周 波，李 論，田同同，趙吉賓

（1.中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所，沈陽 110016；2.中國科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院，沈陽 110169）

目前，球形和非球形光學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用越來越受到成像性能以及現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)的高質(zhì)量要求的挑戰(zhàn)，而由自由曲面表達(dá)的復(fù)雜光學(xué)表面是解決此問題的關(guān)鍵[1]。光學(xué)自由曲面通常是指不可展的復(fù)雜光學(xué)表面，它可以具有任意規(guī)則或不規(guī)則的表面結(jié)構(gòu)[2]。與傳統(tǒng)的光學(xué)部件相比，它具有不對(duì)稱的結(jié)構(gòu)并具有靈活的空間布局。經(jīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)擴(kuò)展的自由度，顯著提高了光學(xué)系統(tǒng)的視場適應(yīng)性，并使光學(xué)系統(tǒng)可以獲得更大的成像視場，改善了其光學(xué)性能，并簡化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可減少鏡片的數(shù)量以及鏡片的尺寸[3]。因此，基于自由曲面的光學(xué)系統(tǒng)研究已成為發(fā)展新一代高性能光學(xué)系統(tǒng)的重要方向。

高輪廓精度的自由曲面的應(yīng)用，使得大視場、高分辨率反射長焦系統(tǒng)的設(shè)計(jì)日益成為歐美發(fā)達(dá)國家的關(guān)注焦點(diǎn)，并在自由曲面研究領(lǐng)域取得了突破。NASA 已使用的自由曲面的紅外光譜成像儀也采用了自由形式的表面[4]。國際知名的光學(xué)系統(tǒng)制造商徠卡（Leica）為歐洲航天局（ESA）開發(fā)了一種新型的自由曲面光學(xué)表面[5]。TMA 相機(jī)也使用自由曲面，并且全場波像差的RMS 值從λ/ 7 提高到λ/ 20[6]。

大口徑自由形狀零件的高端加工技術(shù)和設(shè)備被以美國為首的西方國家視為戰(zhàn)略資源，并嚴(yán)格限制了出口。由于其特殊的幾何結(jié)構(gòu)和材料特性，對(duì)打磨的路徑規(guī)劃技術(shù)的要求非常高。綜上所述，以自由曲面表示的復(fù)雜光學(xué)表面在重要的光學(xué)工程、國防軍事等先進(jìn)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，將成為光學(xué)系統(tǒng)技術(shù)發(fā)展的主要方向。為解決現(xiàn)有自由曲面光學(xué)器件表面加工的關(guān)鍵問題，開發(fā)了用于大直徑自由曲面零件的智能、高精度、高效超高精度機(jī)器人拋光加工平臺(tái)。

傳統(tǒng)的數(shù)控軌跡生成方法，如等距輪廓偏置、螺旋軌跡以及往復(fù)路徑等，均需要避免路徑交叉并追求更高的效率以實(shí)現(xiàn)高速加工。但是，拋光路徑為了防止單一方向運(yùn)行導(dǎo)致的中頻、高頻誤差，其方向需要不斷變化，以有效地消除拋光紋理?，F(xiàn)在的拋光路徑除了前述的傳統(tǒng)方法，還有基于分形算法的謝爾賓斯基曲線或者希爾伯特曲線，但是其生成路徑有規(guī)律可循，一定程度上仍無法做到消除中頻及高頻誤差?；诖耍疚奶岢鱿率鰭伖廛壽E算法，具體見圖1的算法流程圖。

圖1 算法流程圖Fig.1 Flow chart of algorithm

自由曲面的不規(guī)則形狀特性為光學(xué)系統(tǒng)賦予了新的活力，但同時(shí)也為其制造技術(shù)帶來了巨大挑戰(zhàn)。依賴于手動(dòng)和簡單機(jī)械的傳統(tǒng)加工方法屬于質(zhì)量不穩(wěn)定的研磨和拋光技術(shù)，無論精度或加工效率，都無法滿足復(fù)雜曲面的加工要求。

隨著機(jī)器人技術(shù)的日益成熟及其具有的更大加工靈活性以及加工范圍，可以使用六軸工業(yè)機(jī)器人夾持拋光工具進(jìn)行拋光操作，其更具有成本低廉的特性，但由于工業(yè)機(jī)器人的低剛性（約0.1mm）而降低了其定位精度[7]。很多研究人員使用CNC 機(jī)床進(jìn)行此類精加工階段。Lin 等[8-9]設(shè)計(jì)和開發(fā)了一種五軸CNC 柔性砂布輪拋光機(jī)床，并研究了其拋光工藝[10]，柔性拋光有效地改善了表面質(zhì)量，而又不影響工件的深層質(zhì)量。Tsai 和Huang[11]設(shè)計(jì)了一種特殊的五軸機(jī)床進(jìn)行拋光操作。

計(jì)算機(jī)控制的光學(xué)拋光（Computer control optics surface，CCOS）技術(shù)[12]，特別是一些新穎的拋光技術(shù)，如應(yīng)力板拋光、磁流變拋光、離子束拋光和球囊拋光等確定性拋光技術(shù)的創(chuàng)新，促進(jìn)了光學(xué)元件的革命性高精度制造。但是，當(dāng)將上述商用拋光技術(shù)應(yīng)用于大直徑光學(xué)自由曲面的高精度加工時(shí)，存在一個(gè)明顯的問題：自由曲面元件不同于球形表面和簡單的非球形元件，并具有一定的邊界功能。目前，商業(yè)數(shù)字拋光技術(shù)加工坐標(biāo)系無法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜曲面光學(xué)元件的識(shí)別和精密加工。同時(shí)，因數(shù)控機(jī)床的加工范圍有限及其不具有機(jī)器人的加工靈活性，這些新穎的拋光技術(shù)絕大多數(shù)采用了機(jī)器人平臺(tái)進(jìn)行拋光。

本研究克服了現(xiàn)有技術(shù)的局限性，并提出基于旅行商問題生成無交叉路徑的拋光方法。

邊界參數(shù)化

對(duì)曲面進(jìn)行參數(shù)化就等于找到從合適的域到曲面的一對(duì)一映射。對(duì)表面網(wǎng)格進(jìn)行參數(shù)化的目的是找到從平面網(wǎng)格到三角網(wǎng)格曲面的一對(duì)一映射規(guī)則。一個(gè)好的映射規(guī)則需要符合角度變形（共形參數(shù)化）或面積變形（保面積參數(shù)化）最小化的規(guī)則。根據(jù)所需的邊界參數(shù)化類型，可以將不同的參數(shù)化方法分為3類：固定邊界、自由邊界和無邊界[13]。本文采用前兩種邊界法。

1 分層切片算法

固定邊界表面參數(shù)化法是定義一組約束邊界參數(shù)化的方法，即沿邊界的每個(gè)頂點(diǎn)由兩個(gè)u、v坐標(biāo)[13]來定義。為固定邊界方法選擇邊界參數(shù)化方案時(shí)，提供兩種不同的選擇：

（1）用戶可以在兩種常用方法中選擇邊界參數(shù)化：均勻或弧長參數(shù)化。均勻即等距劃分的邊界參數(shù)化雖然會(huì)產(chǎn)生較差的視覺效果，但更穩(wěn)定。為了更符合減小加工誤差的原則，在默認(rèn)情況下，使用弧長邊框參數(shù)化的方法。

（2）由兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形狀中的一個(gè)形狀來代表平面域的邊界形狀：圓形或正方形。正方形邊界參數(shù)化通常用于近似矩形。圓形邊界參數(shù)化對(duì)應(yīng)于近似于圓形的投影。

相對(duì)于固定邊界表面參數(shù)化法，自由邊界表面參數(shù)化法保證更好的映射精度[14-16]，但是映射域的邊界復(fù)雜，加大了規(guī)劃路徑的難度。傳統(tǒng)的往復(fù)路徑(即Zig-Zag)或等距輪廓偏置（即CPO）因路徑生成簡單，可以適用于自由邊界映射域的路徑規(guī)劃。而前述的謝爾賓斯基曲線或者希爾伯特曲線，則不適用于自由邊界映射域，因兩者均在圓域或方域內(nèi)方便進(jìn)行分形計(jì)算，在自由邊界域內(nèi)規(guī)劃非常困難。本文采用的通過在映射域內(nèi)生成隨機(jī)點(diǎn)的方法，突破了上述路徑因映射精度及路徑規(guī)劃難度等問題，可以在圓域、方域及自由邊界映射域內(nèi)生成無交叉路徑，完成了拋光路徑的生成。

針對(duì)上述平面域的選擇問題，通過將曲面網(wǎng)格投影到平面上，可以獲得區(qū)域輪廓，根據(jù)計(jì)算圓形度的數(shù)值來判斷形狀并選擇邊界參數(shù)化類型，如圖2所示。

圖2 網(wǎng)格曲面適用類型Fig.2 Applicable types of mesh surfaces

圓形度的計(jì)算公式如下：

式中，Circularity為圓形度；Area為投影區(qū)域的輪廓包圍面積；Length為投影區(qū)域的輪廓長度。當(dāng)投影區(qū)域的圓形度接近1（本文選擇為超過0.9），則適用于選擇圓域；當(dāng)投影區(qū)域的圓形度值相對(duì)?。紤]到方形域?yàn)?.785，本文選擇為介于0.8 與0.9之間），則適用于選擇方域；當(dāng)圓形度值小于0.8，則選擇自由邊界映射域。

2 重心坐標(biāo)系

參考2D 廣義重心坐標(biāo)[17]的定義，其提供了為二維三角形定義的廣義重心坐標(biāo)的高效的實(shí)現(xiàn)方法。為了方便地產(chǎn)生拋光軌跡，必須將映射平面內(nèi)三角形的坐標(biāo)以重心坐標(biāo)系的形式表達(dá)，再將該坐標(biāo)映射到三維網(wǎng)格曲面上，從而方便地獲得最終的拋光軌跡，如圖3、4所示。

圖3 天狗面具的映射平面域Fig.3 Mapping plane of tengu mask

圖4 Emijo 面具的映射平面域Fig.4 Mapping plane of Emijo mask

點(diǎn)q的三角形上的任何點(diǎn)都可以表示為式（2），見圖5。

可以將q表示為三角形頂點(diǎn)的加權(quán)平均值。如前文所述，平面域的索引遵循一對(duì)一的映射規(guī)則，并且與原始曲面網(wǎng)格相同，點(diǎn)q對(duì)應(yīng)于原始曲面網(wǎng)格的平面域上面片內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，其坐標(biāo)可以通過式（2）計(jì)算。

圖5 平面網(wǎng)格面片上的重心坐標(biāo)Fig.5 Gravity coordinate on patch

軌跡規(guī)劃

傳統(tǒng)的拋光路徑方法包括：往復(fù)、等距輪廓偏置、螺旋形、希爾伯特（Hilbert）填充曲線[18]、均勻有理B樣條曲線（NURBS）曲線擬合[19]等。為了防止單一方向運(yùn)行導(dǎo)致的中頻、高頻誤差，并消除拋光紋理，拋光路徑方向需要不斷變化。相對(duì)于有規(guī)律可循的基于分形算法的謝爾賓斯基（Sierpinski）曲線[20]或者希爾伯特曲線的拋光路徑，無規(guī)律的隨機(jī)路徑更適用于消除中頻、高頻誤差，但是需要采用一種高效的且可以將隨機(jī)點(diǎn)用“一筆畫”的方式進(jìn)行連接，以生成無交叉的高效隨機(jī)路徑。

旅行商問題（Travelling salesman problem,TSP）是計(jì)算數(shù)學(xué)中研究最深入的問題之一。給定一個(gè)城市的集合以及每對(duì)城市之間的旅行成本，那就是找到訪問所有城市并返回起點(diǎn)的最經(jīng)濟(jì)的方法[21]。對(duì)于拋光軌跡，可以在平面網(wǎng)格中生成隨機(jī)點(diǎn)，并通過TSP 方法進(jìn)行連接，從而可以使拋光軌跡最短。

但是TSP 問題尚無有效的解決方法[22]，任何方法均不能保證其獲得的是最短的路徑，只有相對(duì)短和高效的算法。在這些求解方法中，加拿大Uwaterloo 大學(xué)的研究人員[23]提出的算法和基于Lin-Kernighan的本地搜索算法[24]求解TSP 都非常節(jié)省時(shí)間并保證結(jié)果是相對(duì)優(yōu)良的。隨著點(diǎn)數(shù)的增加，各個(gè)計(jì)算方法的時(shí)間消耗將急劇增加。比較隨機(jī)點(diǎn)（2000個(gè)點(diǎn)）的時(shí)間消耗和準(zhǔn)確性的計(jì)算結(jié)果，如表1所示。

可見，基于Lin-Kernighan算法求解TSP的算法具有良好的時(shí)間消耗和準(zhǔn)確性。雖然路徑長度略大于Uwaterloo 大學(xué)的計(jì)算結(jié)果，但是計(jì)算效率的優(yōu)勢(shì)非常明顯。相對(duì)于縮短冗長的打磨拋光路徑長度的難度，計(jì)算效率的提高更具有實(shí)際意義，這樣才能實(shí)現(xiàn)算法較高的“質(zhì)速比”。

1 蟻群算法

本文采用蟻群算法來提高計(jì)算速度。蟻群算法是一種用來尋找優(yōu)化路徑的概率型算法，1992年由Dorigo[25]在其博士論文中提出，其靈感來源于螞蟻在尋找食物過程中發(fā)現(xiàn)路徑的行為。這種算法具有分布計(jì)算、信息正反饋和啟發(fā)式搜索的特征，本質(zhì)上是進(jìn)化算法中的一種啟發(fā)式全局優(yōu)化算法[26]。本文采用蟻群算法解決前述的以TSP 求解路徑連接問題，算法的流程如下（以某一只螞蟻的行走路徑代表一個(gè)可行解，即一個(gè)路徑連接方案）：

（1）設(shè)定迭代次數(shù)。

（2）確定螞蟻數(shù)n。

①對(duì)每只螞蟻，隨機(jī)選擇一個(gè)抽象點(diǎn)作為起點(diǎn)；

·進(jìn)入循環(huán)選擇后n-1個(gè)抽象點(diǎn)；

·根據(jù)所有與當(dāng)前抽象點(diǎn)相連的路徑上的信息素多少，決定下一步，即選擇信息素最多的路徑；

·螞蟻有一定概率選擇錯(cuò)誤，即隨機(jī)選擇下一步要走的路徑；

·在選擇的路徑上按照一定規(guī)則留下一定量的信息素；

②螞蟻行走路徑就是本次搜索的軌跡連接路徑；

（3）每群螞蟻結(jié)束后，所有路徑上的信息素進(jìn)行一次衰退，保證越后進(jìn)行的螞蟻的信息素影響越大。

（4）等待迭代結(jié)束。

設(shè)定更新選擇的路徑上的信息素方式為式（3），其中u為信息素衰退因子；Q為常數(shù)因子；len為從起始城市回到城市的路徑距離。

并設(shè)定全局更新信息素為蟻密系統(tǒng)。

2 TSP算法對(duì)比分析

將幾種TSP算法運(yùn)行對(duì)比，以驗(yàn)證所提出算法的有效性，軌跡連接效果和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別見圖6及表2。

從表2可以看出：（1）除Uwaterloo大學(xué)及本文所提出的算法，其余算法都存在交叉；（2）雖然Uwaterloo 大學(xué)所提出的算法路徑最短，但是計(jì)算時(shí)間顯著較長，其算法的時(shí)空效果并不好。與連接路徑的長度相比，本文方法在時(shí)間消耗方面表現(xiàn)出更好的性能。因此本文推薦使用蟻群算法計(jì)算TSP。

表1 仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table1 Statistics of simulation results

圖6 多種連接方法對(duì)比Fig.6 Comparison results between multiple connection methods

3 TSP 隨機(jī)點(diǎn)預(yù)設(shè)置數(shù)量

曲面模型的表面積可以通過累計(jì)每個(gè)面片計(jì)算，

式中，i是每個(gè)面片的索引，且bi是第i個(gè)面片的面積。設(shè)打磨工具的有效投影面積為s。則TSP 隨機(jī)點(diǎn)預(yù)設(shè)數(shù)量n為：

考慮到三角網(wǎng)格曲面模型的復(fù)雜程度不同，本文逐次適當(dāng)放大隨機(jī)點(diǎn)數(shù)以保證不殘留加工區(qū)域以及不過度加工，則放大的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)數(shù)量n′= (1.05～1.1)m×n。其中，m是逐次放大隨機(jī)點(diǎn)數(shù)目的次數(shù)。

尤其需要注意的是，在自由邊界平面域內(nèi)生成隨機(jī)點(diǎn)的數(shù)量不同于圓域及方域。因自由邊界平面域外輪廓復(fù)雜，首先需要在單位方域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)點(diǎn)的生成，再判斷這些點(diǎn)落在自由邊界平面域的情況，進(jìn)行隨機(jī)點(diǎn)的補(bǔ)充。本文是以方域的面積與自由邊界域的面積相比，適當(dāng)放大隨機(jī)點(diǎn)生成的數(shù)量，以保證有足夠的數(shù)量落在自由邊界域內(nèi)。

數(shù)值模擬及拋光試驗(yàn)驗(yàn)證

為了評(píng)估所提出的TSP 軌跡規(guī)劃算法，圖2中所示的兩個(gè)網(wǎng)格曲面被用作工作示例：“天狗面具”和“Emijo 面具”網(wǎng)格曲面，都包含多個(gè)小面片。前者包含4000多個(gè)三角面片，后者的網(wǎng)格構(gòu)成了600多個(gè)切面。通過前述參考加工參數(shù)，分別確定TSP 點(diǎn)的預(yù)設(shè)數(shù)量。如果預(yù)設(shè)的TSP 點(diǎn)數(shù)少（實(shí)際上不能覆蓋表面網(wǎng)格），則TSP 點(diǎn)數(shù)會(huì)增加，同時(shí)也會(huì)影響加工效率。因此，在合理的限制范圍內(nèi)考慮加工精度和耗時(shí)，本文中的TSP 數(shù)量將設(shè)置為1174 和464。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表3所示。

表2 TSP 軌跡生成時(shí)間統(tǒng)計(jì)Table2 Statistics of TSP trajectory generation time-consuming

表3 計(jì)算數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)Table3 Statistics of TSP calculation results

1 仿真模擬

1.1 “天狗面具”實(shí)例

在圖7中所示的“天狗面具”的平面網(wǎng)格內(nèi)隨機(jī)分布1174個(gè)隨機(jī)點(diǎn)。

圖8示出了根據(jù)重心坐標(biāo)對(duì)應(yīng)獲得的拋光工具路徑。

該模型的投影域圓形度為0.813，所以適用于采用方域作為映射域進(jìn)行計(jì)算。從圖8中也可以得出，方域映射后獲得的拋光路徑的邊界覆蓋情況比圓域的情況要理想；圓域映射后在模型的邊界處出現(xiàn)多處路徑?jīng)]有覆蓋到的情況。因此，采用方域進(jìn)行映射是合理的。

圖7 天狗面具平面域內(nèi)TSP 路徑Fig.7 TSP path in plane domain of Tengu mask

圖8 天狗面具TSP 拋光路徑Fig.8 TSP polishing path of Tengu mask

1.2 “Emijo 面具”實(shí)例

在圖9中所示的“Emijo 面具”的平面網(wǎng)格內(nèi)隨機(jī)分布464個(gè)隨機(jī)點(diǎn)。

圖10示出了根據(jù)重心坐標(biāo)對(duì)應(yīng)獲得的拋光工具路徑。

該模型的投影域圓形度為0.925，所以適用于采用圓域作為映射域進(jìn)行計(jì)算。從圖10中也可以得出，圓映射后獲得的拋光路徑的邊界覆蓋情況比方域的情況要理想；而方域映射后在模型的邊界處出現(xiàn)多處路徑?jīng)]有覆蓋到的情況。因此，采用方域進(jìn)行映射是合理的。

2 拋光試驗(yàn)

本文通過試驗(yàn)對(duì)比所提出的TSP 路徑規(guī)劃方法與基于謝爾賓斯基軌跡的拋光軌跡規(guī)劃方案的打磨效果。因所選擇的模型（原件為某自由曲面，材料為光學(xué)玻璃）具有較大的坡度且部分區(qū)域具有尖銳的幾何特征，投影后的圓形度數(shù)值僅為0.602，顯然采用圓域和方域并不適合進(jìn)行路徑規(guī)劃。此外，采用謝爾賓斯基路徑，階數(shù)及等分的數(shù)量（圓域）將直接影響生成效率，本文給出生成近似數(shù)量（2700）的點(diǎn)所消耗的時(shí)間，并在圖11中的平面域內(nèi)規(guī)劃謝爾賓斯基路徑（階數(shù)為7），在表4統(tǒng)計(jì)生成點(diǎn)位及計(jì)算時(shí)間，可見所提出的算法在時(shí)間消耗方面具有優(yōu)勢(shì)。

圖9 Emijo 面具平面域內(nèi)TSP 路徑Fig.9 TSP path in plane domain of Emijo mask

圖10 Emijo 面具TSP 拋光路徑Fig.10 TSP polishing path of Emijo mask

圖11 謝爾賓斯基平面域內(nèi)路徑（4 階）Fig.11 Sierpinski polishing path of Emijo mask

試驗(yàn)裝置采用KUKA 機(jī)器人(吊裝方式安裝)，額定負(fù)載30kg，末端裝置自制打磨盤(配1200#砂紙)進(jìn)行拋光試驗(yàn)，拋光壓力均為5N；拋光盤半徑為48.0mm，如圖12所示。（1）采用謝爾賓斯基路徑：在圓域生成路徑（階數(shù)為9，大致為7200個(gè)點(diǎn)），打磨一次旋轉(zhuǎn)60°，共拋光6次；（2）采用所提出的TSP 路徑：同樣進(jìn)行6次拋光加工，每次生成隨機(jī)點(diǎn)7200個(gè)，如圖13所示。試驗(yàn)后，參數(shù)及結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表5所示。

采用TSP 方法，當(dāng)預(yù)設(shè)隨機(jī)點(diǎn)數(shù)量與謝爾賓斯基方法獲得的點(diǎn)數(shù)量接近時(shí)，每次生成路徑的時(shí)間以及路徑總長度均是每組試驗(yàn)中最小的。試驗(yàn)最后，本文所提出方法的拋光表面粗糙度數(shù)值略好于采用謝爾賓斯基路徑。

表4 計(jì)算數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)Table4 Statistics of calculation results

圖12 拋光試驗(yàn)Fig.12 Polishing experiment

圖13 TSP 拋光路徑Fig.13 TSP polishing path

表5 參數(shù)及結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table5 Statistics of TSP parameter and calculation

結(jié)論

本文提出了一種基于TSP 方法的柔性拋光軌跡規(guī)劃方案。它以自適應(yīng)選擇的邊界參數(shù)化獲得平面形狀，將點(diǎn)位換算到重心坐標(biāo)系并具有TSP 點(diǎn)的預(yù)設(shè)數(shù)量的功能。根據(jù)自適應(yīng)選擇標(biāo)準(zhǔn)，該映射域可以選擇正方形、圓形或自由邊界域。在已經(jīng)滿足預(yù)設(shè)的系統(tǒng)精度要求的前提下，確定拋光的初始TSP 點(diǎn)數(shù)。本文提出的方法主要可以解決以下問題：

（1）解決了TSP 軌跡規(guī)劃問題，在保證加工精度的同時(shí)，可以有效控制預(yù)設(shè)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)。

（2）根據(jù)不同的投影平面圓形度數(shù)值，調(diào)用自適應(yīng)方法確定選擇形狀。

（3）通過比較鏈接路徑長度和時(shí)間消耗的結(jié)果，如果拋光點(diǎn)的數(shù)量相對(duì)較大，我們建議使用蟻群算法求解TSP。

（4）自由邊界域?qū)吔绲母采w較好，但是需要增加判斷隨機(jī)點(diǎn)落在自由邊界域的過程，路徑計(jì)算耗時(shí)要大于圓域及方域。

（5）通過試驗(yàn)結(jié)果可知，本文所提出的方法在計(jì)算時(shí)間及路徑長度上均優(yōu)于謝爾賓斯基路徑且精度較高。