□王紅權

（杭州市基礎教育研究室，浙江杭州 310003）

有理數(shù)教學是初中數(shù)學教學的起點.在小學階段學生已經(jīng)初步學習了負數(shù)，但無論是理解運算對象，還是掌握運算法則和選擇運算方法，初中的要求都大大提高.初中階段學生除了會算還要進一步學習“優(yōu)算”，教師要設計運算程序，使學生算有方法，算有規(guī)矩，要探究運算思路，使學生算得合理，算得簡潔，進一步學習數(shù)系擴充的方法，掌握研究一類數(shù)的基本方法.因此有必要把有理數(shù)的教學設計置于數(shù)系擴充的主題整體設計，使運算核心素養(yǎng)真正地為進一步學習初中數(shù)學奠定基礎.

一、把握有理數(shù)的知識圖譜是教好有理數(shù)的開端

（一）有理數(shù)的“知識圖”（以下簡稱“圖”）

圖1清晰地表明有理數(shù)學習的內容：有理數(shù)的概念、性質和運算.學習的線索：概念→性質；概念（性質）→運算→應用.教學的重點是有理數(shù)的概念（主要是負數(shù)的概念）、有理數(shù)的性質和有理數(shù)的運算（負數(shù)參與的運算）.概念教學的難點是負數(shù)的引入；性質教學的難點是數(shù)形結合（數(shù)軸如何引入？）思想的第一次滲透；運算教學的難點是負數(shù)參與的運算規(guī)律的歸納獲得.

圖1

（二）有理數(shù)的“知識譜”

“圖”能讓教師整體把握章教學的關鍵內容和結構體系，有利于單元整體教學的實施.但每個知識點到底要把握到什么程度，“圖”中難以看出來，這就要求在“圖”的基礎上，對具體的知識點進行更為精準的描述.這便是如表1所示的“知識譜”（以下簡稱“譜”）的意義.從“譜”中可以看到，“知識點目標”就是對課程標準單元目標進行更為具體、更為詳細的行動描述，使得知識點的教學目標變得具體、“可操作”、“易檢測”.這樣的目標分解可以使教師備課和制作質量檢測工具具有高度的一致性，也使得教師的教學過程具有“可復制”性，為區(qū)域教學質量獲得保障提供可能.有了“圖”和“譜”，才能真正在目標體系層面上，系統(tǒng)地解決教、學和評的一致性.

表1

（三）“圖”與“譜”的關系

從有理數(shù)的“知識圖”和“知識譜”可以看出它們之間具有如下關系：“圖”宏觀引領教學，可以使教學的整體結構清晰明了；“譜”精準分解教學目標，可以使教學靶向實施；“圖”育“譜”，“譜”釋“圖”，“圖”為綱，“譜”為目，綱舉目張，方能有效地實現(xiàn)精準教學.

二、教好有理數(shù)的關鍵是教好負數(shù)概念和性質

有理數(shù)的概念教學就是圍繞負數(shù)的引入，利用學生的生活經(jīng)驗，聯(lián)系生活實際，聚焦具有相反意義的量，從理性具體（相反意義的量）中抽象出理性一般（正數(shù)和負數(shù)）的過程.引進一種新數(shù)（負數(shù)），還要研究新數(shù)的性質、新數(shù)的運算和運算律.

（一）概念教學

（二）性質研究

借助數(shù)軸，讓學生經(jīng)歷一次真正意義上的“數(shù)形結合”.把有理數(shù)和直線上的點對應，把研究數(shù)的性質轉化為研究點的位置特征.兩者能深度融合的基礎是有理數(shù)的構成（正有理數(shù)、負有理數(shù)和零）和數(shù)軸的高度相似性（正方向、負方向和原點）.其中數(shù)字“0”和“1”起關鍵作用，“0”是區(qū)別正有理數(shù)和負有理數(shù)的“基準”，“1”是有理數(shù)的單位.因此只要在直線上標定一個基準點O（原點），就把直線上的點劃分成為兩個部分，一部分的點和負有理數(shù)對應，另一部分的點和正有理數(shù)對應，區(qū)分正有理數(shù)和負有理數(shù)只需要規(guī)定一個正方向即可，這樣便實現(xiàn)所有有理數(shù)和直線上的點對應.因此可以通過“翻譯”數(shù)軸上點的位置特征得到有理數(shù)的性質：①點的順序排列對應有理數(shù)的大??；②點分布的稠密對應有理數(shù)的稠密性（任意兩個有理數(shù)之間還存在有理數(shù)）.

數(shù)軸上一個點的位置由方向和距離決定，一個數(shù)由符號和絕對值決定.這為比較兩個有理數(shù)的大小提供了操作規(guī)程：比較兩個有理數(shù)的大小，可以先看符號，再比較絕對值的大小.首先確定0的基準作用，規(guī)定正數(shù)＞0＞負數(shù)；兩個正數(shù)的大小即為絕對值的大小；比較兩個有理數(shù)的大小，可以利用數(shù)軸的幾何直觀，確保有理數(shù)大小順序和數(shù)軸上點的排列順序一致，這樣規(guī)定兩個負數(shù)絕對值大的反而小就合情合理了.定義有理數(shù)的絕對值概念同時也解決直線上兩點間距離的度量問題，為了度量的方便，需要規(guī)定一個“單位”，這便是數(shù)1的“單位”意義.絕對值概念也為后面學習有理數(shù)的運算奠定了基礎.

最后研究數(shù)軸上一些具有特殊位置關系的點，如位置關于原點對稱的兩個點，顯然其絕對值相等，在數(shù)軸上具有明顯的幾何意義（圖2）.稱這兩個數(shù)（和為零）互為相反數(shù)，類比互為相反數(shù)，定義積為1的數(shù)互為倒數(shù)，這兩個數(shù)也有很好的幾何意義，便是反演對稱（圖3）.

圖2

圖3

有理數(shù)的性質教學可以用圖4 的結構圖表示.

圖4

在有理數(shù)性質的學習過程中，學生體會什么是“數(shù)形結合”，經(jīng)歷研究一個陌生數(shù)學對象的基本方法.

三、教好有理數(shù)的運算關鍵在于運算的邏輯一致

代數(shù)的根本在于運算，研究有理數(shù)的概念和性質后，還需要研究有理數(shù)的運算.有理數(shù)的運算，歸根結底是有負數(shù)參與的運算，但負數(shù)的運算對初中生而言是超越經(jīng)驗的，用任何具體例子來解釋都有很大的局限性[2].

（一）用歸納的方法教有理數(shù)的運算和運算律是根本大法

在所有負數(shù)相關的運算中，負數(shù)和負數(shù)的乘法法則最為難以理解，教學時要注意到運算法則是人為規(guī)定的，但這種規(guī)定既要符合實際又要滿足理論的相容性，初中階段教學的主要任務是“使其相信”，要在運算法則的“承襲性”和邏輯的“自洽性”上下功夫.教好歸納就要設計合理的教學過程，通過過程中規(guī)律性的歸納，自然獲得.

（二）教學流程再設計

先看看用數(shù)軸引入的設計方案：

例1 （環(huán)節(jié)A）小學已經(jīng)學習“乘法是加法的簡便運算”，如3×2＝3＋3＝6.可以用如圖5的數(shù)軸表示.

圖5

追問1：根據(jù)乘法和加法的關系，（－3）×2＝（－3）＋（－3）＝－6.用數(shù)軸如何表示這個關系？（如圖6）

圖6

圖7

引導學生：①畫出圖7；②得到（－3）×2是3×2的相反數(shù).

（環(huán)節(jié)B）教師小結并引導：改變相乘兩數(shù)中的一個數(shù)的符號時，其積就變?yōu)樵瓉矸e的相反數(shù).同樣，（－3）×（－2）是3×（－2）的相反數(shù)（如圖7）.獲得負數(shù)×負數(shù)的運算律.

下面給出用歸納方法設計的教學流程：

（環(huán)節(jié)A）：請你完成表2（陰影格為學生填寫的數(shù)字），并說說理由.

表2

師生活動后小結：①乘數(shù)逐次減小1，積逐次減小3. ②正數(shù)乘正數(shù)的積是正數(shù)，正數(shù)乘零等于零.③正數(shù)乘負數(shù)的積是負數(shù).④積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

追問：如果上述規(guī)律成立，那么表3 中的空格應該如何填寫？

表3

師生活動后小結：①乘數(shù)逐次減小1，積逐次減小3.②正數(shù)乘負數(shù)的積是負數(shù).③負數(shù)乘負數(shù)的積是正數(shù)，負數(shù)乘零等于零.④積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

歸納運算律要有意識地滲透運算程序，即先確定運算結果的“符號”，然后計算各因數(shù)絕對值的乘積.

（三）兩種引入的優(yōu)缺點

歸納獲得的結論來自數(shù)學內部，設計好的問題使數(shù)學的內部規(guī)律外化為直觀規(guī)律，符合學生的認知，容易被學生接受.利用數(shù)軸解釋數(shù)字運算規(guī)律直觀形象.歸納規(guī)律依賴問題設計和呈現(xiàn)方式，用表格形式呈現(xiàn)可能更有利于學生歸納得出運算規(guī)律.

利用數(shù)軸直觀解釋有后遺癥.教學調研中發(fā)現(xiàn)一個看似“創(chuàng)新”的學生“研究”成果：（-3）×4＝9.學生的解釋：按照教師標在圖上的箭頭，（－3）×4就是把－3向右平移4個單位，此時箭頭指向的位置恰好是9，所以（－3）×4＝9.

原因就是這種直觀缺乏數(shù)字運算背后的內在邏輯支持，學生純粹從形的直觀出發(fā)，用自己的方式理解，“生動形象”“自圓其說”地得到了一個“新”的規(guī)律.這是學習產(chǎn)生負遷移的結果.

（四）教好運算的關鍵是讓學生學會優(yōu)算

數(shù)學運算是演繹推理，數(shù)學運算主要表現(xiàn)為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.使學生學會算得合理，算得準確.□◢