王露露, 馬巧珍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言

本文考慮帶有非局部弱阻尼項(xiàng)的耦合吊橋方程

(1)

全局吸引子的存在性,其中‖ut‖put, ‖vt‖pvt為非局部弱阻尼項(xiàng),p≥0,k2是彈性系數(shù), 外力項(xiàng)hB(x),hS(x)∈L2(Ω), 函數(shù)(u-v)+=max{(u-v),0}. 為簡便起見記Ω=[0,L],Δ2u=uxxxx, -Δv=-vxx.

近年來, 關(guān)于吊橋方程全局吸引子的研究已取得了一系列重要成果[1-17],2005年, 文獻(xiàn)[2]首次獲得了耦合吊橋方程弱解的全局吸引子. 之后, 文獻(xiàn)[3] 證得了吊橋方程的強(qiáng)解和強(qiáng)全局吸引子的存在性. 此外， Park和Kang在文獻(xiàn)[4] 中研究了帶有非線性阻尼的吊橋方程全局吸引子的存在性，文獻(xiàn)[8] 獲得了非自治耦合吊橋方程一致吸引子的存在性，文獻(xiàn)[9]借助收縮函數(shù)的方法得到了具有時滯的非自治吊橋方程拉回吸引子的存在性.

最近, 文獻(xiàn)[10] 通過能量重建的方法得到了帶有非局部弱阻尼項(xiàng)的可擴(kuò)展梁方程在次臨界情況下全局吸引子的存在性. 本文借助文獻(xiàn)[10] 提出的方法研究了帶有非局部弱阻尼的耦合吊橋方程 (1) 解的長時間動力學(xué)行為. 由于方程組的耦合體現(xiàn)在半線性項(xiàng)(u-v)+, 所以文獻(xiàn)[10] 中的能量重建方法在我們的問題上不會產(chǎn)生新的困難.

本文結(jié)構(gòu)如下.第2節(jié)給出必要的預(yù)備知識并借助單調(diào)算子理論獲得了解的適定性.第3節(jié)獲得了解半群{S(t)}t≥0的耗散性, 證明了問題 (1) 全局吸引子的存在性. 本文出現(xiàn)的C或Ci均表示正常數(shù), 且后續(xù)出現(xiàn)的每一處C并不完全相同.

2 預(yù)備知識

H=V2×V0×V1×V0,

并賦予范數(shù)

‖(u,ut,v,vt)‖H=

根據(jù) Poincaré 不等式可得

‖Δu‖2≥λ1‖u‖2, ?u∈V2,

(2)

此外, 設(shè)非線性項(xiàng)fB∈C1(R),fS∈C1(R)且滿足以下假設(shè)條件：

(3)

(4)

根據(jù) (4) 式和中值定理可知, 存在兩個正常數(shù)K1和K2, 使得對任意u,v∈R有

|fB(u)-fB(v)|≤K1(1+|u|ρ+|v|ρ)|u-v|

(5)

|fS(u)-fS(v)|≤K2(1+|u|ρ+|v|ρ)|u-v|

(6)

(7)

(8)

引理2.1[12]設(shè)X是一可分的Banach空間,Lp(a,b;X)表示Bochner可測函數(shù)f:[a,b]→X構(gòu)成的空間, 1≤p≤∞使得‖f(·)‖X∈Lp(a,b). 則每一個Lp(a,b;X)是Banach空間, 且具有范數(shù)

‖f‖L∞(a,b;X)=esssup{‖f(t)‖X:t∈[a,b]}.

我們用C(a,b;X)表示取值于X中的強(qiáng)連續(xù)函數(shù)空間,

W1,p(a,b;X)=

{f∈C(a,b;X):f′∈Lp(a,b;X)},

其中f′(t)表示f(t)關(guān)于t的分布導(dǎo)數(shù). 注意到空間W1,1(a,b;X)與從[a,b]到X上的絕對連續(xù)函數(shù)集合相一致.

定義2.2[10,12]設(shè)函數(shù)u(t),v(t)∈C([0,T];V2×V1), 初值u(0)=u0,ut(0)=u1,v(0)=v0,vt(0)=v1.它被稱為是

(S) 問題 (1) 在區(qū)間[0,T]上的強(qiáng)解, 如果

(i) ?0

(G) 問題 (1) 在區(qū)間[0,T]上的廣義解, 如果存在問題 (1) 的強(qiáng)解子序列{un(t)},{vn(t)},其初值為(u0n,u1n,v0n,v1n), 使得

(Dut(σ),ω)+((hB-k2(u-v)+-

fB(u)),ω))dσ

(9)

(Dvt(σ),ν)+((hS+k2(u-v)+-

fS(v)),ν))dσ

(10)

定理2.4[10]設(shè)u,v∈H,H是一個Hilbert空間, 其內(nèi)積和范數(shù)分別為(·,·)和‖·‖H. 那么存在依賴于γ的正常數(shù)Cγ, 使得

推論2.5[10]令D(μt)=‖μt‖pμt.由定理2.4可得

(D(μt)-D(υt),μt-υt)≥Cp‖μt-υt‖p+2,

p≥0,μt,υt∈V0

(11)

從而阻尼算子D是強(qiáng)單調(diào)的.

定理2.6設(shè)任意的T>0.在假設(shè) (3)，(4) 的條件下, 以下結(jié)論成立:

(ut,utt,vt,vtt)∈L∞([0,T];V2×V0×V1×V0),

(ut,vt)∈Cr([0,T];V2×V1),

(utt,vtt)∈Cr([0,T];V0×V0),

Au(t)+Dut(t)∈Cr([0,T];V0′),

其中Cr表示右連續(xù)函數(shù)的空間, 且方程的解滿足能量關(guān)系

(12)

其中

(13)

(14)

(ii) 對任意(u0,u1,v0,v1)∈V2×V0×V1×V0, 存在唯一的廣義解, 使得

(u,ut,v,vt)∈C([0,T];V2×V0×V1×V0)

(15)

定理2.6的證明類似于文獻(xiàn)[10]中定理2.3的證明, 故我們只給出上面的結(jié)論.

推論2.7問題 (1) 在空間H上生成了一個動力系統(tǒng)(H,S(t)), 其中

S(t)(u0,u1,v0,v1)=(u(t),ut(t),v(t),

vt(t))，

而(u(t),v(t))是初值為(u0,u1,v0,v1)的方程 (1) 的解.

為了證明主要結(jié)論, 我們還需要下面的一些定義和結(jié)果.

其中dX{A,B}=supx∈AdistX(x,B)是Hausdorff 半距離.

定義2.9[12]一個有界閉集A?X被稱為是系統(tǒng)(X,S(t))的全局吸引子, 如果

(i)A是不變集, 即對任意t≥0有S(t)A=A;

(i) ?s>0,r(s)

(iii) 下列不等式成立:

d(S(T)y1,S(T)y2)≤r(d(y1,y2)+

(16)

其中{S(τ)yi}由空間C(0,T;X)中的函數(shù)yi(τ)=S(τ)yi,i=1,2給出. 則(X,S(t))是漸近光滑的動力系統(tǒng).

定理2.11[12]設(shè)(X,S(t))是一個完備度量空間X上的耗散動力系統(tǒng).則(X,S(t))擁有一個緊的全局吸引子當(dāng)且僅當(dāng)它是漸近光滑的.

3 全局吸引子

定理3.1假設(shè)條件(3)，(4)成立，且由問題(1)生成的動力系統(tǒng)(H,S(t))在空間H是耗散的.則存在R>0, 對任意有界集合B?H,t0=t0(B)>0, 使得對所有的y∈B, 當(dāng)t≥t0時有

‖S(t)y‖H=‖(u(t),ut(t),v(t),

vt(t))‖H≤R.

證明 分別用ut+εu和vt+εv與 (1) 的兩個方程在L2(Ω)上做內(nèi)積, 計算相加后可得

ε‖vt‖2+ε‖v‖2+εk2‖(u-v)+‖2+

(‖ut‖put,ut+εu)+(‖vt‖pvt,vt+εv)+

(17)

結(jié)合(2)和(7)式得

(18)

根據(jù)H?lder不等式、Young不等式和 (2) 式有

(19)

結(jié)合 (13)(14) 式和(18)(19)式有

E(t)≥c0E0(t)-C0, 0

(20)

令W(t)=E(t)+(ut，εu)+(vt，εv).根據(jù)H?lder不等式和Young不等式有

(21)

結(jié)合(20)(21)式, 存在ε0>0, 使得當(dāng)0<ε<ε0時

W(t)≥c1E0(t)-C1, 0

(22)

將(17)式寫為

(23)

其中

Y(t)=(‖ut‖put,ut+εu)+

ε2(ut,u)-ε2(vt,v)

(24)

結(jié)合 (2) 式和(8) 式可得

(25)

(26)

由Young不等式知,存在c2,c3>0使得

(ut,ut)=‖ut‖2≤c2+c3‖ut‖p+2

(27)

由 (12) 和 (20) 式, 存在CB>0使得

E0(t)≤C(1+E(t))≤C(1+E(0))≤CB

(28)

根據(jù)Cauchy不等式、Young不等式及 (2)(28) 式有

|(‖ut‖put,εu)|≤

(29)

同理，由(28)式可得

(30)

結(jié)合 (29),(30)式得

|(‖ut‖put,ut+εu)|≥

(31)

|(‖vt‖pvt,vt+εv)|≥

(32)

由 (24) ～ (27) 式及 (31)，(32)式可得

取充分小的ε>0, 使得

則有Y(t)≥-εC4.將其代入到 (23) 式可得

(33)

根據(jù)Gronwall不等式, 我們有

W(t)≤W(0)e-εt+C4(1-e-εt)

(34)

(35)

顯然, 定理3.1意味著集合B0={(u(t),ut(t),v(t),vt(t))∈H:‖(u(t),ut(t),v(t),vt(t))‖H≤R}是與問題 (1) 相關(guān)的解半群{S(t)}t≥0的有界吸收集.

定理3.2假設(shè)條件 (3),(4) 成立.則存在T0>0及與T無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得對問題 (1) 的任意兩個強(qiáng)解(u1,v1),(u2,v2), 當(dāng)T≥T0時成立下面的關(guān)系式:

(36)

其中

ξ(t)=u1(t)-u2(t),ζ(t)=v1(t)-v2(t),

且

‖ζt‖2+‖ζ‖2),

D(t,ξt)=‖u1t‖pu1t-‖u2t‖pu2t,

D(t,ζt)=‖v1t‖pv1t-‖v2t‖pv2t.

證明 注意到ξ(t)=u1(t)-u2(t),ζ(t)=v1(t)-v2(t)滿足如下兩式:

ξtt+ξxxxx+D(t,ξt)+k2(u1-v1)+-

k2(u2-v2)++fB(u1)-fB(u2)=0

(37)

ζtt-ζxx+D(t,ζt)-k2(u1-v1)++

k2(u2-v2)++fS(v1)-fS(v2)=0

(38)

將 (37), (38) 式分別與ξt,ζt在L2(Ω)上做內(nèi)積, 計算相加后得

(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξt)+

k2(u2-v2)+,ζt)+(fS(v1)-fS(v2),ζt)=0

(39)

則

-(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξt)+

(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ζt)-(fB(u1)-

fB(u2),ξt)-(fS(v1)-fS(v2),ζt)

(40)

對(40) 式在[t,T]上積分可得

k2(u2-v2)+,ξt)dτ+

(41)

將(37), (38) 式分別與ξ,ζ在L2(Ω)上做內(nèi)積, 計算相加后得

‖ζt‖2+‖ζ‖2+(D(t,ξt),ξ)+

(D(t,ζt),ζ)=-(k2(u1-v1)+-

k2(u2-v2)+,ξ)+(k2(u1-v1)+-

k2(u2-v2)+,ζ)-(fB(u1)-

fB(u2),ξ)-(fS(v1)-fS(v2),ζ)

(42)

對 (42) 式在[0,T]上積分可得

結(jié)合 (2) 式和連續(xù)嵌入定理有

(43)

因此,我們有

(44)

在 (41) 式中令t=0有

(45)

此外, 因算子D是單調(diào)的, 將 (41) 式在[0,T]上積分可得

(46)

由插值不等式有

(47)

根據(jù)|(u1-v1)+-(u2-v2)+|≤L|(u1-v1)-(u2-v2)| (L>0是一恰當(dāng)?shù)某?shù)), 及‖(u,ut,v,vt)‖H≤R. 結(jié)合Young不等式和 (2)(47) 式有

|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξ)|≤

Lk2‖(u1-v1)-(u2-v2)||·‖ξ‖=

Lk2‖ξ-ζ‖·‖ξ‖≤C(R)‖ξ‖2

(48)

同理可得

|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ζ)|≤

C(R)‖ζ‖2

(49)

|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξt)|≤

C(R)‖ξ‖·‖ξt‖

(50)

|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ζt)|≤

C(R)‖ζ‖·‖ζt‖

(51)

結(jié)合 (44) ～ (51) 式即得(36) 式.證畢.

接下來我們將證明問題 (1) 所對應(yīng)的解半群{S(t)}t≥0是漸近光滑的.

命題3.3假設(shè)條件 (3)(4) 成立.則問題 (1) 生成的動力系統(tǒng)(H,S(t))在空間H上是漸近光滑的.

證明 由定理 3.1 可知, 集合B0是與問題 (1) 相關(guān)的解半群{S(t)}t≥0的有界吸收集. 根據(jù)定義，我們知道存在t0≥0, 使得對所有的t≥t0有S(t)B0?B0.令B=∪t≥t0S(t)B0. 顯然B是系統(tǒng)(H,S(t))的有界正不變集. 于是，對任意有界集合B′, 當(dāng)t≥t(B′)時有S(t)B′?B0，即對所有的t≥t0+t(B′)有S(t)B′?B. 因此，B也是有界吸收集.

設(shè)(u1,v1)和(u2,v2)是問題 (1) 在不變集B上關(guān)于兩個不同初值的強(qiáng)解, 即對任意y0,y1∈B有

(u1(t),u1t(t),v1(t),v1t(t))=S(t)y0,

(u2(t),u2t(t),v2(t),v2t(t))=S(t)y1

(52)

由于(16)式的所有項(xiàng)對于能量范數(shù)‖·‖E所給出的度量d都是連續(xù)的, 其也滿足定理2.10中的條件. 設(shè)T>0. 由于B是有界正不變集, 由能量等式 (12) 式有

(53)

第一步,能量重建.由 (36) 式, 令

進(jìn)一步, 根據(jù)ΦT的定義有

(54)

(55)

(56)

‖fB(u1)-fB(u2)‖2=

(57)

其中0<θ<1. 同理可得

(58)

因此, 由(57),(58)式我們有

(59)

(60)

結(jié)合 (54) ～ (60) 式，我們有

(61)

J0((‖u+v‖p(u+v)-‖u‖pu,v))≥

J0(Cp‖v‖p+2)=‖v‖2,u,v∈V2×V1

(62)

由Jensen不等式可得

(63)

(64)

‖u2t‖pu2t)2dx)1/2≤

C‖ξ‖(‖u1t‖2p‖u1t‖2+

‖u2t‖2p‖u2t‖2)1/2≤CB‖ξ‖≤

(65)

同理可得

(66)

結(jié)合定理3.2和 (61) ～ (66) 式, 對于任意κ>0有

(67)

第二步,處理阻尼.對于 (67) 式, 令δ=min{ω,η}.則

(68)

(69)

根據(jù) (45)(50)(51)(57) 式和緊嵌入定理有

Em(0)-Em(T)-

(70)

則由(69) 式可得

Em(T)+2Q0(Em(T))≤Em(0)-Em(T)+

(71)

CR‖ξ(t)‖1-η1, 0<η1<1

(72)

CR‖ζ(t)‖1-η2, 0<η2<1

(73)

則對于任意的τ∈(0,1] 有

Em(T)+2Q0(Em(T))≤Em(0)+

(74)

于是

(75)

(76)

(77)

我們有

‖S(T)y1-S(T)y2‖H≤r(‖y1-y2‖+

(78)

顯然, 函數(shù)r滿足定理2.10的全部條件.

最后, 由定理3.1和命題3.3即得我們的主要結(jié)論:

定理3.4假設(shè)條件 (3)(4) 成立. 則由問題 (1) 生成的動力系統(tǒng)(H,S(t))在空間H上擁有緊的全局吸引子.