陳金晶

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

為了給出n-叢傾斜子范疇一個(gè)公理性的刻畫(huà)，Jasso 于2016年引入了n-阿貝爾范疇和n-正合范疇的概念[1].n-正合范疇是一類(lèi)具有n-正合結(jié)構(gòu)的范疇，是經(jīng)典正合范疇[2-3]的高維推廣.n-阿貝爾范疇可看做n-正合范疇，其正合結(jié)構(gòu)為范疇中的所有n-正合列.更多地，Manjra 引入了n-弱冪等完備范疇的概念，并證明了n-弱冪等完備的加法范疇中所有可縮n-正合列構(gòu)成n-正合結(jié)構(gòu)，故在這個(gè)意義下n-弱冪等完備加法范疇是n-正合范疇[4].本文繼續(xù)研究n-正合范疇與n-弱冪等完備，n-阿貝爾范疇之間的關(guān)系，給出了n-正合范疇為n-弱冪等完備的若干等價(jià)刻畫(huà)，并證明了如果n-正合范疇中每個(gè)態(tài)射均為容許態(tài)射，則該范疇是n-阿貝爾范疇.

定義1[1]設(shè)d0X:X0→X1為中態(tài)射，稱(chēng)如下態(tài)射列為d0X的n-余核，

如果對(duì)任意的1 ≤k≤n?1，dkX是dkX?1的弱余核，且dnX是dnX?1的余核.一個(gè)態(tài)射的n-核的概念是對(duì)偶的.

構(gòu)成的滿(mǎn)子范疇.Jasso[1]引入了加法范疇中n-推出、n-正合列的定義.

定義2[1]1)設(shè)為Chn?1()中的復(fù)形，a0:X0→Y0是中態(tài)射.稱(chēng)復(fù)形態(tài)射a:X→Y為復(fù)形X沿著a0的一個(gè)n-推出，

圖1 n-推出Fig.1 n-push out

如果在a的映射錐C(a):

特別地，

對(duì)偶地有n-拉回的定義.

2)稱(chēng)Chn()中復(fù)形

為n-正合列，如果(d0X,…,dnX?1)是dnX的n-核且(d1X,…,dnX)是d0X的n-余核.

3)設(shè)X,Y為中n-正合列.稱(chēng)復(fù)形態(tài)射f:X→Y為弱同構(gòu)，如果存在k∈{0,1,…,n+1}使得f k與fk+1是同構(gòu)，其中規(guī)定n+2:=0.

性質(zhì)1[1]設(shè)g0:X0→Z0為中態(tài)射.已知f:X→Y為X∈Chn?1()沿著g0的n-推出，如圖2所示.

圖2 X沿著g0的n-推出Fig.2 The n-push out of X along g0

圖3 復(fù)形態(tài)射Fig.3 The morphism of complexes

稱(chēng)X∈Ch()是可縮復(fù)形，如果1X同倫于0X.下面關(guān)于可縮復(fù)形的性質(zhì)是重要的.

性質(zhì)2[1]設(shè)是加法范疇，X是Chn()中復(fù)形且(d1X,…,dnX)是d0X的n-余核.則d0X是可裂單當(dāng)且僅當(dāng)X是可縮n-正合列.

定義3[1]給定正整數(shù)n及加法范疇M.設(shè)是中n-正合列組成的一個(gè)類(lèi)，稱(chēng)為中一個(gè)n-正合結(jié)構(gòu)，如果中對(duì)象在弱同構(gòu)下是封閉的，且滿(mǎn)足以下公理：

E1op)所有-容許滿(mǎn)態(tài)射構(gòu)成的類(lèi)在合成下是封閉的.

圖4 X沿著f0的n-推出Fig.4 The n-push out of X along f0

E2op)對(duì)任意-容許n-正合列X及態(tài)射gn+1:Yn+1→Xn+1，存在X沿著gn+1的n-拉回使得dnY為-容許滿(mǎn)，即有如下交換圖5：

圖5 X沿著gn+1的n-拉回Fig.5 The n-pull back of X along gn+1

性質(zhì)3[1]令（，）為n-正合范疇，則

1)Ch（n）中可縮復(fù)形是容許n-正合列;

2)設(shè)在下列交換圖6中，若第二行為容許n-正合列且(d1X,…,dnX)是d0X的n-余核，則交換圖中第一行也是容許n-正合列.

圖6 交換圖Fig.6 The commutative diagram

定義4[4]加法范疇稱(chēng)為n-弱冪等完備的，如果中每個(gè)可裂單態(tài)射具有n-余核且每個(gè)可裂滿(mǎn)態(tài)射具有n-核.當(dāng)n=1時(shí)，稱(chēng)為弱冪等完備范疇.

Manjra[4]證明了n-弱冪等完備范疇是n-正合范疇，其正合結(jié)構(gòu)是范疇中的所有可縮n-正合列.下面是本文的第一個(gè)主要結(jié)果，給出了n-正合范疇是n-弱冪等完備的若干等價(jià)刻畫(huà).該結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[3]中關(guān)于弱冪等完備的正合范疇的等價(jià)刻畫(huà).

定理1設(shè)是n-正合范疇，則下列敘述是等價(jià)的：

2)每個(gè)可裂單態(tài)射是容許單，每個(gè)可裂滿(mǎn)態(tài)射是容許滿(mǎn).

3)若態(tài)射gf是容許滿(mǎn)，則g是容許滿(mǎn);若gf是容許單，則f是容許單.

4)若態(tài)射gf與f都是容許滿(mǎn)，則g是容許滿(mǎn);若gf與g都是容許單，則f是容許單.

證明1)2)：設(shè)f0是可裂單態(tài)射，因?yàn)槭莕-弱冪等完備范疇，f0具有n-余核(f1,…,f n).根據(jù)性質(zhì)2可知

是可縮n-正合列.注意到可縮n-正合列是容許n-正合列，故f0是容許單.利用性質(zhì)2的對(duì)偶可知每個(gè)可裂滿(mǎn)態(tài)射是容許滿(mǎn).

圖7 X沿著f的n-推出Fig.7 The n-push out of X along f

其中第一行為容許n-正合列.利用性質(zhì)1，進(jìn)一步可誘導(dǎo)出中對(duì)應(yīng)于s:X→Y的好n-推出進(jìn)而對(duì)于如下復(fù)形態(tài)射t:X→Z，

圖8 復(fù)形態(tài)射Fig.8 The morphism of complexes

圖9 好n-推出的泛性質(zhì)Fig.9 The universal property of good n–push out

下面證明l1h是f的弱余核.首先設(shè)態(tài)射k:B→K使得kf=0，則根據(jù)好n-推出的泛性質(zhì)，存在交換圖10，

圖10 好n-推出的泛性質(zhì)Fig.10 The universal property of good n–push out

使得q0=1B，q1=0.由于l1是的弱余核，存在m:D2→K使得ml1=q1.進(jìn)而k=q1h=m(l1h).所以l1h是f的弱余核.又注意到對(duì)任意的2 ≤i≤n?1，li是li?1的弱余核且ln是ln?1的余核，故f有n-余核(l1h,l2,…,ln).已知gf是容許單，故可誘導(dǎo)出復(fù)形態(tài)射

圖11 n–余核的泛性質(zhì)Fig.11 The universal property of n-cokernel

根據(jù)性質(zhì)3可知(f,l1h,l2,…,ln)為容許n-正合列，即f是容許單.

n-阿貝爾范疇是一類(lèi)具有特殊性質(zhì)的n-正合范疇，是經(jīng)典阿貝爾范疇[5]的高維推廣.n-阿貝爾范疇的定義是Jasso于2006年如下引入的.

定義5[1]令n為固定正整數(shù).稱(chēng)加法范疇為n-阿貝爾范疇，如果滿(mǎn)足以下公理：

A2op)對(duì)于中任意滿(mǎn)射gn:Xn→Xn+1，存在n-正合列

n-阿貝爾范疇自然地看做為n-正合范疇，其正合結(jié)構(gòu)為該范疇中所有的n-正合列.本文以下考察了n-正合范疇滿(mǎn)足何條件時(shí)是n-阿貝爾范疇.為此首先引入n-正合范疇中容許態(tài)射的概念.

定義6設(shè)是n-正合范疇，f:A→B為范疇中態(tài)射.如果f可分解為f=rs使得s為容許滿(mǎn)態(tài)射，r為容許單態(tài)射，則稱(chēng)f為中容許態(tài)射.

定理2設(shè)為n-正合范疇.如果中每個(gè)態(tài)射均為容許態(tài)射，則是n-阿貝爾范疇.

證明只需驗(yàn)證滿(mǎn)足定義5中4條公理即可：

A0)設(shè)e:A→A為中冪等態(tài)射，即e2=e.根據(jù)e為容許態(tài)射，有以下分解e=rs，其中s:A→B為容許滿(mǎn)，r:B→A為容許單.則(rs)(rs)=e2=e=rs.注意到s為滿(mǎn)射，r為單射，故sr=1B.這表明了是冪等完備范疇;

A1)設(shè)f:A→B為中態(tài)射且f分解為f=rs，其中s為容許滿(mǎn)，r為容許單.由于s是容許滿(mǎn)，在中s有n-核，記為

則對(duì)于1 ≤i≤n?2，si+1是si的弱核，且sn是sn?1的核.注意到s1是s的弱核且r為單射，易知s1是f=rs的弱核.綜上，(sn,sn?1,…,s1)是f的n-核.對(duì)偶分析可知f也具有n-余核;

A2)設(shè)f0為中單射.已知f0可分解為f0=rs，其中r為容許單，s為容許滿(mǎn).則中存在n-正合列(r,r1,r2,…,rn)與(sn,…,s2,s1,s).注意到f0s1=r(ss1)= 0，故s1=0.進(jìn)而s=cokers1為單位態(tài)射.故(f0,r1,r2,…,rn)為n-正合列，條件A2)成立.對(duì)偶分析可知條件A2op亦成立.

注1事實(shí)上當(dāng)n=1時(shí)，定理2推廣了Freyd[6]的一個(gè)經(jīng)典結(jié)果：如果是正合范疇且其中每個(gè)態(tài)射均為容許態(tài)射，則是阿貝爾范疇.