（西南交通大學(xué)機械工程學(xué)院 成都 610031）

1 引言

為了降低斜盤式軸向柱塞泵的噪聲，必須減小來自泵源處的流量脈動和振動，控制流量脈動的關(guān)鍵因素在于配流盤的設(shè)計，配流盤上的腰形槽的開啟角度和關(guān)閉角度對流量脈動、柱塞腔沖擊力、斜盤力矩有著重要影響［1］。靠增加出口腰形槽的開啟角度，即形成預(yù)壓縮角，使柱塞在運動過程中對油液進(jìn)行預(yù)壓縮，可以使柱塞腔與出口腰形槽連通時的油壓與出口壓力完美匹配，從而減少由油液壓縮性帶來的流量脈動［3］。但是預(yù)壓縮角的缺點在于對工況的高敏感性，即當(dāng)出口壓力、轉(zhuǎn)速、排量角發(fā)生變化時，流量脈動將會增加，配流盤腰形槽不再是最優(yōu)設(shè)計［2］。文獻(xiàn)［4］依靠旋轉(zhuǎn)配流盤的方法來調(diào)節(jié)配流盤的開啟角度［4］，使得預(yù)壓縮效果與工況相匹配，這種方法的缺陷在于實現(xiàn)成本較高而且需要外部設(shè)備進(jìn)行實時調(diào)節(jié)，不便于推廣應(yīng)用。而斜盤交錯角結(jié)構(gòu)通過調(diào)節(jié)斜盤的交錯角來改變柱塞的運動規(guī)律，等效于旋轉(zhuǎn)配流盤且實現(xiàn)成本較低，是一種較好的降低流量脈動的方式。

如圖1所示，虛線表示柱塞泵斜盤的法向量，用來確定斜盤的空間朝向，傳統(tǒng)的斜盤轉(zhuǎn)動方向是繞Y軸旋轉(zhuǎn)，而交錯角結(jié)構(gòu)的斜盤是先繞X軸旋轉(zhuǎn)交錯角α，斜盤法向量由OZ轉(zhuǎn)動到OA，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)排量角β，斜盤法向量由OA轉(zhuǎn)動到OA'。通過兩次轉(zhuǎn)動使斜盤與配流盤之間形成一個錯配角，等效于旋轉(zhuǎn)配流盤改變柱塞的運動規(guī)律，從而影響柱塞在三角槽過渡區(qū)的壓縮體積，進(jìn)而減小倒灌流量、降低流量脈動率［5～7］。

圖1 斜盤交錯角原理

2 柱塞的運動分析

圖2 柱塞運動原理

要分析交錯角對柱塞運動的影響，首先要分析一般柱塞泵的柱塞運動規(guī)律，在此基礎(chǔ)上考慮交錯角對柱塞運動規(guī)律的影響。

如圖2所示，以斜盤的中心O點為坐標(biāo)系原點、柱塞在X方向上的最高點A點為柱塞開始運動的起點，則柱塞的運動軌跡在X-Y平面上的投影是一個圓，該軌跡圓在X方向上的位移為

由于柱塞在Z方向上的位移與X方向上的位移成正比，比例為斜盤傾角的正切值：

式中AC與BD是X方向上的位移，OC與OD是Z方向上的位移。

所以柱塞在Z方向上的位移即軸向位移等于X方向上的位移乘以tanδ，即：

該余弦函數(shù)的相位角為0，當(dāng)且僅當(dāng)斜盤的旋轉(zhuǎn)軸為Y軸時成立。若斜盤存在交錯角，則無法確保斜盤的旋轉(zhuǎn)軸是Y軸，斜盤可能繞X-Y平面內(nèi)任意一根軸旋轉(zhuǎn)。如圖3所示，兩條相互垂直的虛線分別表示斜盤的死點軸和等效旋轉(zhuǎn)軸，斜盤的死點軸與配流盤的對稱軸之間錯開一個角度，即錯配角ε。由于柱塞運動的起始位置位于配流盤對稱軸，所以柱塞位移起始相位等于錯配角ε，交錯角柱塞泵的柱塞位移函數(shù)為

式中，R為柱塞分布圓半徑，mm；w為主軸轉(zhuǎn)速，r/min；δ為斜盤的有效排量角，°；ε為斜盤的錯配角，°。

式中Rtanδ是余弦函數(shù)的幅值，ε是余弦函數(shù)的相位角，只要能夠計算出有效排量角δ與錯配角ε就可以得出柱塞在軸向方向的運動規(guī)律，需要注意的是，此時的有效排量角δ不等于斜盤沿Y軸旋轉(zhuǎn)的排量角β，有效排量角δ是以斜盤交錯角α、排量角β為自變量的函數(shù)，同理錯配角ε也是以α、β為自變量的函數(shù)［8］。

圖3 交錯角柱塞泵的柱塞運動規(guī)律

3 角度函數(shù)關(guān)系的幾何分析

如圖4所示，本文通過研究斜盤法向量的轉(zhuǎn)動過程得出有效排量角δ、錯配角ε與斜盤交錯角α、排量角β的函數(shù)關(guān)系，為了方便數(shù)學(xué)描述，本文把斜盤法向量的轉(zhuǎn)動過程放入到長方體內(nèi)進(jìn)行分析，假設(shè)O點為斜盤中心點，OZ為柱塞泵的主軸方向，初始斜盤法向量與OZ軸重合，斜盤法向量首先沿Y-Z平面轉(zhuǎn)動α，由OZ軸轉(zhuǎn)動到OA，再沿縱向平面XOA轉(zhuǎn)動β，由OA轉(zhuǎn)動到OA'，通過兩次轉(zhuǎn)動，斜盤法向量的最終空間位置為OA'，兩次轉(zhuǎn)動可以等效為一次在ZOA'平面上的轉(zhuǎn)動，即法向量在ZOA'平面內(nèi)由OZ轉(zhuǎn)動有效排量角δ到OA'，斜盤法向量的最終位置OA'在X-Y面上的投影即為死點軸，死點軸與配流盤對稱軸（X軸）的夾角即為錯配角ε，經(jīng)過上述描述，將有效排量角δ、錯配角ε、交錯角α、排量角β放入到了四面體OAZA'中，下面通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出有效排量角δ、錯配角ε與交錯角α、排量角β的函數(shù)關(guān)系。

圖4 斜盤法向量轉(zhuǎn)動過程

1）δ與α、β的函數(shù)關(guān)系

2）ε與α、β的函數(shù)關(guān)系

圖5 有效排量角δ 與α、β 的函數(shù)關(guān)系圖

斜盤的最大排量角通常在18°～20°之間［11］，所以圖5和圖6中的排量角β的范圍為0°～20°，本文采用的交錯角α范圍為-2°～2°［12］，由于對稱關(guān)系，圖5、圖6中的交錯角范圍為0°～2°。

圖6 錯配角ε 與α、β 的函數(shù)關(guān)系圖

由圖5可知，斜盤的有效排量角受交錯角的影響較小，且與排量角近似相等。這是因為通常情況下交錯角較小，式（5）中的cosα近似等于1，將cosα≈1代入式（5）中得出δ≈β。所以在交錯角較小的情況下，柱塞泵的有效排量角近似等于排量角。

由圖6可知，斜盤的錯配角與排量角的關(guān)系曲線近似于雙曲線，該曲線相對于虛線ε=β對稱。當(dāng)錯配角為1°/2°，曲線與虛線的交點為（7.53，7.53）/（10.58，10.58），當(dāng)排量角由0°增加到7.53°/10.58°時，錯配角由90°迅速降低到7.53°/10.58°；當(dāng)排量角由7.53°/10.58°增加到90°時，錯配角由7.53°/10.58°緩慢降低到0°。由此可見，隨著排量角從0°增加到90°，錯配角由90°下降到0°，且下降趨勢是先快后慢。

4 柱塞壓縮體積的數(shù)學(xué)分析

交錯角通過改變柱塞的運動規(guī)律影響柱塞在過渡區(qū)的壓縮體積和排油區(qū)的排量，過渡區(qū)的壓縮體積和排油區(qū)的排量都與柱塞的軸向移動距離成正比，兩者的區(qū)別在于包角大小不同［13］。如圖3所示，三角槽過渡區(qū)的包角?1為20°，而排油區(qū)的包角?2為180°，下面通過數(shù)學(xué)分析得出任意包角的柱塞壓縮體積的計算公式。柱塞的壓縮體積公式為

式中：r為柱塞半徑，mm；?為包角，°。

設(shè)ΔS=tanδ(cos(ε)-cos(?+ε))，則：

由圖4中的幾何關(guān)系可知：

將式（11）、式（12）代入式（10）中，得：

將式（13）代入到式（7）中，得：

式（14）是計算任意包角大小的柱塞壓縮體積的一般公式，該公式中的自變量有三個，分別為交錯角α、排量角β、和包角?。如圖3所示，三角槽過渡區(qū)的包角?1=20°，排油區(qū)的包角?2=180°，將?1和?2代入式（14）中，則三角槽過渡區(qū)的壓縮體積為

排油區(qū)壓縮體積（單柱塞排量）為

圖7 三角槽過渡區(qū)壓縮體積ΔV1與α、β 的關(guān)系

圖7和圖8是根據(jù)式（15）和式（16）得出的二維函數(shù)圖，圖中的排量角范圍為0°～20°，交錯角范圍為0°～2°，從圖8可以看出，交錯角對排量的影響微乎其微，排量的大小主要跟排量角有關(guān)。從圖7中可以看出，交錯角和排量角都對三角槽過渡區(qū)的壓縮體積有影響，圖7近似為一平面，表示交錯角和排量角可以近似線性改變過渡區(qū)的壓縮體積，由圖7可以看出，排量角每增加1°，壓縮體積增加0.015mL，交錯角每增加1°，壓縮體積增加0.084mL，相較而言，交錯角對于過渡區(qū)的壓縮體積的影響比排量角更加顯著。近似線性化后，三角槽過渡區(qū)的壓縮體積公式可簡化為

圖8 單柱塞排量ΔV2與α、β 的關(guān)系

5 單柱塞腔的仿真

單柱塞腔的流量特性對整泵有重要影響，如圖9所示，本文利用PumpLinx軟件建立了一個柱塞泵的單柱塞腔仿真模型，柱塞腔的仿真參數(shù)［14］如表1所示。

表1 仿真模型參數(shù)

圖9 單柱塞腔的仿真模型

幾何流量：

式（18）中的幾何流量Q為正弦函數(shù)，其中r表示柱塞腔的半徑，有效排量角δ與錯配角ε都可以由式（5）和式（6）計算得出，仿真模型的交錯角α范圍為-2°～2°，排量角β為一個固定角度15°，將交錯角α和排量角β的值代入到式（5）、式（6）中，得出不同交錯角下的有效排量角δ、錯配角ε，將α、β代入到式（17）中得到單柱塞腔在過渡區(qū)的壓縮體積。

表2 交錯角與過渡區(qū)壓縮體積的關(guān)系

圖10 不同交錯角下單柱塞腔的幾何流量與仿真流量

圖11 不同交錯角下單柱塞腔內(nèi)的壓力變化

圖10中的橫坐標(biāo)Φ表示柱塞腔轉(zhuǎn)動的角度，虛線是根據(jù)表2中的δ和ε代入式（18）計算得出的幾何流量曲線，實線是通過PumpLinx仿真軟件計算得出的仿真流量曲線。

在第一階段，柱塞腔中的流體不僅受到倒灌流量的壓縮，也受到柱塞運動的壓縮，從表2中可以看出斜盤交錯角越大，柱塞在三角槽過渡區(qū)的壓縮體積越大，較大的壓縮體積有助于抑制流量倒灌現(xiàn)象，從而減小流量曲線的凹陷。此外，由于流體的慣性作用，柱塞腔中的流體被過度壓縮，又從柱塞腔反彈流回出口腰形槽中，形成一個波峰，從圖10中可以看出，斜盤的交錯角越大，波峰的幅值越大。

在第二階段，柱塞腔內(nèi)的流體充分壓縮后不再反彈，在這一階段內(nèi)，仿真流量與幾何流量重合，柱塞泵的流量脈動完全由幾何流量決定。

在第三階段，柱塞腔運動到與排油腰形槽的末端部分重合，兩者之間的流通面積急劇減小，流通阻尼極大，造成柱塞腔內(nèi)近似處于封閉狀態(tài)。如果斜盤的交錯角為正，柱塞的負(fù)向速度會導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的液體膨脹；如果斜盤的交錯角為負(fù)，柱塞的正向速度會導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的液體被壓縮。

圖11是單柱塞腔仿真過程中的壓力變化情況，當(dāng)柱塞處于第一階段，柱塞運動的壓縮作用和倒灌流量導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的壓強急劇升高，造成壓力超調(diào)。從圖11中可以看出，斜盤交錯角越大，柱塞腔內(nèi)的壓力超調(diào)量也越大，說明增大交錯角雖然能減小流量倒灌，但會增加壓力超調(diào)量。第二階段柱塞腔內(nèi)的壓力平穩(wěn)，幾乎沒有變化。第三階段，正的斜盤交錯角導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的流體膨脹，負(fù)的斜盤交錯角導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的流體壓縮。因此，正的交錯角可以讓柱塞腔內(nèi)的壓力減小，有助于減小柱塞腔與入口的壓差。

6 整泵的工況分析

整泵的仿真模型如圖12所示，本文采用的是7柱塞泵，除柱塞數(shù)目外，整泵的仿真模型參數(shù)與單柱塞腔的仿真模型完全相同，本文將考察柱塞泵在不同轉(zhuǎn)速、壓力下的流量脈動率。

圖12 整泵的仿真模型

圖13 不同轉(zhuǎn)速下的出口流量

柱塞泵流量脈動率的計算公式［15］如下：

式中η表示流量脈動率，Qmax為波峰的平均值，Qmin為波谷的平均值。

根據(jù)圖13中的出口流量和式（19）得到不同轉(zhuǎn)速下的流量脈動率（表3）。從表3中可以看出，500r/min～1500r/min范圍內(nèi)的脈動率均值隨著交錯角的增加而減小，當(dāng)交錯角為2°時，脈動率均值最小。

表3 不同轉(zhuǎn)速下的流量脈動率（%）

圖14 不同壓力下的出口流量

表4 不同壓力下的流量脈動率（%）

根據(jù)圖14中的出口流量和式（19）得到不同壓力下的流量脈動率（表4）。從表4中可以看出，5MPa～15MPa范圍內(nèi)脈動率均值隨著交錯角的增加而減小，當(dāng)交錯角為2°時，脈動率均值最小。

雖然無論是轉(zhuǎn)速還是壓力的脈動率均值都是交錯角為2°時最小，但都與交錯角為1°的脈動均值相差不大。如圖11所示，考慮到當(dāng)交錯角為2°時，柱塞腔內(nèi)的壓力超調(diào)量較大，所以取斜盤角錯角為1°是較為合適的設(shè)計。

7 結(jié)語

本文通過數(shù)學(xué)分析建立了交錯角與柱塞壓縮體積的函數(shù)關(guān)系。使用PumpLinx軟件仿真不同交錯角下單柱塞腔的壓力流量情況，和不同工況下的柱塞泵的出口流量，總結(jié)得出以下結(jié)論：

1）交錯角對三角槽過渡區(qū)的壓縮體積有重要影響，交錯角每增加1°，過渡區(qū)壓縮體積增加0.084mL。

2）增加交錯角可以減小單柱塞腔的倒灌流量，但會增加柱塞腔內(nèi)的壓力。

3）綜合考慮柱塞泵的流量脈動率和壓力超調(diào)量，取柱塞泵的斜盤交錯角為1°是較為合適的設(shè)計。