鄧春燕, 郭 強(qiáng), 傅家旗

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

對(duì)流行性傳染病的實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，有助于深入研究傳染病的傳播規(guī)律，發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播弱點(diǎn)和趨勢(shì)，為采取有效的疫情防控手段、保持疫情防控成果提供重要科學(xué)支持[1-3]。新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）作為新型流行性傳染病，由于大家缺乏對(duì)其傳播規(guī)律和特性的了解，2020 年初在各地區(qū)迅速蔓延。根據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，全國(guó)累計(jì)確診人數(shù)在2020 年2 月17 日達(dá)到最高峰，隨后開(kāi)始下降，疫情得到轉(zhuǎn)變和穩(wěn)定[4]。國(guó)家采取的區(qū)域封閉式管理和治療措施在疫情管控上卓有成效，目前疫情也已經(jīng)穩(wěn)定，復(fù)工復(fù)產(chǎn)皆有序進(jìn)行[5]。根據(jù)疫情前期爆發(fā)、中期管控下降、后期穩(wěn)定的特點(diǎn)，全面研究COVID-19 的傳播特性、傳播弱點(diǎn)，為實(shí)施精準(zhǔn)防控、防止少數(shù)潛伏或者確診病例有可能帶來(lái)的疫情反彈、保持疫情防控成果、實(shí)施疫情防控工作提供科學(xué)依據(jù)。

在COVID-19 突然爆發(fā)期間，關(guān)于COVID-19 傳播的研究也有很多，為國(guó)家管理疫情提供了科學(xué)支持。除了預(yù)測(cè)COVID-19 持續(xù)時(shí)間[5-7]、估算高峰時(shí)期感染人數(shù)[8-9]、分析隔離對(duì)疫情管控的作用[10-11]等，研究工作還包括基于實(shí)時(shí)的疫情感染數(shù)據(jù)，利用經(jīng)典傳染病SI 和SEIR 等模型來(lái)分析COVID-19 的傳播機(jī)制[12-13]。比如：利用經(jīng)典傳染病模型中的病例指數(shù)增長(zhǎng)假設(shè)分析人群流動(dòng)對(duì)COVID-19 傳播的影響[14-15]；基于SI 模型構(gòu)建復(fù)雜人流網(wǎng)絡(luò)的COVID-19 傳播模型，在未考慮傳染病潛伏過(guò)程下分析不同省市的疫情傳播特點(diǎn)[16]；利用疫情的動(dòng)態(tài)變化數(shù)據(jù)建立SEIR 模型分析區(qū)域隔離的有效性[17]；通過(guò)構(gòu)建分?jǐn)?shù)階SEIR 模型描述疫情的動(dòng)態(tài)傳播，利用微分方程殘差冪級(jí)數(shù)求解來(lái)描繪感染過(guò)程，但是忽略區(qū)域人數(shù)流動(dòng)總數(shù)的變化[18]；基于SEIR 模型建立考慮公共交通工具內(nèi)部因素的疫情傳播模型，分不同站點(diǎn)階段刻畫(huà)疫情擴(kuò)散機(jī)制[18]；考慮離散時(shí)間內(nèi)輸入患者對(duì)特定地區(qū)的影響和風(fēng)險(xiǎn)分析的改進(jìn)SEIQR 模型[20]；還有以傳染病模型驗(yàn)證感染患者在發(fā)病癥狀不明顯時(shí)期和未隔離時(shí)的擴(kuò)散傳染率[21]。這些研究成果都讓人們對(duì)COVID-19 有了更多的認(rèn)識(shí)，了解到COVID-19 的傳播機(jī)制和隔離的重要性，為國(guó)家實(shí)施疫情管控工作提供了幫助。

通過(guò)已有的研究可以發(fā)現(xiàn)SI 或者SEIR 模型都能有效分析COVID-19 的傳播過(guò)程，但這些工作并未全面考慮疫情由嚴(yán)重到穩(wěn)定這一過(guò)程中COVID-19 傳播效力的不同，人群流動(dòng)和疫情穩(wěn)定時(shí)的管控會(huì)使COVID-19 的傳播規(guī)律發(fā)生變化。因此，本文嘗試根據(jù)我國(guó)由嚴(yán)控至逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)（2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日）期間不同的COVID-19傳播程度，構(gòu)建考慮人群流動(dòng)情況下，分析易感人群和潛伏人群的變化對(duì)確診人群影響的疫情傳播D-SEIR 模型，并以實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證擬合，利用傳播模型更加準(zhǔn)確分析COVID-19 的傳播規(guī)律。本文所有研究數(shù)據(jù)均來(lái)自于2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日這一時(shí)間段。

1 COVID-19 傳播模型

經(jīng)典SEIR 模型常適用于具有潛伏期的傳染病傳播研究，通過(guò)把人群劃分為易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群來(lái)構(gòu)建傳播微分方程，并假設(shè)整體人數(shù)不變來(lái)求解微分方程中的傳染率參數(shù)，再代入傳播微分方程以此刻畫(huà)傳染病的傳播過(guò)程[22-23]。其中：易感人群是指未感染傳染病的健康人群；潛伏人群是指已經(jīng)被傳染病感染但未有發(fā)病癥狀的人群；確診人群是指具有傳染病發(fā)病癥狀并診療確診的人群；治愈人群則是指經(jīng)過(guò)隔離治療治愈出院的患者人群。

由于COVID-19 具有一定潛伏期[24]，本文同樣將COVID-19 傳播中的人群分為：易感人群（S）、潛伏人群（E）、確診人群（I）、治愈人群（R）。再構(gòu)建考慮地區(qū)間人口流動(dòng)和地區(qū)內(nèi)部人口流動(dòng)情況的疫情傳播模型（簡(jiǎn)稱(chēng)D-SEIR 模型），綜合考慮人口的流動(dòng)數(shù)據(jù)、易感人群和潛伏人群的數(shù)量變化來(lái)預(yù)測(cè)染病人群的變化。構(gòu)建模型的過(guò)程中為使模型更加有效，假設(shè)流動(dòng)人群皆為易感人群和潛伏人群，確診人群已經(jīng)被隔離收治。另外由于疫情在由嚴(yán)重轉(zhuǎn)至穩(wěn)定期間的傳播規(guī)律不同，而2 月17 日全國(guó)確診人數(shù)出現(xiàn)下降趨勢(shì)，疫情開(kāi)始穩(wěn)定，本文將構(gòu)建的D-SEIR 模型分為兩部分：第一部分是對(duì)疫情初始至穩(wěn)定前的COVID-19 傳播模型進(jìn)行構(gòu)建；第二部分是對(duì)構(gòu)建的COVID-19 傳播模型基于疫情穩(wěn)定后的情況進(jìn)行調(diào)整，讓DSEIR 模型更加符合真實(shí)情況。

1.1 考慮人群流動(dòng)的D-SEIR 模型

基于國(guó)家進(jìn)行區(qū)域隔離的政策和疫情處于春節(jié)特殊時(shí)期的特點(diǎn)，本文將各地區(qū)構(gòu)建為一個(gè)半封閉系統(tǒng)。半封閉系統(tǒng)是指該地區(qū)在特殊時(shí)期內(nèi)沒(méi)有人員流出，只有人員流入。因?yàn)橐咔榍》甏汗?jié)，有很多出門(mén)旅游和在外長(zhǎng)期務(wù)工的人員回到他們所在家鄉(xiāng)，各地區(qū)就有大量的人員流入，而后疫情爆發(fā)，政府采取隔離措施限制各地區(qū)人員的流出，所以將行政區(qū)域構(gòu)建為一個(gè)半封閉系統(tǒng)。而這部分回到自身所屬地區(qū)的人群可能是易感狀態(tài)也可能是潛伏狀態(tài)，他們對(duì)自己的感染情況并不知曉?；诖死L制出各地區(qū)人群流動(dòng)的DSEIR 模型示意圖，如圖1 所示。圖中：下標(biāo)q 表示本地區(qū)，p 表示其他地區(qū)；Sp，Ep分別表示從其他地區(qū)p 流入的易感人群和潛伏人群； λ表示不同人群之間轉(zhuǎn)化的調(diào)節(jié)參數(shù)； ε表示不同人群之間轉(zhuǎn)化的誤差常數(shù)。

圖1 D-SEIR 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of D-SEIR model

從圖1 可以看出，易感人群Sp和潛伏人群Ep流入到q 地區(qū)，那么q 地區(qū)原本的易感人群和潛伏人群數(shù)量會(huì)增多，潛伏人群增多后轉(zhuǎn)化為確診人群，確診人群的數(shù)量也會(huì)發(fā)生變化。基于此，定義q 地區(qū)t時(shí)刻的易感人群數(shù)為Sq(t)，潛伏人群數(shù)為Eq(t)， 確診人群數(shù)為Iq(t)，治愈人群數(shù)為Rq(t)， 流入q 地區(qū)的易感人群數(shù)為Sp(t)，潛伏人群數(shù)為Ep(t)，構(gòu)建考慮人口流動(dòng)的D-SEIR 模型，模型動(dòng)力學(xué)方程如式（1）所示。

式中： ΔSq(t)為t時(shí)刻易感人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量； ΔEq(t)為t時(shí)刻潛伏人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量； ΔIq(t)為t時(shí)刻確診人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量； ΔRq(t)則為t時(shí)刻治愈人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量。因?yàn)楦鞯貐^(qū)的流入人群只有易感人群Sp和 潛伏人群Ep，所以流入人群的Sp(t)和Ep(t)關(guān) 聯(lián) 到 模 型（1）中 的Sq(t)，Eq(t)部分。

由于COVID-19 在疫情期間不斷傳播擴(kuò)散，通過(guò)把病毒傳染給易感人群，易感人群的數(shù)量減少并轉(zhuǎn)化為潛伏人群，影響潛伏人群時(shí)刻變化量ΔEq(t)。然后，潛伏人群一旦有發(fā)病癥狀，經(jīng)過(guò)確診變?yōu)榇_診人群，影響確診人群時(shí)刻變化量ΔIq(t)，而確診人群經(jīng)過(guò)隔離治療會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)橹斡巳?，影響治愈人群時(shí)刻變化量 ΔRq(t)。因此，為準(zhǔn)確反映各地區(qū)每天疫情的變化情況，t時(shí)刻易感人群 ΔSq(t)主 要由前一時(shí)刻的易感人群Sq(t-1)決定，潛伏人群 ΔEq(t)主要由前一時(shí)刻的易感人群Sq(t-1)決 定，確診人群 ΔIq(t)主要由前一時(shí)刻的潛伏人群Eq(t-1)決 定，治愈人群 ΔRq(t)由前一時(shí)刻的確診人群Iq(t-1)決定。據(jù)此，本文根據(jù)式（2）來(lái)確定易感人群的時(shí)刻變化量 ΔSq(t)、潛伏人群的時(shí)刻變化量 ΔEq(t)、 確診人群的時(shí)刻變化量 ΔIq(t)和治愈人群的時(shí)刻變化量 ΔRq(t)。

式中： λq為 調(diào)節(jié)常數(shù)； εq為誤差常數(shù)。

另外在模型進(jìn)行實(shí)證數(shù)據(jù)擬合前，先把q 地區(qū)的病例患者進(jìn)行時(shí)刻狀態(tài)分類(lèi)統(tǒng)計(jì)。通過(guò)一名患者的發(fā)病時(shí)間和治愈時(shí)間，判斷具體時(shí)刻患者的身體狀態(tài)。在發(fā)病時(shí)間之前包括易感狀態(tài)和潛伏狀態(tài)，在發(fā)病時(shí)間和治愈時(shí)間之內(nèi)為感染狀態(tài)，治愈后則為治愈狀態(tài)。由于國(guó)家衛(wèi)健委發(fā)布的新冠病毒防控中宣布新冠病毒的潛伏期為1～14 d，通常為3～7 d[4]，為了讓模型對(duì)疫情中COVID-19潛伏擴(kuò)散的情況預(yù)估復(fù)現(xiàn)更為準(zhǔn)確，在分析過(guò)程中包含大部分患者的真實(shí)染病潛伏情況。本文以發(fā)病時(shí)間的前7 d 內(nèi)為界限判定患者的潛伏狀態(tài)，發(fā)病前7 d 外為易感狀態(tài)。從而統(tǒng)計(jì)出q 地區(qū)每一時(shí)刻的易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群數(shù)量，再計(jì)算q 地區(qū)每時(shí)刻處于不同狀態(tài)的總?cè)?群 數(shù) 量Sq(t)，Eq(t)，Iq(t)，Rq(t)，以 及不 同 狀 態(tài)下 的人群 數(shù) 量時(shí)刻 變 化值 ΔSq(t) ， ΔEq(t) ， ΔIq(t)，ΔRq(t)。基于上述數(shù)據(jù)分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，分別代入式（2）進(jìn)行擬合求解，將擬合參數(shù)結(jié)果代入便可求出模型的擬合變化值。以擬合求出的各時(shí)刻人群變化量為結(jié)果，各時(shí)刻人群變化量的真實(shí)數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)，作圖對(duì)比2 月17 日前的COVID-19 的傳播感染過(guò)程。

1.2 疫情穩(wěn)定后的D-SEIR 模型調(diào)整

由于疫情確診人數(shù)在2 月17 日后開(kāi)始下降，疫情開(kāi)始穩(wěn)定，穩(wěn)定后的感染人數(shù)傳播效力、健康人員管控力度、治愈效果和前期相比都發(fā)生了變化。構(gòu)建的初始D-SEIR 模型是以疫情嚴(yán)重時(shí)段的COVID-19 為基礎(chǔ)建立的，用此模型求解結(jié)果直接預(yù)測(cè)穩(wěn)定后的感染情況會(huì)有偏差。因此，將DSEIR 模型中加入調(diào)節(jié)參數(shù)，使模型對(duì)疫情后期的預(yù)測(cè)擬合更加符合實(shí)際情況。

在加入調(diào)節(jié)參數(shù)過(guò)程中，考慮到疫情后期的易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群變化趨勢(shì)逐漸穩(wěn)定，感染人數(shù)減少，治愈人數(shù)增多，疫情整體呈現(xiàn)好轉(zhuǎn)趨勢(shì)，將調(diào)節(jié)參數(shù) γ針對(duì)易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群的不同時(shí)刻總數(shù)進(jìn)行調(diào)整，通過(guò)對(duì)易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群的二次影響反映疫情穩(wěn)定后的ΔSq(t)， ΔEq(t) ， ΔIq(t) 和 ΔRq(t)變 化 趨 勢(shì)。結(jié) 合 式（2）對(duì)D-SEIR 模型進(jìn)行參數(shù)修正，將參數(shù)修正指標(biāo) γq依次加入式（2）中，修正后的D-SEIR 預(yù)測(cè)模型如式（3）所示。

根據(jù)調(diào)整后的D-SEIR 模型式（3），便可計(jì)算出疫情嚴(yán)控至復(fù)工復(fù)產(chǎn)后的確診人群變化情況ΔIq(t)和 易感人群變化情況 ΔSq(t)，以此分析模型調(diào)整后對(duì)于各地區(qū)疫情描繪的結(jié)果，并將預(yù)測(cè)趨勢(shì)與實(shí)證數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)進(jìn)行對(duì)比，分析COVID-19 傳染病在疫情后期的傳播特性。

2 D-SEIR 模型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了判斷D-SEIR模型對(duì)新冠肺炎S，E，I，R人群時(shí)刻變化量的擬合準(zhǔn)確度，本文以擬合優(yōu)度r2為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。r2經(jīng)常被用來(lái)分析線(xiàn)性回歸模型擬合結(jié)果的好壞[25]，取值在0～1 之間，值越靠近于1 表明模型對(duì)目標(biāo)變量的刻畫(huà)能力越強(qiáng)，模型擬合效果也越好。因此，本文以擬合優(yōu)度r2來(lái)判斷DSEIR 模型對(duì)S，E，I，R人群時(shí)刻變化量的刻畫(huà)程度，計(jì)算公式如式（4）所示。

式中：y為實(shí)證數(shù)據(jù)不同人群的時(shí)刻變化量 ΔSq(t)，ΔEq(t) ， ΔIq(t) ， ΔRq(t)；為對(duì)實(shí)證數(shù)據(jù)不同人群時(shí)刻變化量均值的計(jì)算；則是通過(guò)式（2）擬合出的不同人群的時(shí)刻變化量。

3 實(shí)證數(shù)據(jù)分析

3.1 數(shù)據(jù)簡(jiǎn)介

考慮到地區(qū)感染情況的代表性和疫情期間人群流動(dòng)的特點(diǎn)，首先以市級(jí)地區(qū)為例，本文選取人群流動(dòng)多、傳播情況復(fù)雜的一線(xiàn)城市深圳市為研究對(duì)象；然后以省份地區(qū)為例，選取沿海省份疫情感染程度在全國(guó)居中的山東省為研究對(duì)象。最終，本文以這兩個(gè)地區(qū)的COVID-19 感染情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。其中，深圳市419 名病例，山東省558 名病例，數(shù)據(jù)包括每日病例報(bào)告時(shí)間、發(fā)病時(shí)間、發(fā)病原因、居住地、活動(dòng)區(qū)域和治愈時(shí)間，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)段為省市嚴(yán)控至復(fù)工復(fù)產(chǎn)的2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日。然后通過(guò)病例的居住地和活動(dòng)區(qū)域，區(qū)分感染患者的地理區(qū)域，整理成省市流入人群和省市本地人群兩大類(lèi)，代入D-SEIR 模型中。經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表1所示。

其中，流入人群感染數(shù)是居住于外省市或者于外省市旅游，并在2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日來(lái)到統(tǒng)計(jì)地區(qū)的確診人群總數(shù)。本地人群感染數(shù)是本地居住人群，并且未離開(kāi)過(guò)本地區(qū)的被感染人群總數(shù)，本地人群主要通過(guò)與其他潛伏或者確診人群接觸而患病。

表1 實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Tab.1 Design parameters

然后進(jìn)行時(shí)刻狀態(tài)人群分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，根據(jù)發(fā)病時(shí)間、診療出院時(shí)間、潛伏時(shí)間7 d 來(lái)判斷病例的時(shí)刻歸屬狀態(tài)，即易感人群、潛伏人群、確診人群和治愈人群中的一類(lèi)，從而統(tǒng)計(jì)每一時(shí)刻的Sq(t)，Eq(t)，Iq(t)，Rq(t)數(shù)。同 時(shí)，為 了防 止 真 實(shí)數(shù)據(jù)在以1 d 為單位統(tǒng)計(jì)時(shí)可能出現(xiàn)延遲，減少模型對(duì)48 d 不同人群擬合帶來(lái)的誤差，本文實(shí)驗(yàn)確定時(shí)刻單位為2 d?；谝咔橛蓢?yán)重至穩(wěn)定的這一過(guò)程，將2 月17 日之前作為模型初始數(shù)據(jù)擬合，2 月17 日后作為模型調(diào)整數(shù)據(jù)擬合。

3.2 D-SEIR 模型擬合結(jié)果

以深圳市為例，將統(tǒng)計(jì)得到的時(shí)刻S，E，I，R數(shù)量和時(shí)刻變化量代入式（2），進(jìn)行COVID-19 傳播的D-SEIR 傳播模型擬合。求解得到λq1=-0.249 2 ，εq1=-0.639 7， λq21=0.004 723， λq22=-0.789 6， εq2=-0.33， λq3=0.411 5， εq3=-14.05，λq4=0.061 57， εq4=-3.525。擬合結(jié)果如圖2 所示，再根據(jù)式（3）求得擬合優(yōu)度r2，在圖2 中進(jìn)行標(biāo)注。

從圖2 可看出 ΔSq(t) ， ΔEq(t)， ΔIq(t)的擬合結(jié)果（紅色圓圈曲線(xiàn)）和實(shí)際數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線(xiàn)）貼合很近。在圖2（a）中，從黑色方塊曲線(xiàn)呈現(xiàn)的變化趨勢(shì)來(lái)看，可以將 ΔSq的變化分為兩個(gè)階段。第1 階段是從1 月21 日—2 月10 日， ΔSq曲線(xiàn)由負(fù)值開(kāi)始上升直至0，對(duì)應(yīng)于圖中2 月10 日這個(gè)節(jié)點(diǎn)。因?yàn)?ΔSq(t)為t時(shí)刻易感人群相較于t-1 時(shí)刻的變化量，此時(shí)易感人群不斷被感染， ΔSq(t)小于ΔSq(t-1)，所以第1 階段為負(fù)值。第2 階段是從2 月10 日—2 月17 日， ΔSq的值始終為0。因?yàn)樵?19 名人員中易感人群已經(jīng)被全部感染，沒(méi)有健康人員的存在，所以時(shí)刻變化量 ΔSq始終為0。從紅色圓圈曲線(xiàn)來(lái)看，擬合結(jié)果對(duì)應(yīng)了 ΔSq的兩階段變化趨勢(shì)，在2 月10 日前曲線(xiàn)上升，2 月10 日后一直為0，對(duì)于易感人群各時(shí)刻的變化量ΔSq(t)擬合結(jié)果很準(zhǔn)確， ΔSq的 擬合優(yōu)度r2值達(dá)到0.966 1，與1 很相近，表明擬合效果優(yōu)。在圖2（b）中，黑色方塊曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)也可分為2 階段：第1 階段為1 月21 日—1 月25 日，曲線(xiàn) ΔEq迅速下降，并從正值變?yōu)樨?fù)值，其中曲線(xiàn)最高節(jié)點(diǎn)1 月21 日為正值，此時(shí)疫情剛爆發(fā)，人群還在大范圍流動(dòng)，造成了病毒傳播潛伏人群的增多，而后隨著隔離，病毒傳播被控制，潛伏人群也減少。第2 階段為1 月25 日—2 月17 日， ΔEq開(kāi)始呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，并向0 逐漸靠近，潛伏人群最終逐漸減少并最后穩(wěn)定下來(lái)，但還是有少數(shù)未發(fā)現(xiàn)的潛伏病例在波動(dòng)。紅色圓圈曲線(xiàn)在 ΔEq的擬合上也很準(zhǔn)確刻畫(huà)潛伏人群變化量的走向，復(fù)現(xiàn)了1 月25 日前下降、后上升并穩(wěn)定在0 的趨勢(shì)，擬合優(yōu)度r2值達(dá)到0.823 4，與1 相近，模型擬合效果較準(zhǔn)確。

圖2 深圳市D-SEIR 模型擬合圖Fig.2 Fitting diagram of Shenzhen D-SEIR model

在圖2（c）中， ΔIq的黑色方塊曲線(xiàn)則一直下降，但在1 月21 日—2 月4 日之間為正值，也就是在這期間每天感染人數(shù)的變化量都為正值，說(shuō)明感染人數(shù)一直在增加，這也對(duì)應(yīng)疫情剛爆發(fā)時(shí)感染人數(shù)迅速增多的實(shí)際情況。而在2 月4 日—2 月17 日之間， ΔIq則下降為負(fù)值并且絕對(duì)值越來(lái)越大，說(shuō)明疫情管控和治療開(kāi)始有效，感染人數(shù)在不斷減少并且每天減少的變化量越來(lái)越大。ΔIq擬合數(shù)據(jù)的紅色圓圈曲線(xiàn)也從1 月21 日開(kāi)始迅速下降，在2 月4 日后變?yōu)樨?fù)值，與真實(shí)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)相近，擬合優(yōu)度r2值達(dá)到0.847 4，與1 也相近，擬合效果較好。從圖2（d）中來(lái)看， ΔRq的黑色方塊曲線(xiàn)趨勢(shì)則可分為2 階段：第1 階段為1 月21 日—2 月4 日，疫情前期治療手段還不明確，治愈人數(shù)很少，治愈人群時(shí)刻變化量 ΔRq都在0 的周?chē)▌?dòng)。第2 階段則為2 月4 日—2 月17 日，ΔRq出現(xiàn)明顯的上升趨勢(shì)，治療手段的采取都開(kāi)始起效， ΔRq為正值并大幅度上升。對(duì)比來(lái)看，ΔRq的紅色圓圈擬合結(jié)果曲線(xiàn)則是先上升后下降的趨勢(shì)，與實(shí)際數(shù)據(jù)貼合的結(jié)果則不是很好，擬合優(yōu)度r2值為0.261 0，結(jié)果與1 較遠(yuǎn)。分析原因可能是治療強(qiáng)度的外在因素，影響了感染患者單靠自身治愈的結(jié)果，使得 ΔRq不能單由Iq(t-1)準(zhǔn)確擬合，因此r2的結(jié)果與1 相差較遠(yuǎn)。

再以COVID-19 在山東省的傳播為例分析其傳播規(guī)律，將詳細(xì)數(shù)據(jù)處理得到的S，E，I，R人群時(shí)刻變化量，代入式（2），進(jìn)行D-SEIR 傳播模型擬合。求解得到 λq1=-0.178 1， εq1=-3.222， λq21=0.001 062，λq22=-0.293 6 ，εq2=-4.811，λq3=0.479 1，εq3=-34.56， λq4=0.073 73， εq4=0.444。擬合結(jié)果和擬合優(yōu)度r2如圖3 所示。

由 圖3 可 看 出， ΔSq， ΔEq， ΔIq， ΔRq的 擬 合趨勢(shì)（紅色圓圈曲線(xiàn)）和實(shí)際數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線(xiàn)）貼合都很近。在圖3（a）中，易感人群變化量 ΔSq的黑色方塊曲線(xiàn)一直呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，將它分為2 階段。第1 階段為1 月24 日—2 月9 日， ΔSq曲線(xiàn)由負(fù)值開(kāi)始上升直至到0，對(duì)應(yīng)于圖中的2 月9 日節(jié)點(diǎn)。第2 階段為2 月9 日—2 月17 日， ΔSq曲線(xiàn)在0 附近小范圍波動(dòng)，此階段疫情管控和治療到位，新增被感染的易感人群也逐漸減少，停留在0 附近。從 ΔSq的模型擬合結(jié)果（紅色圓圈曲線(xiàn)）來(lái)看，擬合結(jié)果也刻畫(huà)了易感人群變化量的時(shí)間趨勢(shì)，從1 月24 日開(kāi)始曲線(xiàn)穩(wěn)定上升，與黑色方塊曲線(xiàn)趨勢(shì)對(duì)應(yīng)，小范圍波動(dòng)有偏離，擬合優(yōu)度r2值為0.856 7，與1 較近，基本通過(guò)模型復(fù)現(xiàn)了 ΔSq的走勢(shì)。由圖3（b）可發(fā)現(xiàn)， ΔEq的黑色方塊曲線(xiàn)的趨勢(shì)并不穩(wěn)定，兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間波動(dòng)較大，但整體還是先下降后上升，也可分為2 階段：第1 階段為1 月21 日—2 月3 日，曲線(xiàn)趨勢(shì)下降，從正值變?yōu)樨?fù)值，1 月21 日為正值，潛伏人群增多后為負(fù)值，潛伏人群逐漸減少。第2 階段為2 月3 日—2 月17 日， ΔEq曲線(xiàn)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)并最后停留在0 左右，病毒傳播的潛伏人群基本已得到管控。紅色圓圈曲線(xiàn)在 ΔEq的擬合上則描繪了潛伏人群變化量的走向，1 月21 日—2 月3 日下降、2 月3 日—2 月17 日上升并穩(wěn)定在0，擬合優(yōu)度r2值為0.410 4，雖然趨勢(shì)得到復(fù)現(xiàn)，但因?yàn)檎鎸?shí)數(shù)據(jù)的波動(dòng)使得r2并不太佳。

圖3（c）中， ΔIq的黑色方塊曲線(xiàn)趨勢(shì)也可分為2 階段：第1 階段為1 月24 日—2 月7 日，感染人數(shù)變化量 ΔIq為正值并逐漸下降，也就是說(shuō)感染人數(shù)在逐漸增加但是增加的人數(shù)逐漸減少；第2 階段為2 月7 日—2 月17 日之間， ΔIq開(kāi)始下降為負(fù)值且絕對(duì)值越來(lái)越大，感染人數(shù)逐漸減少并且減少的趨勢(shì)越來(lái)越快。 ΔIq模型擬合數(shù)據(jù)（紅色圓圈曲線(xiàn)）也顯示在1 月24 日—2 月7 日為正值下降，2 月7 日后則為負(fù)值下降，與真實(shí)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)相近，擬合優(yōu)度r2值也達(dá)到0.879 5，擬合效果不錯(cuò)。圖3（d）中， ΔRq的黑色方塊曲線(xiàn)趨勢(shì)也可分為2 階段：第1 階段為1 月24 日—2 月1 日，曲線(xiàn)平緩值為0 左右，治愈人數(shù)尚少；第2 階段則為2 月1 日—2 月17 日，ΔRq出現(xiàn)明顯的上升趨勢(shì)，治愈人數(shù)逐漸增多， ΔRq為正值并大幅度上升。對(duì)比來(lái)看， ΔRq的紅色圓圈擬合結(jié)果曲線(xiàn)則是先上升后下降，與實(shí)際數(shù)據(jù)貼合的結(jié)果不是很好，擬合優(yōu)度r2值為0.694 5，但是與真實(shí)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)還是有差別，貼合不好，因此 ΔRq由Iq(t-1)來(lái)刻畫(huà)趨勢(shì)顯得還不太夠。

圖3 山東省D-SEIR 模型擬合圖Fig.3 Fitting diagram of Shandong D-SEIR model

3.3 疫情穩(wěn)定后D-SEIR 模型調(diào)整結(jié)果

基于疫情嚴(yán)重時(shí)期建立了D-SEIR 傳播模型和式（3）的調(diào)整模型，本文將其運(yùn)用于疫情后期COVID-19 傳播擬合預(yù)測(cè)。由于疫情各個(gè)時(shí)間段的感染人數(shù)不同，傳播效力也不一樣，尤其是在疫情后期感染人數(shù)迅速減少，隔離和復(fù)工復(fù)產(chǎn)也有影響因素，因此通過(guò)式（3）調(diào)節(jié)參數(shù)的求解使模型更加符合COVID-19 的整體傳播趨勢(shì)，調(diào)節(jié)參數(shù)結(jié)果如表2 所示。再將表2 結(jié)果代入式（3）預(yù)測(cè)Iq，ΔSq， ΔIq，結(jié) 果 如 圖4 所 示。同 時(shí) 通 過(guò) 式（3）求得擬合優(yōu)度r2，如圖4 所示。

從圖4 中可以發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后的模型對(duì)于深圳市和山東省的Iq， ΔSq， ΔIq的描繪曲線(xiàn)趨勢(shì)都很貼合，真實(shí)數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線(xiàn)）與擬合數(shù)據(jù)（紅色圓圈曲線(xiàn)）的變化趨勢(shì)一致。以深圳市為例，圖4（a）中Iq的黑色方塊曲線(xiàn)與紅色圓圈曲線(xiàn)趨勢(shì)可分為3 個(gè)階段。第1 階段1 月19 日—2 月5 日Iq迅速上升，COVID-19 擴(kuò)散感染情況越來(lái)越嚴(yán)重，確診人群數(shù)量一直上升。第2 階段2 月5 日—2 月17 日，Iq則出現(xiàn)下降趨勢(shì)，確診人數(shù)隨著控制和治療逐漸減少，疫情擴(kuò)散得到控制。第3 階段2 月17 日—3 月6 日，Iq下降并趨于平穩(wěn)，在2 月25 日節(jié)點(diǎn)開(kāi)始一直穩(wěn)定，再無(wú)新增和減少，疫情已經(jīng)完全得到控制，剩下部分人群是在接受治療的確診人群。擬合預(yù)測(cè)紅色圓圈曲線(xiàn)在Iq上面的第一、二階段趨勢(shì)高度一致，除去第3 階段的平穩(wěn)有偏離。圖4（b）中從 ΔSq的黑色曲線(xiàn)變化趨勢(shì)來(lái)看，紅色圓圈曲線(xiàn)在2 月9 日節(jié)點(diǎn)前穩(wěn)定上升，2 月9 日節(jié)點(diǎn)后也穩(wěn)定在0 左右，復(fù)現(xiàn)了真實(shí)數(shù)據(jù) ΔSq黑色方塊曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)，r2則比不加調(diào)節(jié)參數(shù)時(shí)高，為0.971 2，無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)時(shí)圖2（a）中為0.966 1。再觀察圖4（c）中 ΔIq的變化趨勢(shì)，黑色方塊曲線(xiàn)與紅色圓圈曲線(xiàn)皆呈現(xiàn)先下降后小幅上升的趨勢(shì)，也是由正值逐漸下降為負(fù)值，確診人群的數(shù)量由不斷增加變?yōu)椴粩鄿p少。在2 月17 日—3 月6 日階段，因?yàn)楹谏綁K曲線(xiàn) ΔIq由最低點(diǎn)上升后平穩(wěn)，確診人群數(shù)量在減少，調(diào)整過(guò)程為了平穩(wěn)上升過(guò)程中的點(diǎn)波動(dòng)，所以在這階段曲線(xiàn)稍許偏離，對(duì)比圖2（c）中 ΔIq的 擬合結(jié)果，r2雖有一些下降，由0.847 4 變?yōu)?.818 0，但是在穩(wěn)定后的確診人群的演化趨勢(shì)上更貼合。

表2 調(diào)節(jié)參數(shù)結(jié)果表Tab.2 Adjustment parameter results

圖4 深圳市D-SEIR 修正模型擬合圖Fig.4 Fitting diagram of Shenzhen D-SEIR modified model

再觀察D-SEIR 模型在疫情穩(wěn)定后的調(diào)整模型對(duì)山東省的傳播擬合結(jié)果，如圖5 所示。從圖5（a）中可發(fā)現(xiàn)中Iq的黑色方塊曲線(xiàn)與紅色圓圈曲線(xiàn)也共同呈現(xiàn)先上升后下降2 階段趨勢(shì)，第1 階段1 月21 日—2 月9 日，感染人數(shù)不斷上升，并在2 月9 日節(jié)點(diǎn)達(dá)到最高峰，山東省此時(shí)感染情況最嚴(yán)重。第2 階段2 月9 日—3 月3 日，感染人群數(shù)量開(kāi)始迅速下降，不過(guò)沒(méi)有趨于平穩(wěn)的趨勢(shì)，但山東此時(shí)疫情也已經(jīng)得到基本控制，修正后的模型曲線(xiàn)紅色圓圈曲線(xiàn)在這期間也與黑色方塊曲線(xiàn)十分貼近，復(fù)現(xiàn)了感染人群數(shù)量變化走勢(shì)。圖5（b）中則對(duì)模型修正后的易感人群變化量 ΔSq進(jìn)行描繪，根據(jù)曲線(xiàn)趨勢(shì)也可分為2 階段，第1 階段1 月23 日—2 月17 日， ΔSq為負(fù)值并一直上升，直至為0，易感人群被感染的變化量一直在減少，直至疫情穩(wěn)定后在無(wú)易感人員被感染，變化量為0。第2 階 段2 月7 日—3 月1 日， ΔSq一 直在0 左 右波動(dòng)，被感染的易感人員在疫情穩(wěn)定后就更少，只是少數(shù)被感染。從兩階段來(lái)看模型修正的擬合結(jié)果（紅色圓圈曲線(xiàn)）與真實(shí)數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線(xiàn)）很貼近，擬合優(yōu)度r2達(dá)到0.861 5，比圖3（a）中的擬合優(yōu)度r2值0.857 6 有提高，描繪結(jié)果更為準(zhǔn)確。而圖5（c）中確診人群變化量 ΔIq在整體下降，也可分為2 階段，第1 階段1 月23 日—2 月7 日，ΔIq為正值并逐漸下降，確診人群的增加變化量逐漸減少。第2 階段2 月7 日—3 月1 日， ΔIq為負(fù)值并后期逐漸穩(wěn)定，感染人數(shù)在下降并最后穩(wěn)定在接受治療的感染人群總數(shù)上，無(wú)新增感染人員。兩階段調(diào)整后的紅色圓圈擬合趨勢(shì)也更貼合黑色方塊曲線(xiàn)的走向，擬合優(yōu)度r2為0.912 2，比圖3（c）中未調(diào)整前的r2值0.879 5 提高，刻畫(huà)確診人群變化情況更為準(zhǔn)確。

圖5 山東省D-SEIR 修正模型擬合圖Fig.5 Fitting diagram of Shandong D-SEIR modified model

4 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)嚴(yán)控至逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間不同階段的COVID-19 感染情況，提出一種考慮地區(qū)之間人口流動(dòng)和地區(qū)內(nèi)部人口流動(dòng)狀態(tài)的疫情傳播D-SEIR 模型。通過(guò)綜合考慮在人群流動(dòng)之下，構(gòu)建D-SEIR 模型利用易感人群被感染的變化量和潛伏人群的變化量，擬合預(yù)測(cè)疫情在嚴(yán)重至穩(wěn)定期間的易感人群和確診人群的演變趨勢(shì)。經(jīng)過(guò)深圳市和山東省的實(shí)證數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的D-SEIR 模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)COVID-19 傳播過(guò)程中的易感人群和確診人群演化趨勢(shì)。根據(jù)疫情未轉(zhuǎn)變穩(wěn)定前的傳播情況，深圳市對(duì)易感人群變化趨勢(shì)和確診人群變化趨勢(shì)擬合優(yōu)度r2可達(dá)0.966 1 和0.847 4，山東省的擬合優(yōu)度r2可達(dá)0.857 6 和0.879 5。當(dāng)疫情轉(zhuǎn)變穩(wěn)定后，深圳市對(duì)疫情整體期間的易感人群變化趨勢(shì)和確診人群變化趨勢(shì)擬合優(yōu)度r2可達(dá)0.972 0 和0.818 0，山東省的擬合優(yōu)度r2則可達(dá)0.861 5 和0.912 2。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可發(fā)現(xiàn)本文模型對(duì)于COVID-19 在人群流動(dòng)下的傳播規(guī)律刻畫(huà)準(zhǔn)確，可為復(fù)工復(fù)產(chǎn)背景下不同城市和地區(qū)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警提供決策依據(jù)。但同時(shí)本文的模型還可以更加完善，比如對(duì)于治愈人群和確診人群的關(guān)系、治療因素對(duì)疫情傳播的抑制作用、流動(dòng)人群中確診人群的存在對(duì)疫情擴(kuò)散的影響等，這些工作將在以后的研究中再作更細(xì)致的分析。