+εMM＜0

為便于描述，將Δ( k )簡記為Δ，矩陣中的?表示對角矩陣中對應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置。

定理1

對于具有訪問約束和信號量化的NCS，若存在正定矩陣Q，H，矩陣W，V，U，標量ε＞0，ε＞0，使得下列矩陣不等式成立

證明

選取Lyapunov函數(shù)為

V( k )=x( k )Qx( k )+x( k )Hx( k)

其中Q，H 為對稱正定矩陣。

將式(7),(8)代入式(12)，可得

根據(jù)Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論可知，閉環(huán)系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定的充分條件是

令

對式(14)應(yīng)用引理1，得

則式(15)可以表示為

對式(16)應(yīng)用引理2，可得

令

對式(17)應(yīng)用引理1，可得

令

對式(18)再次應(yīng)用引理1，可得

則式(20)可寫成

對式(21)應(yīng)用引理2，則有

令

對式(22)應(yīng)用引理1，可得

令

對式(23)再次應(yīng)用引理1，可得

定理2

對于具有訪問約束和信號量化的NCS，若存在正定矩陣Q，H，矩陣W，V，U，標量ε＞0，ε＞0，使得下列矩陣不等式成立

當矩陣不等式(11)有可行解時，動態(tài)輸出反饋控制器為：

3 仿真算例

考慮如下開環(huán)不穩(wěn)定的線性離散時間被控對象：

根據(jù)定理2，利用LMI工具箱求解式(26)可得如下動態(tài)輸出反饋控制矩陣

選擇系統(tǒng)初始狀態(tài)x=[4 -1]，根據(jù)設(shè)計的動態(tài)輸出反饋控制器(式(26))進行仿真，得到仿真曲線，結(jié)果如圖2～5，其中橫坐標k 表示系統(tǒng)的采樣周期。圖2縱坐標中的“1”和“2”表示對應(yīng)的隨機通信矩陣，分別為L和L。由圖3可看出，在前期系統(tǒng)輸出波動較大的情況下，在有限個采樣周期內(nèi)系統(tǒng)輸出快速趨于穩(wěn)定狀態(tài)。由圖4可看出，初始階段量化誤差e 的波動較大，當進入到第20個采樣周期時，系統(tǒng)的量化誤差趨于零值。由圖5可看出，在給定的初始條件下，文中設(shè)計的動態(tài)輸出反饋控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)(式(10))的狀態(tài)快速收斂于平衡狀態(tài)，且具有良好的動態(tài)性能。

圖2 介質(zhì)訪問序列的模態(tài)切換曲線Fig.2 Curves switch mode of medium access sequence

圖3 系統(tǒng)輸出信號Fig.3 System output signal

圖4 控制輸出量化誤差Fig.4 Quantization error of control output

圖5 狀態(tài)軌跡Fig.5 State evolution

為進一步說明文中控制策略的優(yōu)越性，在同樣初始條件下，采用文獻[18]中的控制策略，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡和量化誤差分別如圖6，7。對比圖4，7及圖5，6可看出，文中控制策略下，系統(tǒng)的狀態(tài)和量化誤差波動較小，系統(tǒng)狀態(tài)收斂于平衡狀態(tài)的速度較快，且具更好的控制性能。

圖6 文獻[8]中控制策略狀態(tài)軌跡Fig.6 State evolution of control strategy in reference[8]

圖7 文獻[8]中控制策略控制輸出量化誤差Fig.7 Quantization error of control output of control strategy in reference[8]

4 結(jié) 論

針對同時存在介質(zhì)訪問約束和信號量化的NCS，研究系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制問題，提出一種具有介質(zhì)訪問約束的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)控制策略。由于有限網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制，在每個控制周期只有部分控制信號可傳輸?shù)綀?zhí)行器執(zhí)行控制任務(wù)。根據(jù)執(zhí)行器的信道隨機訪問機制，采用對數(shù)量化器對控制信號進行量化，將NCS建模為等價的Markov跳變系統(tǒng)；借助Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI技術(shù)推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，在此基礎(chǔ)上設(shè)計動態(tài)輸出反饋控制器，實現(xiàn)NCS的鎮(zhèn)定控制。仿真結(jié)果表明本文提出的動態(tài)輸出反饋控制策略是有效的，可使系統(tǒng)狀態(tài)迅速收斂于平衡狀態(tài)。