洪紹鵬 王冀惟

[摘 要]考慮到單一區(qū)制的GARCH族模型存在無法捕捉數(shù)據(jù)的結構性突變的缺陷，文章構建MS（2）-GJR-GARCH模型對上證指數(shù)與深圳指數(shù)的日收益率進行了擬合，采用MCMC方法以避免參數(shù)估計中存在的路徑依賴問題。模型擬合結果說明：①上證指數(shù)與深圳指數(shù)均存在顯著的區(qū)制轉換特征;②在樣本期內(nèi)，低波動率區(qū)制占有較長時間;③波動率易受外部事件的影響。

[關鍵詞]杠桿效應;波動率聚集;MS（2）-GJR-GARCH;MCMC估計

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2021.05.031

1 文獻綜述

由于GARCH類模型往往會出現(xiàn)波動率高持續(xù)性的現(xiàn)象（Lamoureux，1990），并且無法刻畫波動率的非對稱性隨時間變化的現(xiàn)象（Caporale，2002）。

Hamilton和Susmel （1994）提出了MS-GARCH模型，在該模型中，收益率的條件分布取決于一個不可觀測的馬爾可夫鏈，通過區(qū)制的轉換解決了模型數(shù)據(jù)中存在的結構性突變問題，并討論了在MS-GARCH模型中由于存在路徑依賴問題從而導致使用最大似然法進行參數(shù)估計會無法精確估計參數(shù)的問題。由此引出了大批學者對MS-GARCH參數(shù)估計的問題進行研究。

由于MS-GARCH待估計參數(shù)較多，后驗積分難以計算。貝葉斯估計大多使用馬爾可夫鏈蒙特卡洛模擬（MCMC）方法去解決后驗密度積分維度過高，難以計算的問題并同時可以解決路徑依賴問題（Bauwens 等，2010，2011）。或者使用MCEM算法去估計MS-GARCH的參數(shù)（Augustyniak，2014）

2 理論基礎：MS-GARCH

令yt為t時刻的收益率，假設：①Eyt=0，即零均值假設;②序列之間不存在自相關。根據(jù)Ardia 等（2018）的研究，MS-廣義GARCH模型符合以下形式：

yt|（st=k，Jt-1）～D（0，hk，t，ξk）（1）

其中，Jt-1≡{yt-i，i>0}，st為一階時齊馬爾可夫狀態(tài)空間K中的一個狀態(tài)，hk，t為時變方差，ξk為形狀參數(shù)。在給定分布D（·）后，有E[y2t|st=k，Jt-1]=hk，t。由此，推出hk，t為在給定狀態(tài)st以及信息集Jt-1后的yt的條件方差。根據(jù)Haas 等（2004）的研究，假定yt的條件方差服從一個GARCH族模型。在st=k時，得出：

hk，t≡h（yt-1，hk，t-1，θk）（2）

其中，yt-1為t-1期收益率，hk，t-1為在狀態(tài)k下，t-1期的條件波動率，θk為該狀態(tài)的參數(shù)向量。假定hk，1≡h—k（k=1，…，K），即在每一狀態(tài)的第一期都有一個固定的波動率。筆者設置其為在狀態(tài)k下的無條件波動率。

令h（·）的形式如下：

hk，t≡ωk+（αk+γkI{yt-1<0}）y2t-1+βkhk，t-1（3）

其中，I（·）為示性函數(shù)來刻畫波動率聚集與杠桿效應，當yt-1<0時，I（·）取1，否則取0。通過這樣一個示性函數(shù)來描述當收益率面對一個負面沖擊時，收益率波動往往大于一個正面沖擊的波動。為限制hk，t協(xié)方差平穩(wěn)，需要添加限制條件：αk+βk+κkγk<1，其中，κk≡P[yt<0|St=k，Jt-1]。

對于D（·）的設定，由于收益率常存在高峰肥尾右偏的特性，選擇偏t分布作為收益率的條件分布。

3 實證研究

本文使用上證指數(shù)（000001.SS）與深圳指數(shù)（399001.SZ） 2005年1月7日至2019年11月1日共3600天的數(shù)據(jù)。

3.1 數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計

本文選擇使用日對數(shù)收益率rt=lnpt-lnpt-1。，是根據(jù)Wind數(shù)據(jù)庫的收盤指數(shù)進行計算得出的。表1報告了上證指數(shù)與深圳指數(shù)日對數(shù)收益率的基本統(tǒng)計量。從最大最小值可以看到，由于漲跌停板的存在，收益率的浮動區(qū)間大致在-0.09～0.09;從均值來看上證指數(shù)與深圳指數(shù)均值均為0，符合假設;從偏度與峰度來看，上證指數(shù)與深圳指數(shù)均存在高峰肥尾偏右的情況，并且從JB統(tǒng)計量得出，指數(shù)的對數(shù)收益均不符合正態(tài)分布。從ARCH效應檢測結果來看，兩指數(shù)均存在ARCH效應，需要考慮使用GARCH進行擬合。

3.2 參數(shù)估計

本文使用MCMC法對模型進行擬合，其中，抽樣500000次，預燒50000次，為降低樣本自相關性，每隔50個樣本抽樣一次。初值由極大似然法擬合的參數(shù)決定。

表2報告了上證指數(shù)與深圳指數(shù)的模型參數(shù)使用后驗期望作為參數(shù)的點估計。?？梢钥吹?，區(qū)制1與區(qū)制2的參數(shù)有著明顯不同，說明滬深股市存在區(qū)制轉換特征。

3.3 波動率分析

MS（2）-GJR-sstd模型將上證指數(shù)與深圳指數(shù)的波動率分成了兩個區(qū)制：低波動率區(qū)制（區(qū)制1）與高波動率區(qū)制（區(qū)制2）。在低波動率區(qū)制，上證指數(shù)無條件波動率后驗均值與深圳指數(shù)無條件后驗均值大致相同，僅相差0.001。在高波動率區(qū)制，上證指數(shù)與深圳指數(shù)的無條件波動率后驗分布均值相比于低波動率區(qū)制有明顯提高，上證指數(shù)的無條件波動率后驗均值提高了366.67%，深圳指數(shù)的無條件波動率后驗均值提高了317.50%。說明我國上證指數(shù)與深圳指數(shù)的波動率均存在明顯的區(qū)制轉換特征，高低波動率區(qū)制劃分明顯。并且發(fā)現(xiàn)上證指數(shù)波動率在從低波動率區(qū)制轉換到高波動率區(qū)制時無條件波動率后驗均值相比于深圳指數(shù)的無條件波動率后驗均值會有更大提高，詳見表3。

表4報告了上證指數(shù)與深圳指數(shù)的概率轉移矩陣，可以發(fā)現(xiàn)從t期到t+1期兩種狀態(tài)都更有可能保持原有狀態(tài)，而只有很小的概率轉換到另外一種狀態(tài)，這說明上證指數(shù)與深圳指數(shù)的低波動狀態(tài)與高波動狀態(tài)都具有很強的持續(xù)性，也就是存在“長記憶性”。并且從高波動率區(qū)制轉移到低波動區(qū)制的概率大于從低波動率區(qū)制轉移到高波動率區(qū)制的概率，市場更有可能從高波動率區(qū)制轉移至低波動率區(qū)制而不是從低波動率區(qū)制轉移至高波動率區(qū)制。這說明兩市場的波動率均有向低波動率復歸的特點。